一階偏微分方程基本知識(shí)

第頁一階偏微分方程基本知識(shí)這一章我們來探討一階線性偏微分方程和一階擬線性偏微分方程的解法，因?yàn)樗鼈兌伎梢曰癁槌Ｎ⒎址匠痰氖状畏e分問題，所以我們先來介紹常微分方程的首次積分。1一階常微分方程組的首次積分1.1首次積分的定義從第三章我們知道，階常微分方程，（1.1）在變換（1.2）之下，等價(jià)于下面的一階微分方程組（1.3）在第三章中，已經(jīng)介紹過方程組（1.3）通解的概念和求法。但是除了常系數(shù)線性方程組外，求一般的（1.3）的解是極其困難的。然而在某些狀況下，可以運(yùn)用所謂“可積組合”法求通積分，下面先通過例子說明“可積組合”法，然后介紹一階常微分方程組“首次積分”的概念和性質(zhì)，以和用首次積分方法來求解方程組（1.3）的問題。先看幾個(gè)例子。例1求解微分方程組（1.4）解：將第一式的兩端同乘，第二式的兩端同乘，然后相加，得到這個(gè)微分方程關(guān)于變量t和是可以分別，因此不難求得其解為，（1.5）為積分常數(shù)。（1.5）叫做（1.4）的首次積分。留意首次積分（1.5）的左端作為x，y，和t的函數(shù)并不等于常數(shù)；從上面的推導(dǎo)可見，當(dāng)時(shí)微分方程組（1.4）的解時(shí)，才等于常數(shù)，這里的常數(shù)應(yīng)隨解而異。因?yàn)槭剑?.4）是一個(gè)二階方程組，一個(gè)首次積分（1.5）不足以確定它的解。為了確定（1.4）的解，還須要找到另外一個(gè)首次積分。將第一式兩端同乘，第二式兩端同乘，然后用第一式減去第二式，得到即亦即積分得，（1.6）其中為積分常數(shù)。利用首次積分（1.5）和（1.6）可以確定（1.4）的通解。為此，采納極坐標(biāo)，這樣由（1.5）和（1.6）推得或.因此我們得到方程組（1.4）的通解為，.（1.7）例2求解微分方程組（1.8）其中是給定的常數(shù)。解利用方程組的對稱性，可得從而得到首次積分,（1.9）其中積分常數(shù)。同樣我們有由此又得另一個(gè)首次積分,（1.10）其中積分常數(shù)。有了首次積分（1.9）和（1.10），我們就可以將u和v用w表示，代入原方程組（1.8）的第三式，得到,（1.11）其中常數(shù)a，b依靠于常數(shù)，而常數(shù)留意（1.11）是變量可分別方程，分別變量并積分得到第三個(gè)首次積分,（1.12）其中是積分常數(shù)。因?yàn)榉匠探M（1.8）是三階的，所以三個(gè)首次積分（1.9）,（1.10）和（1.12）在理論上足以確定它的通解但是由于在式（1.12）中出現(xiàn)了橢圓積分，因此不能寫出上述通解的詳細(xì)表達(dá)式。現(xiàn)在我們考慮一般的階常微分方程，,（1.13）其中右端函數(shù)在內(nèi)對連續(xù)，而且對是連續(xù)可微的。定義1設(shè)函數(shù)在的某個(gè)子域內(nèi)連續(xù)，而且對是連續(xù)可微的。又設(shè)不為常數(shù)，但沿著微分方程（1.3）在區(qū)域G內(nèi)的隨意積分曲線函數(shù)V取常值；亦即或當(dāng)時(shí)，有=常數(shù)，這里的常數(shù)隨積分曲線而定，則稱=C（1.14）為微分方程（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分。其中C是一個(gè)隨意常數(shù)，有時(shí)也稱這里的函數(shù)為（1.13）的首次積分。例如（1.5）和（1.6）都是微分方程（1.4）在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的首次積分。這里對區(qū)域G有限制，是要求首次積分（1.5）和（1.6）必需是單值的連續(xù)可微函數(shù)。因此區(qū)域G內(nèi)不能包括原點(diǎn)，而且也不能有包含原點(diǎn)的回路。同理，式（1.9）,（1.10）和（1.12）都是方程（1.8）的首次積分。對于高階微分方程（1.1），只要做變換（1.2），就可以把它化成一個(gè)及其等價(jià)的微分方程組。因此，首次積分的定義可以自然地移植到n階方程（1.1）。而其首次積分的一般形式可以寫為。（1.15）例如，設(shè)二階微分方程組用乘方程的兩端，可得然后積分，得到一個(gè)首次積分一般的，階常微分方程有個(gè)獨(dú)立的首次積分，假如求得階常微分方程組的個(gè)獨(dú)立的首次積分，則可求階常微分方程組的通解。1.2首次積分的性質(zhì)和存在性關(guān)于首次積分的性質(zhì)，我們不加證明地列出下面的定理。定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)是連續(xù)可微的，而且它不是常數(shù)，則（1.16）是微分方程（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分的充分必要條件是（1.17）是關(guān)于變量的一個(gè)恒等式。這個(gè)定理事實(shí)上為我們供應(yīng)了一個(gè)判別一個(gè)函數(shù)是否是微分方程（1.13）首次積分的有效方法。因?yàn)橐罁?jù)首次積分的定義，為了判別函數(shù)是否是微分方程（1.13）在G內(nèi)的首次積分，我們須要知道（1.13）在G內(nèi)的全部積分曲線。這在事實(shí)上是由困難的。而定理1避開了這一缺點(diǎn)。定理2若已知微分方程（1.13）的一個(gè)首次積分（1.14），則可以把微分方程（1.13）降低一階。設(shè)微分方程組（1.13）有n個(gè)首次積分，（1.18）假如在某個(gè)區(qū)域G內(nèi)它們的Jacobi行列式，（1.19）則稱它們在區(qū)域G內(nèi)是相互獨(dú)立的。定理3設(shè)已知微分方程（1.13）的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分（1.18），則可由它們得到（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的通解，（1.20）其中為n個(gè)隨意常數(shù)（在允許范圍內(nèi)），而且上述通解表示了微分方程（1.13）在G內(nèi)的全部解。關(guān)于首次積分的存在性，我們有定理4設(shè)，則存在的一個(gè)鄰域，使得微分方程（1.13）在區(qū)域內(nèi)有n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。定理5微分方程（1.13）最多只有n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分。定理6設(shè)（1.18）是微分方程（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的n個(gè)相互獨(dú)立的首次積分，則在區(qū)域G內(nèi)微分方程（1.13）的任何首次積分=C，可以用（1.18）來表達(dá)，亦即其中是某個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。為了求首次積分，也為了下一節(jié)的應(yīng)用，人們常把方程組（1.3）改寫成對稱的形式這時(shí)自變量和未知函數(shù)的地位是完全同等的。更一般地，人們常把上述對稱式寫成（1.21）并設(shè)內(nèi)部不同時(shí)為零，例如假如設(shè)則（1.21）等價(jià)于。（1.22）請留意，式（1.22）中的相當(dāng)于自變量，相當(dāng)于未知函數(shù)，所以在方程組（1.21）中只有n--1個(gè)未知函數(shù)，連同自變量一起，共有n個(gè)變元。不難驗(yàn)證，對于系統(tǒng)（1.21），定理1相應(yīng)地改寫為：設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，并且不恒等于常數(shù)，則=C是（1.21）的首次積分的充分必要條件是關(guān)系式（1.23）在G內(nèi)成為恒等式。假如能得到（1.21）的n-1個(gè)獨(dú)立的首次積分，則將它們聯(lián)立，就得到（1.21）的通積分。方程寫成對稱的形式后，可以利用比例的性質(zhì)，給求首次積分帶來便利。例3求的通積分。解將前兩個(gè)式子分別變量并積分，得到方程組的一個(gè)首次積分（1.24）其中是隨意常數(shù)，再用比例的性質(zhì)，得兩邊積分，又得到一個(gè)首次積分，（1.25）其中是隨意常數(shù)。（1.24）和（1.25）是相互獨(dú)立的，將它們聯(lián)立，便得到原方程組得通積分例4求的通積分。解利用比例的性質(zhì)，可以得到于是有分別積分，就得到兩個(gè)首次積分將它們聯(lián)立，就得到原系統(tǒng)的通積分，其中為隨意常數(shù)。例5求解二體問題，即求解方程組其中常數(shù)是相對靜止的這個(gè)天體的質(zhì)量?，F(xiàn)在求二體問題的運(yùn)動(dòng)軌線。以x乘第二式兩邊，以y乘第三式兩邊，然后相減，得即積分便得到（1.26）這里是隨意常數(shù)，用類似的方法，可以得到其中都是隨意常數(shù)。分別用x,y,z乘（1.26），（1.27）和（1.28）的兩邊，然后三式相加，得到（1.29）這時(shí)一個(gè)平面方程。說明二體問題的運(yùn)動(dòng)軌跡位于（1.29）所表示的平面內(nèi)。因此二體問題的軌跡是一條平面曲線。重新選取坐標(biāo)平面，不妨將軌跡線所在的平面選為（x，y）平面，于是二體問題的運(yùn)動(dòng)方程是由這兩式可以看到上式可以寫成兩邊積分，得到一個(gè)首次積分其中A為積分常數(shù)。引入極坐標(biāo)，經(jīng)過簡單的運(yùn)算，上式可以寫成（1.32）另一方面，以y乘（1.30），以x乘（1.31），然后兩式相減，得即積分后得到另一個(gè)首次積分化成極坐標(biāo)，便得。（1.33）設(shè)，則由（1.32）和（1.33）解得不妨把“”及B合并，仍記為B，則上式可以寫成，（1.34）記，則上式?jīng)]有意義，故總設(shè)。將（1.34）積分，得到這里又是一個(gè)積分常數(shù)。從上式得到二體問題軌跡線的極坐標(biāo)方程。（1.35）由平面幾何知道，這是一條二次曲線。它的離心率是當(dāng)時(shí)，軌跡為一個(gè)橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為一個(gè)拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為一雙曲線。由（1.35）可知，r依靠于常數(shù)，其中是系統(tǒng)常數(shù)；A和B由初始條件確定。假如，則由（1.33）知等于常數(shù)，這表示運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條射線，這是明顯的事。這個(gè)例子說明，雖然二體問題的解x=x（t）和y=y（t）沒有求出來，但是利用首次積分，卻完整地求出了運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。2一階齊次線性偏微分方程下面我們探討一階線性偏微分方程和一階擬線性偏微分方程的解法。2.1一階線性偏微分方程一階線性偏微分方程的一般形式為或簡記為，（2.1）其中為的未知函數(shù)。假定系數(shù)函數(shù)是連續(xù)可微的，而且它們不同時(shí)為零，即在區(qū)域D上有留意微分方程組（2.1）是線性齊次的。對于偏微分方程組（2.1）,我們考慮一個(gè)對稱形式的常微分方程組，（2.3）它叫做（2.1）的特征方程，留意特征方程（2.3）是一個(gè)（n-1）階常微分方程組，所以它有n-1個(gè)首次積分。（2.4）我們的目的是通過求（2.3）的首次積分來求（2.1）的解。(2.1)的解及(2.3)的首次積分之間的關(guān)系有如下的定理定理1假設(shè)已經(jīng)得到特征方程組(2.3)的個(gè)首次積分(2.4)則一階偏微分方程(2.1)的通解為(2.5)其中為一隨意元連續(xù)可微函數(shù)。證明設(shè)（2.6）是方程（2.3）的一個(gè)首次積分。因?yàn)楹瘮?shù)不同時(shí)為零，所以在局部鄰域內(nèi)不妨設(shè)，這樣特征方程（2.3）等價(jià)于下面標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程組（2.7）因此（2.6）也是（2.7）的一個(gè)首次積分，從而有恒等式亦即恒有。（2.8）這就證明白（特別數(shù)）函數(shù)為方程（2.3）的一個(gè)首次積分的充要條件為恒等式（2.8）成立。換言之，為方程（2.3）的一個(gè)首次積分的充要條件是為偏微分方程（2.1）的一個(gè)（特別數(shù)）解。因?yàn)椋?.4）是微分方程（2.3）的n-1個(gè)獨(dú)立的首次積分，所以依據(jù)首次積分的理論得知，對于隨意連續(xù)可微的（特別數(shù)）n-1元函數(shù)，就是（2.3）的一個(gè)首次積分。因此，相應(yīng)的函數(shù)（2.5）是偏微分方程（2.1）的一個(gè)解。反之，設(shè)是偏微分方程（2.1）的一個(gè)（特別數(shù)）解，則是特征方程（2.3）的一個(gè)首次積分，因此，依據(jù)首次積分的理論得知，存在連續(xù)可微函數(shù)，使恒等式成立，即偏微分方程（2.1）的任何特別數(shù)解可以表示成（2.5）的形式。另外，假如允許是常數(shù)，則（2.5）明顯包括了方程（2.1）的常數(shù)解。因此，公式(2.5)表達(dá)了偏微分方程組（2.1）的全部解，也就是它的通解。例1求解偏微分方程（）.（2.9）解原偏微分方程(2.9)的特征方程為它是一階常微分方程組，求得其一個(gè)首次積分為由定理1知，原偏微分方程的通解為其中為隨意可微的函數(shù)。例2求解邊值為題（2.10）解原偏微分方程（2.10）的特征方程為由;再由.故方程的通解為（2.11）其中為隨意二元可微的函數(shù)，可由邊值條件確定,因?yàn)镋MBEDEquation.3，令，則，代入（2.11）式，得到2.2一階擬線性非齊次偏微分方程下面探討一階擬線性非齊次偏微分方程（2.12）的求解方法。式（2.12）中函數(shù)是連續(xù)可微的。這里所說的“擬線性”是指方程關(guān)于未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都是一次的，各個(gè)系數(shù)，中可能含有未知函數(shù)，而“非齊次”是指存在不含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的自由項(xiàng)。和一階線性偏微分方程（2.13）相比較，明顯式擬線性方程（2.12）比線性方程（2.12）更廣泛。我們將求解（2.12）的問題化成求解線性齊次方程的問題，設(shè)是（2.12）的隱函數(shù)形式的解，且，則依據(jù)隱函數(shù)微分法得，（2.14）將（2.14）代入（2.12）中，經(jīng)過整理得（2.15）由此，可以將視為關(guān)于的函數(shù)，（2.15）變成了關(guān)于未知函數(shù)的一階線性齊次偏微分方程。于是函數(shù)應(yīng)是方程（2.15）的解。反過來，假設(shè)函數(shù)是（2.15）的解，且，則由（2.15）和（2.14）可以推出由方程=0所確定的隱函數(shù)是方程（2.12）的解。這樣求解