數(shù)學(xué)高二(上)滬教版(平面向量的綜合應(yīng)用)教師版

年級：高三輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時數(shù)：3課題平面向量的綜合應(yīng)用教學(xué)目的運用平面向量的知識解決一些綜合性的問題教學(xué)內(nèi)容【典型例題分析】例1、向量和，且求的值.解:===由,得又例2、橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。證明：〔1〕知，所以橢圓可化為設(shè)，由得在橢圓上，即①由〔1〕知又，代入①得故為定值，定值為1.例3、、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，那么QPNQPNMFO從而亦即(1)當(dāng)≠0時，MN的斜率為－，同上可推得故四邊形面積令=得∵=≥2①當(dāng)=±1時=2，S=且S是以為量的增函數(shù)∴②當(dāng)=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。例4、四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點?！并瘛匙C明：面PAD⊥面PCD；〔Ⅱ〕求AC與PB所成的角；〔Ⅲ〕求面AMC與面BMC所成二面角的大小?！怖砜啤场并瘛匙C：因由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.〔Ⅱ〕解：因〔Ⅲ〕解：在MC上取一點N〔x，y，z〕，那么存在使要使為所求二面角的平面角.例5、在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．〔理科〕〔Ⅰ〕證明AB⊥平面VAD．〔Ⅱ〕求面VAD與面VDB所成的二面角的大?。C：〔Ⅰ〕作AD的中點O，那么VO⊥底面ABCD．建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為1，那么A〔，0，0〕，B〔，1，0〕，C〔-，1，0〕，D〔-，0，0〕，V〔0，0，〕，∴由又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得是面VAD的法向量設(shè)是面VDB的法向量，那么∴，又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為。【課堂小練】1、a是以點A(3,-1)為起點，且與向量b=(-3,4)平行的單位向量，那么向量a的終點坐標(biāo)是.解法一：設(shè)向量a的終點坐標(biāo)是(x,y),那么a=(x-3,y+1)，那么題意可知，故填(,-)或(,-)解法二：與向量b=(-3,4)平行的單位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，從而向量a的終點坐標(biāo)是(x,y)=a-(3,-1),便可得結(jié)果。2、|a|=1,|b|=1，a與b的夾角為60°,x=2a－b，y=3b－a,那么x與y解：由|a|=|b|=1，a與b的夾角α為60°,得a·b=|a||b|cosα=。要計算x與y的夾角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值。∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+=7a·b－2a2－3b2=7×－2－3=－，又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ∴cosθ=－，θ=π－arccos。即x與y的夾角是π－arccos3、如下圖，向量i，j，e1，e2均為單位向量，且i⊥j，e1⊥e2；①用i，j表示e1，e2；②假設(shè)eq\o(\s\up6(→),OP)=xi+yj,且xy=1；eq\o(\s\up6(→),OP)=x1e1+y1e2；當(dāng)θ=eq\f(π,4)時，求關(guān)于x1、y1的表達式，并說明方程表達的曲線形狀；解：利用平面向量的根本定理對向量進行分解，中間包含向量的根本運算可得①eq\b\lc\{(\a\al(e1=cosθi+sinθj,e2=-sinθi+cosθj))Oe1e2jiθ②eq\b\lc\{(\a\al(e1=\f(\r(2),2)(i+j),e2=\f(\r(2),2)(-i+j)))方程為：x12Oe1e2jiθ4、a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕(0<α<β<π)，〔1〕求證：a+b與a-b互相垂直；〔2〕假設(shè)ka+b與a-kb的大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α〔1〕證法一：∵a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕∴a+b＝〔cosα+cosβ，sinα+sinβ〕,a-b＝〔cosα-cosβ，sinα-sinβ〕∴(a+b)·(a-b)=〔cosα+cosβ，sinα+sinβ〕·〔cosα-cosβ，sinα-sinβ〕=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0∴(a+b)⊥(a-b)證法二：∵a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕∴|a|＝1，|b|＝1∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴(a+b)⊥(a-b)證法三：∵a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕∴|a|＝1，|b|＝1,記＝a，＝b，那么||＝||=1,又α≠β，∴O、A、B三點不共線。由向量加、減法的幾何意義，可知以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形對角線互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)〔2〕解：由得|ka+b|與|a-kb|,又∵|ka+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),|ka+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),∴2kcos(β－α)=-2kcos(β－α)又∵k≠0∴cos(β－α)＝0∵0<α<β<π∴0<β－α<π,∴β－α=5、平面上三點A、B、C滿足||=3,||=4，||=5,那么的值等于。解：此題主要是向量與解三角形的結(jié)合，解題時應(yīng)注意兩個向量的夾角與三角形的內(nèi)角的關(guān)系，如<>=π-C。答案：－256、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A(3,1),B(-1,3),假設(shè)點C滿足=α+β，其中∈R且α+β＝1，那么C點的軌跡方程為〔〕A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0解：設(shè)C(x,y)，那么=(x,y)由=(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)∴,〔可從中解出α、β〕又∵α+β＝1消去α、β得x+2y-5=07、將函數(shù)y=2x2進行平移，使得到的圖形與拋物線y=－2x2+4x+2的兩個交點關(guān)于原點對稱，求平移后的函數(shù)解析式。解法一設(shè)平移向量a=(h,k)，那么將y=2x2按a平移之后得到的圖像的解析式為y=2(x－h(huán))2+k。設(shè)M′(m,n)和M′(－m,－n)是y=－2x2+4x+2與y=2(x－h(huán))2+k的兩個交點，那么：解得：或∴點〔1，4〕和點〔－1，－4〕在函數(shù)y=2(x－h(huán))2+k的圖像上∴故所求解析式為：y=2(x+1)2－4，即y=2x2+4x－2解法二將y=2x2按向量a=(h,k)平移，設(shè)P〔x,y〕為y=2x2上任一點，按a平移之后的對應(yīng)點為P′(x′,y′)，那么故∴y－k=2(x－h(huán))2是平移之后的函數(shù)圖像解析式。由消去y得：4x2－4(h+1)x+2h2+k－2=0又∵兩交點關(guān)于原點對稱∴x1+x2=0,即=0,h=－1又y1+y2=0,∴2x12－4hx1+2+k+2x22－4hx2+2+k=0∴2(x12+x22)+4(x1+x2)=－4－2k∴2(x1+x2)2+4(x1+x2)－4x1·x1=－4－2k∵x1·x2=，∴－4×=－4－2k,∴k=－4∴y=2(x+1)2－4,即y=2x2+4x－2。8、設(shè)炮彈被以初速v0和仰角α拋出〔空氣阻力忽略不計〕。當(dāng)初速度v0的大小一定時，發(fā)射角α多大時，炮彈飛行的距離最遠。解：將v0分解為水平方向和豎直方向兩個分速度v1和v2，那么|v1|=|v0|cosα,|v2|=|v0|sinα由物理學(xué)知識可知，炮彈在水平方向飛行的距離S=|v1|·t=|v0|cosα·t〔t是飛行時間〕①炮彈在垂直方向的位移是0=|v2|·t-gt2〔g是重力加速度〕②由②得t=,③代入①得S=由于|v0|一定，所以當(dāng)α=45°時，S有最大值。故發(fā)射角α=45°時，炮彈飛行的距離最遠【課堂總結(jié)】有關(guān)向量局部以解答題形式出現(xiàn)，那么反映為立體幾何中的向量求法、解析幾何中的向量應(yīng)用及與三角、數(shù)列、不等式結(jié)合的知識之間的整合?！菊n后練習(xí)】1、向量a=〔x，1〕，b=〔3，6〕，ab，那么實數(shù)的值為〔〕A．B．C．D．2、設(shè)向量＝(－2，1)，＝(1，λ)(λ∈R)，假設(shè)、的夾角為1350，那么λ的值是〔〕A．3B.－3C.3或－D.－33．向量夾角是 〔〕 A．30° B．60° C．120° D．150°4、假設(shè)平面向量和互相平行，其中.那么〔〕A.或0；B.；C.2或；D.或.5、在是 〔〕 A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形6、是兩個非零向量,給定命題;命題,使得;那么是的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7、平面向量也叫二維向量，二維向量的坐標(biāo)表示及其運算可以推廣到維向量，n維向量可用〔x1,x2,x3,···xn〕表示，設(shè)規(guī)定向量夾角的余弦時，cos=學(xué)科網(wǎng)〔〕A． B．學(xué)科網(wǎng)C．D．學(xué)科網(wǎng)8、O是所在平面內(nèi)一點，且滿足，那么的形狀為〔〕A、直角三角形B、等腰直角三角形C、斜三角形D、等邊三角形9、如圖，非零向量 〔〕 A． B．C． D．10、a和b是非零向量，m=a+tb(t∈R)，假設(shè)|a|=1，|b|=2，當(dāng)且僅當(dāng)t=時，|m|取得最小值，那么向量a、b的夾角θ為A． B． C． D．11、如圖，是平面上的三點，向量,設(shè)P為線段AB的垂直平分線上任意一點，向量，假設(shè)那么〔〕A.1B.3C.512、設(shè),.定義一種向量積：.,點在的圖像上運動,點在的圖像上運動,且滿足(其中為坐標(biāo)原點),那么的最大值及最小正周期分別為()A.B.C.D.13、，，，那么．14、與為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，那么實數(shù)的取值范圍是.15、設(shè)點O在△ABC的內(nèi)部且滿足:，現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在△ABC中，那么豆子落在△OBC中的概率是______________.16、在直角坐標(biāo)平面內(nèi),點列如果為正偶數(shù),那么向量的坐標(biāo)(用表示)為_______.17.向量,(為常數(shù)),假設(shè)向量、的夾角,求實數(shù)的取值范圍.18、向量學(xué)科網(wǎng)〔1〕假設(shè)，球向量的夾角；學(xué)科網(wǎng)〔2〕當(dāng)時，求函數(shù)的最大值。學(xué)科網(wǎng) 19．向量函數(shù)圖象上相鄰兩個對稱軸間的距離為時，函數(shù)的最小值為0.〔1〕求函數(shù)的表達式；〔2〕在△ABC中，假設(shè)的值.20、平面向量是直線OP上的一個動點，求的最小值及此時的坐標(biāo)。學(xué)科網(wǎng)21、兩個向量，.〔1〕假設(shè)t=1且，求實數(shù)x的值；〔2〕對tR寫出函數(shù)具備的性質(zhì).22、如圖，△ABC為直角三角形，點C在x軸上移動?！?〕求點B的軌跡E的方程；〔2〕過點與曲線E交于P，Q兩點，設(shè)的夾角為的取值范圍；【課后練習(xí)答案】1、B2、D3、C4、C5、A6、A7、D8、A9、A10、C11、D12、C13、1014、15、16、17.解：∵向量的夾角,①當(dāng)時,；②當(dāng)時,；③當(dāng)時,綜上所述：當(dāng)時,的范圍是當(dāng)時,的范圍是；當(dāng)時,的范圍是18、解：〔1〕當(dāng)時， ∴ 〔2〕 = ∵， ∴ 故， ∴當(dāng)19.解：〔1〕依題意，〔2〕又在Rt△ABC中，又20、解：設(shè)∵∴∵，，∴∴當(dāng)有最小值－8.∴21、解：〔1〕由得解得，或