2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí) 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專(zhuān)題8.6空間向量及其運(yùn)算和

空間位置關(guān)系

練基礎(chǔ)

1?

1.（2021?陜西高二期末（理））已知P為空間中任意一點(diǎn)，AB、C、。四點(diǎn)滿(mǎn)足任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，但四

21

點(diǎn)共面，B.PA=-PB-xPC+-BD,則實(shí)數(shù)x的值為（）

36

A.-B.--C.-D.--

3366

2.【多選題】（2021?全國(guó)）下列命題中不正確的是（）.

A.若A、8、C、O是空間任意四點(diǎn)，則有AB+8C+CZ）+ZM=0

B.若|。冃切，則〃、匕的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反

C.|a|-屹|(zhì)=|“+6是共線(xiàn)的充分條件

UL11UULILllULH1

D.對(duì)空間任意一點(diǎn)尸與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、8、C,若0P=MM+y08+z0C（x，y，zeR）,則P、A、8、C四

點(diǎn)共面

3.（2020?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）己知向量a=（l,-3,2）,8=（-2,優(yōu),-4）,若力〃力，則實(shí)數(shù)，〃的值是

.若a丄力，則實(shí)數(shù)m的值是.

4.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有.

①若向量a，6與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a//b;

②若非零向量a,h>c滿(mǎn)足”丄〃，b丄c，則有a//c;

③若。4，OB，。。是空間的一組基底，且0￡>=g0A+；0B+g0C,則A,B,C,。四點(diǎn)共面；

④若向量a+分，b+c>c+a>是空間一組基底，則a，b，c也是空間的一組基底.

5.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1,2,3）,8（0,1,2）,C（-I,0,X）,若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，

則幾=_.

6.（2021?廣西高一期末）ABC在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為

7.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐S-ABC中，平面SAC丄平面ABC,SA丄AC,8c丄AC,|SA|=6,

|AC|=V2I,忸C|=8,則|S8|的長(zhǎng)為.

8.（2021?浙江高一期末）在長(zhǎng)方體AB8-A4G。中，AB=AD=\,M=2,點(diǎn)p為底面A8CD上一點(diǎn)，

則PA-PCt的最小值為.

9.（2021?山東高二期末）在正三棱柱ABC-aBC中，AB=AA=2,點(diǎn)。滿(mǎn)足AO=g（AB+A4,）,則=

10.（2020-2021學(xué)年高二課時(shí)同步練）如圖，已知0,4仇。,。,￡尸,6,"為空間的9個(gè)點(diǎn)，且

OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k#0,，〃片0,求證：

o

(1)AB,C,￡>四點(diǎn)共面，E,F,G,H四點(diǎn)共面;

(2)AC//EG:

(3)OG=kOC.

練提升

1.（2021?四川省大竹中學(xué)高二月考（理））如圖，在平行六面體ABCD-A8cA中，AB^AD^l,

IUUITI

M=>/2,^BAAt=ZDAA,-45,ZBAD=CA),則卜6=()

A.1B.百C.9D.3

2.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC、8。分別在這個(gè)二面角的

兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于4B,已知A8=4,AC=6,80=8,CD=2同，則該二面角的大小為（）

A.30B.45

C.60D.90

3.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱A8C-A8C中，與8c相交于點(diǎn)

0,/A4B=/AAC=/BAC=60，A4=3,A8=AC=2,則線(xiàn)段A。的長(zhǎng)度為（）

J3

A叵B.叵C.3D.叵

2222

4.（2020?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）己知空間四邊形ABCZ）的對(duì)角線(xiàn)為AC與3。，M,N分別為線(xiàn)段AB,

___1一1一

CD上的點(diǎn)滿(mǎn)足AM=：AB,DN-DC,魚(yú)G在線(xiàn)段MN上,且滿(mǎn)足MG=2GN，若AG=xAB+yAC+zAD,

34

貝jix+y+z=.

5.（2021.廣西高二期末（理））在A8C中，ABAC=90°,AB=6,AC=8,。是斜邊上一點(diǎn)，以AD為棱

折成二面角C-AD-3,其大小為60。，則折后線(xiàn)段BC的最小值為.

6.（2021?遼寧高一期末）己知點(diǎn)E在正方體A88-A4GA的側(cè)面44出田內(nèi)（含邊界），F(xiàn)是A4的中點(diǎn),

RE丄CF,則tanZBCE的最大值為；最小值為.

7.（2021?北京高二期末）如圖，在四面體A8C。中，其棱長(zhǎng)均為1,M,N分別為8C,A。的中點(diǎn).若

MN=xAB+yAC+zAD,則x+N+z=；直線(xiàn)MN和CD的夾角為.

8.（2021?四川高二期末（理））如圖，在三棱柱中，點(diǎn)。是BG的中點(diǎn)，AC=\,BC=CC,=2,

（1）用a，b>c表不AB，A。;

（2）求異面直線(xiàn)AB與A。所成角的余弦值.

9.（2021.浙江高一期末）已知四棱錐7-厶88的底面是平行四邊形，平面&與直線(xiàn)AL>,L4,TC分別交于點(diǎn)

P,Q,R且黑=^=5J=x,點(diǎn)M在直線(xiàn)7B上，N為C。的中點(diǎn)，且直線(xiàn)〃平面口.

AD/AC/

（I）設(shè)TA=a,TB=b,TC=c,試用基底｛a,b,c｝表示向量7?；

（H）證明，對(duì)所有滿(mǎn)足條件的平面a,點(diǎn)M都落在某一條長(zhǎng)為亞力5的線(xiàn)段上.

2

10.（2021?山東高二期末）己知在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，點(diǎn)A，B,C,M的坐標(biāo)分別是（2,0,2）,（2,1,0）,

（0,4-1）,（2,3,-1）,過(guò)點(diǎn)A,B,C的平面記為a.

（1）證明：點(diǎn)A,B,C,Af不共面；

（2）求點(diǎn)M到平面a的距離.

練真題

1.（2021?全國(guó)高考真題）在正三棱柱ABC-ABCI中，川=償=1，點(diǎn)P滿(mǎn)足=,其中4e[0,l],

MG[0』，則（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)4時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得4尸丄BP

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)戶(hù)，使得A8丄平面A8/

2.（湖北卷）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-個(gè)z中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2）,（2,2,0）,

（1,2,1）,（2,2,2）,給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）

A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②

3.（2018年理數(shù)全國(guó)卷H）在長(zhǎng)方體ABCC-41B1GD1中，AB=BC=1,441=百，則異面直線(xiàn)4劣與。殳

所成角的余弦值為（）

A、B-?C-TDT

4.（2019年高考浙江卷）如圖，已知三棱柱45C-A4G，平面4ACG丄平面ABC,NA3C=90°,

ZBAC=30°,A=AC=AC,E,F分別是IC,4笈的中點(diǎn).

（1）證明：EFA.BC；

（2）求直線(xiàn)即與平面兒完所成角的余弦值.

5.(2019年高考北京卷理)如圖，在四棱錐P-ABCD中,均丄平面ABCD,ADVCD,AI)//BC,PA=AD=CD=2,B(=3.E

PF1

為如的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且

PC3

(1)求證：切丄平面必〃；

(2)求二面角尸-/￡-戶(hù)的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)G在心上，且爲(wèi)=g.判斷直線(xiàn)/G是否在平面1成內(nèi)，說(shuō)明理由.

6.(2019年髙考全國(guó)II卷理)如圖，長(zhǎng)方體/靦-4旦G"的底面/靦是正方形，點(diǎn)￡在棱上，BELEG.

(1)證明：成丄平面EBC；

（2）若/后4區(qū)求二面角6-於-G的正弦值.專(zhuān)題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位

置關(guān)系

練基礎(chǔ)

1.（2021?陜西高二期末（理））已知尸為空間中任意一點(diǎn)，AB、C、。四點(diǎn)滿(mǎn)足任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，但四

21

點(diǎn)共面，B.PA=-PB-xPC+-BD,則實(shí)數(shù)x的值為（）

36

A.-B.--C.-D.--

3366

【答案】B

【解析】

根據(jù)向量共面的基本定理當(dāng)PD=xPA+yP8+zPC時(shí)x+y+z=l即可求解.

【詳解】

*7IO111

PA=-PB-XPC+-BD=-PB-XPC+-（PD-PB\=-PB-XPC+-PD,

3636、丿26

又TP是空間任意一點(diǎn)，A、8、C、O四點(diǎn)滿(mǎn)足任三點(diǎn)均不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，

-=1,解得X=_g

263

故選：B

2.【多選題】（2021.全國(guó)）下列命題中不正確的是（）.

A.若A、8、C、。是空間任意四點(diǎn)，則有A8+BC+C￡）+D4=O

B.若冃b|,則入5的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反

C.|。|-屹冃°+引是0、匕共線(xiàn)的充分條件

iiuiUHmuinui

D.對(duì)空間任意一點(diǎn)尸與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、8、C,OP=xOA+yOB+zOC（VZGR）,則P、A、8、C四

點(diǎn)共面

【答案】ABD

【解析】

本題考察向量的概念與性質(zhì)，需按個(gè)選項(xiàng)分析，A選項(xiàng)考察向量加法的意義，B選項(xiàng)考察向量的模的性質(zhì)，

C選項(xiàng)可以?xún)蛇吰椒接?jì)算，D選項(xiàng)考察四點(diǎn)共面的性質(zhì).

【詳解】

milIILUuuuLILUl1

A選項(xiàng)，4B+8C+C￡)+OA=0而不是。，故A錯(cuò)，

B選項(xiàng)，|a|=|〃僅表示〃與人的模相等，與方向無(wú)關(guān)，故B錯(cuò)，

C選項(xiàng)，|-+/?|n,F-2時(shí)一回+但「=/+2a-b+Z?2,

即-2|a|jZ?|=2ab=2kH"，cos(a,b),

即cos?b)=-\,〃與人方向相反，故C對(duì)，

D選項(xiàng)，空間任意一個(gè)向量OP都可以用不共面的三個(gè)向量。4、08、0C表示，

尸、A、B、C四點(diǎn)不一定共面，故D錯(cuò)，

故選ABD.

3.(2020?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末)已知向量。=(1,一3,2),6=(—2,m,-4),若二〃力，則實(shí)數(shù)機(jī)的值是

.若a丄b，則實(shí)數(shù)m的值是.

【答案】6--

3

【解析】

a=(1,-3,2),h=(-2,in,-4),若a//b>則(L-3,2)=2(-2,zn,-4),

A,—1Q

解得，2；若q丄)，則〃力=一2-3加一8=0，解得機(jī)=一~—?

m=6~

故答案為：6和一■—.

3

4.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有.

①若向量〃，方與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則〃//9

②若非零向量a,b，c滿(mǎn)足〃丄6,匕丄c，則有〃//c;

—11一1一

③若。4，OB，OC是空間的一組基底，OD=—OA+—OB+—OC,則A,B,C,。四點(diǎn)共面；

④若向量4+人)+：,，C+Q,是空間一組基底，則a，b，。也是空間的一組基底.

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析判斷①，④；對(duì)于②在空

間中滿(mǎn)足條件的a與c不一定共線(xiàn)，從而可判斷;對(duì)于③，由條件結(jié)合空間向量的加減法則可得

AD=-AB+-AC,從而可判斷；

33

【詳解】

對(duì)于①：若向量a，6與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線(xiàn)向量，即〃//6,故①正確;

對(duì)于②：若非零向量a，b.c滿(mǎn)足a丄6，b丄c,則a與c不一1定共線(xiàn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：若。A,OB，0C是空間的一組基底，且。。=g04+g0B+g0C,

1111

貝IJO￡>-OA=§(O8-Q4)+3(OC-OA),BPAD=-AB+-AC,

可得到A,B,C,。四點(diǎn)共面，故③正確；

對(duì)于④：若向量a+方，b+c>c+a，是空間一組基底，則空間任意一個(gè)向量"，

存在唯一實(shí)數(shù)組(x,y,z),使得d=x(a+6)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,

由％y,z的唯一性，則尤+z,x+y,y+z也是唯一的

則a，b,C?也是空間的一組基底，故④正確.

故答案為：①③④

5.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)AQ,2,3),B(0,1,2),C(-1,0,X),若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，

貝|]2=_.

【答案】1

【解析】

利用坐標(biāo)表示向量，由向量共線(xiàn)列方程求出X的值.

【詳解】

由題意，點(diǎn)A(1,2,3),B(0,1,2),C(-1,0,X),

所以AB=(—1,-1,—1),BC=(——2),

；

若A,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)，則AB//BC，即—_1=—_1=丄-2]，解得4=L

故答案為：1.

6.(2021?廣西高一期末)A8C在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為

【答案】73

【解析】

先用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解出線(xiàn)段BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求出中線(xiàn)長(zhǎng).

【詳解】

）,即（1,1,0）

由空間兩點(diǎn)間的距離公式得BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為7(0-1)2+(0-1)2+(1-0)2=百.

故答案為：6

7.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))在三棱錐S-ABC中，平面54c丄平面A8C,SALAC,BC丄AC,|SA|=6,

照=后，|BC|=8,則|SB|的長(zhǎng)為

y

X

【答案】11

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.

【詳解】

平面丄平面A8C,平面SAC平面A8C=AC,SAVAC,SAu平面SAC,SA丄平面ABC,

建立以A為原點(diǎn)，平行于BC做x軸，AC為）,軸，SA為z軸作空間直角坐標(biāo)系，

貝|JA（O,O,O）,B（8，V21,0）,S（0,0,6）

/.\SB\=|SB\=J（0-8>+（0-同2+（6-Of=11.

故答案為：11.

8.（2021?浙江高一期末）在長(zhǎng)方體ABC。-ABCQ中，AB=AD=1,44t=2,點(diǎn)?為底面A8CO上一點(diǎn),

則PA-PCt的最小值為.

【答案】

【解析】

根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.

【詳解】

解：如圖，以ARAB,44,所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(O,O,O)，G(lJ2),設(shè)P(x,)，,0),

所以扇=(-％->,0),死=(1-工,1_%2)，

22

所以PA-PCt=-^(l-x)-y(l—y)=x+y—x-y=(x-g)+(.y

所以當(dāng)x=y=g時(shí)，有最小值

故答案為：

9.（2021?山東高二期末）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=2,點(diǎn)。滿(mǎn)足4。=g（AB+蝴），則=

【答案】2

【解析】

因?yàn)锳BC-A耳G是正三棱柱，所以建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求出AO的坐標(biāo)也即是點(diǎn)。的坐標(biāo)，由C,￡>

兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求卜4的模.

【詳解】

因?yàn)锳8C-ABG是正三棱柱，所以AA丄面A8C,且43c為等邊三角形,

如圖建立以A為原點(diǎn)，AC所在的直線(xiàn)為y軸，過(guò)點(diǎn)A垂直于AC的直線(xiàn)為X軸，4A所在的直線(xiàn)為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）,8（"1,0）,A（0,0,2）,C（0,2,0）,A8=（百,1,0）,A4,=（0,0,2）,

所以AO=；（AB+A4）=；（G,1,2）=母;,1],即￡（得；,1,

故答案為：2.

10.（2020-2021學(xué)年高二課時(shí)同步練）如圖，已知0,4,8工,。,民￡&，為空間的9個(gè)點(diǎn)，且

OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+inAB,EG=EH+mEF,AwO,rn^O,求證:

（1）A,>C,￡>四點(diǎn)共面,E,F,G,H四點(diǎn)共面;

（2）AC//EG;

（3）OG=kOC.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析：（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用共面向量定理證明四點(diǎn)共面;

（2）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算找到AC、EG的關(guān)系，證明4C〃EG;

（3）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算可得.

【詳解】

證明：（1）,AC=AD+mAB,m^0,；.A、B、C、。四點(diǎn)共面.

EG=EH+mEF,mwO,：.E.F、G、”四點(diǎn)共面.

(2)EG=EHmEF=OH-OE+m{OF-OE)=k(OD-OA)+km{OB-OA)

=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,AC//EG.

(3)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(OA+AC)=kOC.

練提升

1.(2021?四川省大竹中學(xué)高二月考(理))如圖，在平行六面體ABC。-A8CA中，AB=AD=1,

IUUITI

A4,=/￡>想=45,/BAO=60,則卜4卜()

A.1B.后C.9D.3

【答案】D

【解析】

根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到AG=A8+AO+AA,

再利用|ACJ=*AB+AD+41J求患的模長(zhǎng).

【詳解】

在平行六面體A88-AgGA中，

WAC=AB+AD>AC^AC+AA,=AB+AD+AA,,

由題知，AB^AD^l,A4,=V2,ZBAAi=ZDAAl=45,ZBAD=60>

所以卜@=34=1,|心卜夜，A8與AD的夾角為㈤￡>=60。，

AB與胡的夾角為N8/M=45。，A。與A41的夾角為乙44。=45。，

所以

AC~

=(AB+AO+AA)2

=|AB|2+|AD|2+冋?+2A5.AO+2A3.AA,+2A?AA,

=l+14-2+2xlxlxcos600+2xlx>/2xcos450+2xlx>/2xcos45°

=9.

所以kq=3.

故選：D.

2.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC、2。分別在這個(gè)二面角的

兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB,已知Afl=4,AC=6,BD=8,CD=2拒，則該二面角的大小為()

A.30B.45

C.60D.90

【答案】C

【解析】

根據(jù)向量垂直的條件得C4dB=0,=再由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得cos(CA8Z))=-g,根據(jù)圖示

可求得二面角的大小.

【詳解】

由條件知CA43=0，ABBD=0,CD=CA+AB+BD>

r.ICD|2=|CA|2+|AB「+|BD|2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2x6x8cos（CA,,

：.cos（CA,Z?D）=-1,又（CA8D閆o,同，所以〈CA8￡＞）=120,.?.由圖示得二面角的大小為60,

故選：C.

3.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，BG與BQ相交于點(diǎn)

O,ZAXAB=Z\AC=ZBAC=60,A,A=3,AB=AC=2,則線(xiàn)段AO的長(zhǎng)度為()

匸I

【答案】A

【解析】

依題意得|朋卜3,卜3卜卜(?卜2,AAyAB=AAyAC=3,ABAC=2,AO=+AC+AB),進(jìn)而可

得結(jié)果.

【詳解】

依題意得|原1卜3,卜8卜|AC|=2,AA(-AB=A4,?AC=3,AB-AC=2.

AO=厶￡+00=(例+4c卜gg=(AA+AC)_g(2B1+8C)

=(A4+AC)-g(/U,+AC-AB)=；(A41+AC+A8),

所以

2222

\AO^=AO=-^AAt+AC+AB^=^AAt+AC+AB+2AA,-AC+2AAt-AB+2AC-AB

^^x(32+22+22+2x34-2x3+2x2)=^,

故|砌=亨.

故選：A.

4.（2020?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知空間四邊形ABC。的對(duì)角線(xiàn)為AC與3D,M,N分別為線(xiàn)段A8,

CD上的點(diǎn)滿(mǎn)足AM=2AB,QN=丄OC,點(diǎn)G在線(xiàn)段MN上,且滿(mǎn)足MG=2GN，若AG=xAB+yAC+zAD,

34

則x+y+z=.

【答案】I

【解析】

以48,AC,4。作為空間向量的基底，利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得AG的表示，從而可得x，y，z的值，最后可得

x+y+z的值.

【詳解】

AG=AM+MG=-AB+-MN,

33

5LMN=AN-AM=AN--AB,

3

^AG=AM+MG=^AB+^AN-^AB^=^AB+^AN,

111Q

\hiAN=AD+DN=AD+-DC=AD+-（AC-AD）=-AC+-AD,

所以4G=,AB+斗丄AC+3A丄AB+丄AC+丄AO,

93（44J962

因?yàn)锳8,AC,A￡>不共面，故光=<?=丄,2=:，

962

7

所以x+y+z=§,

7

故答案為：—

5.（2021?廣西高二期末（理））在ABC中，ABAC=90°,AB=6,AC=8,。是斜邊上一點(diǎn)，以"＞為棱

折成二面角C-AO-3,其大小為60。，則折后線(xiàn)段BC的最小值為.

【答案】2幣

【解析】

過(guò)C,8作AO的垂線(xiàn)，垂足分別為E,F,從而得到3F-FE=0,FE-EC=0,然后將BC用BF,FE,EC表示,

求出|8C『的表達(dá)式，再設(shè)NfiW=a，利用邊角關(guān)系求出所需向量的模，同時(shí)利用二面角的大小得到向量BF

與EC的夾角，利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式化簡(jiǎn)IBCT的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的有界性分析求

解即可.

【詳解】

解：如圖①，mC,B作的垂線(xiàn)，垂足分別為E,F,

故BF丄EF,

EC1EF,

所以BF-FE=0,FE-EC=0,

以A￡>為棱折疊后，則有BC=B/+FE+EC，

故BC?=(BF+FE+EC￥

=BF2+FE2+EC2+2BF-EC+2BF-FE+2FE-EC，

=|BF|2+1FE|2+1￡C|2+2BF-EC,

因?yàn)橐訟D為棱折成60。二面角C-AQ-6,

所以BF與EC的夾角為120。，

令NR4￡>=a,貝1」"4￡=90。-訪(fǎng)

在RfABF中，8/=A8.sina=6sina,AF=ABcosa=6cosa,

在Rt/\ACE中，EC=AC-sin(90°-a)=8cosa,AE=AC-cos(90°-a)=8sina,

故FE=AE-AF=Ssina-6cosa,

所以|BC|2=(6sina)2+(8sincr-6cos6z)24-(8cosa)2+2-6sina-8coscrx(-^)

=36(sin2a+cos2a}+64(sin2a+cos2a)-144sinacosa

=100-72sin26if,

故當(dāng)a=45。時(shí)，|5C|2有最小值28,

故線(xiàn)段8C最小值為2".

故答案為：2幣.

6.（2021?遼寧高一期末）已知點(diǎn)E在正方體ABS-AECQ的側(cè)面AA48內(nèi)（含邊界），F(xiàn)是A4的中點(diǎn),

D.EVCF,則tanNBCE的最大值為；最小值為.

【答案】1乎

【解析】

首先以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到6=2〃-2,?€[1,2],并表示

樸V）+5,利用二次函數(shù)求函數(shù)的最值.

BE

tanZBCE=—

BC2

【詳解】

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,如圖以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

O,（0,0,2）,E（2,a,b）,C（O,2,O）,F（2,0,l）,8（2,2,0）,

DlE=（2,?,/>-2）,CF=（2,-2,1）,

DtElCF,

:.D]ECF=4-2a+b-2^0,得6=2〃-2,ae[l,2],

BC丄平面ABB,A,,BC1.BE,

頷〃篋=絲=強(qiáng)=匹叵

BC22

/6丫4

_2y+(2.2y_J5M12Q+8_、I5丿5

222

當(dāng)a=2時(shí)，tanNBCE取得最大值是1,當(dāng)。=，時(shí)，tanZBCE取得最小值是g.

故答案為：1；乎

7.(2021?北京高二期末)如圖，在四面體ABC。中，其棱長(zhǎng)均為1,M,N分別為2C,AO的中點(diǎn).若

MN=xAB+yAC+zAD,貝ljx+y+z=；直線(xiàn)MN和CD的夾角為.

【答案】-1.:

【解析】

利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算把MN用AB,AC,AO表示即可得x，y，z,再由向量的數(shù)量積得向量夾角，從而得異

面直線(xiàn)所成的角.

【詳解】

由已知得MN=M8+8A+AN=1CB-A8+丄AO=」(AB-AC)-AB+丄AO=-丄AB-丄AC+丄A。，又

2222222

加可=》厶8+)咒。+2/1￡)且厶8,厶(7,4￡)不共面，x=y=—^,z=g,x+y+z=-g,

ABC。是棱長(zhǎng)為1的正四面體，AB-AC=lxlxcos60°=—,同理A￡)=AC，AO=丄,

22

\MN\=\IMN2=J-AB2+-AC2^--AD2+-ABAC--ABAD--ACAD=+-+-+,

1?V444222Y4444442

CD=AD-AC^

MNCD=(-^AB-^AC+^AD)\AD-AC)

1111-21211111111

=——ABAD+—ABAC——AC-AD+—AC+—AD——AD-AC=——+------+—+------=-,

2222224442242

25/27

.?.cos<MN,CD>==—,:?<MN,CD>=—,

訴何一旦］24

2

.,.異面直線(xiàn)MN和C。所成的角為二.

4

8.（2021.四川高二期末（理））如圖，在三棱柱A8C-ABG中，點(diǎn)。是BG的中點(diǎn)，AC=l,BC=CCt=2,

ZACC,=90°,ZACB=ZBCCt=60°,設(shè)C4=a，CB=b，CCx=c.

（1）用a，b>c表示A8，A。；

（2）求異面直線(xiàn)AB與AQ所成角的余弦值.

【答案】（1）AB=b-a>4。=—a；（2）—.

226

【解析】

（1）根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則計(jì)算；

（2）用空間向量法求解.

【詳解】

（1）三棱柱ABC-4gG中，點(diǎn)。是8G的中點(diǎn)，

AB=CB—CA=b—a'

AiD=AiC\+ClD=-CA+^CiB=-a+^CB-CCi）=-a+^h-^c,

(2)卜|=1，M=H=2，。?厶=lx2xcos60°=l，〃?c=lx2cos90°=0，Z?c=2x2cos60°=2,

網(wǎng)=也-42ab+c：=,4-2x1+12=6,

；21/2121,Liii八1八

(-a+gb-c)2a+—b+—c-a-b+a-c——b-c=Jl+l+l-l+O——x2=1

442V2

AB-A,D=(b-ci)'(-a-￥—b——c)=-ab+-b——bc+a——a?b+—a?c

222222

J.

ABA.D2_^3

cos<AB,A^D>=

|AB||4D|V3xl6

所以異面直線(xiàn)AB與例所成角的余弦值是*.

9.（2021?浙江高一期末）已知四棱錐T-A8CD的底面是平行四邊形，平面a與直線(xiàn)AR7ATC分別交于點(diǎn)

P,。/且絲=絲=?=》，點(diǎn)M在直線(xiàn)力?上，N為C。的中點(diǎn)，且直線(xiàn)MN//平面a.

ADTACT

（I）9A=a,TB=b,TC=c,試用基底｛a也c｝表示向量7D；

（II）證明，對(duì)所有滿(mǎn)足條件的平面口,點(diǎn)〃都落在某一條長(zhǎng)為且TB的線(xiàn)段上.

2

【答案】（I）TD=a+c-b;（II）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（I）由771=a,7B=b,TC=c,利用空間向量的加、減運(yùn)算法則求解；

（II）結(jié)合（I）TD=a+c-h，根據(jù)空=&=/=%，設(shè)TM=MB=4b，分別用a,0,c表示QP，QR，

ADTACT

NM,然后根據(jù)MN〃平面a,由存在實(shí)數(shù)y,z,使得NM=），QP+zQR求解.

【詳解】

(I)因?yàn)橐?4,78=。,巾=0,

所以7D=7X+AD=Z4+3C=Z4+TC-7B=4+C-/?;

(II)由(I)知TD=a+c-b，

又因?yàn)榇賶?/p>

=x，

所以7Q=xa,77?=(l—x)c,AP=xAD,

貝|J7P=7]4+AP=(1-X)Q+X(Q+C-〃)=Q+XC-X〃,

QP=QA+AP=(\-xjaJt-xc-xb,QR=TR-TQ=-xa-^(\-x)c,

設(shè)7M=Zra=/lb，

則77V=，TC+丄77)=丄Q—丄h+c,NM=TM-TN=--a-^[-+Z\b-cf

2222212丿

因?yàn)镸N〃平面a,則存在實(shí)數(shù)),，z,使得NM=)，QP+zQR,

即4-2|/?-c=y(1-x)tz+xyc-xyb-xza+(1-x)zc,

=^y-xy-xz^a-xyb+^xy+z-xz^c,

1

y-xyf-xz=-—

.1

所以-xy=Z+—

xy-kz-xz=-1

消元得(44+1)%2一(4/1+3卜+24+1=0,

當(dāng)4=一：時(shí)，x=L，

44

當(dāng)/lw—丄時(shí)，

4

QxwR,

A=（42+3）2-4（42+l）（2A+l）>0,

解得—且好，

44

綜上：--<2<—,

44

所以對(duì)所有滿(mǎn)足條件的平面a，點(diǎn)〃都落在某一條長(zhǎng)為好75的線(xiàn)段上.

2

10.（2021?山東高二期末）已知在空間直角坐標(biāo)系。-刈z中，點(diǎn)A,8,C,“的坐標(biāo)分別是（2,0,2）,（2,1,0）,

（0,4-1）,（2,3,-1）,過(guò)點(diǎn)A,B,C的平面記為a.

（1）證明：點(diǎn)A,B,C,M不共面；

（2）求點(diǎn)M到平面a的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）號(hào).

【解析】

（1）由AB=2AC知A，B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，然后由AM=xAB+yAC得不存在實(shí)數(shù)X,丁得答案；

（2）利用點(diǎn)M到平面a的距離d”=可得答案.

【詳解】

（1）由已知可得：

AB=（O,l,—2）,AC=（-2,4,-3）,AM=（0,3,-3）

假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，則存在使得A8=2AC，

0=-22

即（0,1,-2）=4（—2,4,一3）,所以1=42

-2=-32

此方程組無(wú)解，所以AB，AC不共線(xiàn)，

所以A,B,C不共線(xiàn)，

所以過(guò)點(diǎn)A,B,C的平面a是唯一的，

若點(diǎn)A,B,C,〃共面，則存在x,ye/?,使得AM=xAB+），AC,

即（0,3,-3）=x（0,1,—2）+y（—2,4,-3）,

0=-2y

即,3=x+4y,此方程組無(wú)解，

-3=-2x-3y

即不存在實(shí)數(shù)x,九使得AM=xAB+yAC,

所以點(diǎn)4，B,C,A/不共面.

（2）設(shè)平面a的法向量為n?=（a,b,c）,

m-AB=OJb-2c=0

m-AC=0f?j-2a+4。-3c=0

令c=2,則1=4,a=5,所以機(jī)二（5,4,2）,

14M?詞2J5

所以點(diǎn)M到平面a的距離dM==T-.

H5

練真題

1.（2021全國(guó)高考真題）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=",=1,點(diǎn)p滿(mǎn)足BP=4BC+〃3耳，其中4e[0,1],

440,1],則（）

A.當(dāng)；1=1時(shí)，△AB『的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)/=3時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AP丄8P

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AB丄平面AB/

【答案】BD

【解析】

對(duì)于A,由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對(duì)于B,將P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線(xiàn)，進(jìn)而考慮體積是否為定值；

對(duì)于C,考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解P點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

對(duì)于D,考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解戶(hù)點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

易知，點(diǎn)P在矩形BCC円內(nèi)部（含邊界）.

對(duì)于A,當(dāng)2=1時(shí)，BP=BC+RBBI=BC+RCG，即此時(shí)Pe線(xiàn)段CC-與P周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=ABC+BB]=BB,+ABtCl,故此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段Bg,而4G〃BC,用G〃平面

\BC,則有？到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)久=；時(shí)，BP=；BC+〃呢,取BC,耳￡中點(diǎn)分別為。，H,則8P=8Q+〃Q4,所以P點(diǎn)

軌跡為線(xiàn)段。冃，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A乎，°，1，P（0,0，〃），貝lj

4P=-冬0屮-1,8尸=（0,-；,〃），4尸?8尸=〃（4_1）=0,所以〃=0或〃=1.故”,Q均滿(mǎn)足，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)〃=；時(shí)，BP=4BC+；BB,,取84，附中點(diǎn)為〃,*.BP=BM+,N，所以尸點(diǎn)軌跡為線(xiàn)

段MN.設(shè)因?yàn)锳與0,0,所以AP=_,，%，；AB=-與。T，所以

k）

3111

-+-%--=0^>^=--,此時(shí)尸與N重合，故D正確.

故選：BD.

2.（湖北卷）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2）,（2,2,0）,

（1,2,1）,（2,2,2）,給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）

【答案】D

【解析】設(shè)A(0,0,2),5(2,2,0),C(l,2,l),D(2,2,2),在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則

判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D.

3.(2018年理數(shù)全國(guó)卷II)在長(zhǎng)方體厶BCD-aB1C1D1中，AB=BC=1,=遅，則異面直線(xiàn)力劣與。

所成角的余弦值為()

A.iB.更C.叵D.W

5652

【答案】C

【解析】

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),4(1,0,0),8式1,1,8),。式0,0,e),

所以和=(-1,0,b)，西=(1,1,73),因?yàn)閏os<和，西>=爲(wèi)譯=訣=鼻所以異面直線(xiàn)厶。1與

\Au-i|\DDI|2XV55

DBi所成角的余弦值為?，選C.

4.(2019年高考浙江卷)如圖，已知三棱柱ABC—AqG，平面AACG丄平面ABC,NABC=90°,

NA4c=30。,AA=AC=AC,E,F分別是4a45的中點(diǎn).

(1)證明：EF丄BC；

(2)求直線(xiàn)跖與平面4%所成角的余弦值.

3

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)

【解析】方法一：

(1)連接4反因?yàn)?4=4，，硯｛冰I中點(diǎn)，所以4￡丄4c.

又平面44匕丄平面46G4CU平面44s,

平面4/CGn平面川%NC,

所以，46丄平面46C,則4瓦丄6c

又因?yàn)?尸〃4?,NABC=90°,故比丄

所以外丄平面4硏

因此小丄陽(yáng)

(2)取比中點(diǎn)G,連接比,GF,則￡跖41是平行四邊形.

由于4石丄平面4%故4區(qū)L￡G,所以平行四邊形況払為矩形.

由(1)得比1丄平面的述，則平面48。丄平面瓦物,

所以所在平面48。匕的射影在直線(xiàn)4G上.

連接4皎燈于0,則/￡%是直線(xiàn)用與平面46C所成的角（或其補(bǔ)角）.

不妨設(shè)4e4,則在RtZ\4￡6中，4后26，E伉6

由于媯4G的中點(diǎn)，故EO=OG=42=15,

22

EO?+0G2-EG?3

所以cos/EOG=

2EOOG5