2023年高等數(shù)學試題庫

《高等數(shù)學》試題庫

《高等數(shù)學(一)》最新模擬試題及答案

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫

在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1.設f(x)=lnx,且函數(shù)dx)的反函數(shù)0T&)=絲也，則HHx)］=()

X-1

1x-2x+2Din延

A.ln-----B.ln-----C.ln—

x+2x-2x+22-x

「(d+e'r-2}dt

2.lim^--------------=()

XT01-COSX

A.0B.1C.-1D.00

3.設△"=/(%+1)―/(%)且函數(shù)/(冗)在％=%處可導，貝IJ必有()

A.limAy=0BAy-0C.dy=0DAy-dy

4.設函數(shù)f(x)=2ZxX2'xX<，1,則f(x)在點x=l處()

3x-l,x>1

A.不連續(xù)B.連續(xù)但左、右導數(shù)不存在C.連續(xù)但不可導D.

可導

5.設Jxf(x)dx=e-，一+C,則f(x)=()

A.xe-x2B.-xe-x2C.2evD.-2e*

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

6.設函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上有定義，則函數(shù)f(x+L)+f(x,)的定義域是.

44

7?lim(a+陽+aq2+…+ciq")(|同<1)=

o「arctanx

o?lim----------=

XXX

9.已知某產(chǎn)品產(chǎn)量為g時，總成本是C(g)=9+j1,則生產(chǎn)100件產(chǎn)品時的邊際

800

成本MCLa——

10.函數(shù)/（x）=/+2x在區(qū)間［0,1］上滿足拉格朗日中值定理的點g是

11.函數(shù)y=2/一9/+12x—9的單調(diào)減少區(qū)間是.

12.微分方程町'-y=\+x3的通解是.

13.設「"一—二弓■，貝必=.

2

］4.設z="土貝ijdz_.

y

15.設￡）={（x,y）|O<x<l,O<y<l},則“xelydxdy=.

D

三、計算題（一）（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

16.設y=—j,求dy.

lncotx

17.求極限lim

x-?o+Inx

18.求不定積分［-------,dx.

J（5x+1）^10（5x4-1）

19.計算定積分1=J；J/—x2dx.

20.設方程x2y-2xz+e，=1確定隱函數(shù)z=z（x,y）,求z\,z'y。

四、計算題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

21.要做一個容積為v的圓柱形容器，問此圓柱形的底面半徑r和高h分別為多少時，所用

材料最??？

n

22.計算定積分卜sin?xdx

o

23.將二次積分I=］：dxC目乎dy化為先對x積分的二次積分并計算其值。

五、應用題（本題9分）

24.已知曲線y=/,求

（1）曲線上當x=l時的切線方程:

（2）求曲線y=/與此切線及x軸所圍成的平面圖形的面積，以及其繞x軸旋轉而成

的旋轉體的體積匕.

六、證明題（本題5分）

25.證明：當x>0時，xln（x+Jl+心）>Ji+x，一］

高等數(shù)學（一）模擬試題參考答案

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

1.答案：B

2.答案：A

3.答案：A

4.答案：C

5.答案:D

二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）

￡3-

6.答案:

454

7.答案：

"q

8.答案：0

9.答案：-

4

10.答案:

11.答案：（1,2）

x3

12.答案：--1+Cx

2

13.答案：a=ln2

14.答案：一■-sin2xdx+C°Srfy

yJ

15.答案：e?）

三、計算題（一）（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

16.答案：一(lnx+1<)1Y—dx

17.答案：-1

18.答案：）Jln（5x+l）+C

19.答案：一ci"

4

2孫-2z

20.答案：Z；=

2x—e'''2x—cz

四、計算題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

1~\7~V[4V

21.答案：r°=也/%=-=?—

V2萬乃石\71

42

22.答案：—

4

23.答案：1

五、應用題（本題9分）

1TC

24.答案：（1）y=2x-l（2）—,一

1230

⑵所求面積S=J：（罟-4心==1

0

7171

所求體積Vx=項/)2人;.萬.『.(=q

630

六、證明題(本題5分)

25.證明:

/(%)=xln(x+Jl+x)-yjl+x2+1

12x

1■1----/2

/.f*(x)=ln(x+A/1+x2)+x—2?1土工---，

=ln(x+Jl+M)+/———i*

Vi+7Vi+7

=ln(x+vl4-X^)

x>0

.,.x+Jl+x?>1

/.f\x)=ln(x+Jl+x')>0

故當x>0時/(x)單調(diào)遞增，則/(幻>/(0),即

xln(x+Jl+x?)>Jl+廠-1

高等數(shù)學(上)試題及答案

一、填空題(每小題3分，本題共15分)

2

1、Iim(l+3x)x=.o

XTO

fevx<0

2、當k時，/(x)={、在x=O處連續(xù).

+kx>0

dx

3、設y=x+lnx,則一=_______

dy

4、曲線y=e、-x在點(0,1)處的切線方程是

5、若J/(x)dr=sin2x+C,C為常數(shù),則/(x)=。

二、單項選擇題(每小題3分，本題共15分)

1x1

1、若函數(shù)=則Um/(x)=()

XKT°

A、0B、-1C、1D、不存在

2、下列變量中，是無窮小量的為()

A.In—(x—>0+)B.Inx(x—>1)C.cosx(x—>0)D.

x

與三(XT2)

x-4

3、滿足方程/'(x)=0的x是函數(shù)、=/。)的().

A.極大值點B.極小值點C.駐點D.間斷點

4、下列無窮積分收斂的是（）

，+00?400

sinxtZrB、「，~2xdxC、—dx

Jo10x

5、設空間三點的坐標分別為M（1,1,1)、A(2,2,1)、B(2,1,2)o則

71717T

A、—B、—C、D>71

34~2

三、計算題（每小題7分，本題共56分）

lim-^±ZzZ

1、求極限

XTOsin2犬

1

2、求極限lim(—)

z°Xex-l

cos.r

Je~ldt

3、求極限lim----

5X

4,設y=/+ln(x+Jl+x。),求y'

x=ln(l+產(chǎn))

5、設/=y（x）由已知＜求

1

yarctan/dx

求不定積分J」sin（2+3）公

6、

7、求不定積分Jexcosxdx

1

x<0

2

1+e*r

8、設/(%)=<，求J/(x-l)dx

x>0.

+x

四、應用題（本題7分）

求曲線y=/與x=所圍成圖形的面積A以及A饒y軸旋轉所產(chǎn)生的旋轉體的體

積。

五、證明題(本題7分)

若“X)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且/(0)=/(1)=0,/(；)=1，證明:

在(0,1)內(nèi)至少有一點g,使/'G)=1。

參考答案

一。填空題(每小題3分，本題共15分)

1>e62、k-1.3、￥4、y=l5、f(x)=2cos2x

1+x

二.單項選擇題(每小題3分，本題共15分)

1、D2、B3、C4、B5、A

三.計算題(本題共56分，每小題7分)

31?V4+X-2x1r2x1r八

1.解：lim——；-------=lim-------------.------=-lim-------------,------=-7分

sin2xz°sin2x(j4+x+2)2sin2x(j4+犬+2)8

/刀A1、［?ex-1-xeA—1ex1

2.解：lrim(---------------)=lim--------------=lim------------------=lim--------------------=一

x-xex-1A^°x(ex-1)ex-1-bxexex4-ex4-xex2

7分

cosx

\e-2dt,

J-sinxe~cos~x1

3、解：lim^-—=lim——=--7

zo/XTO2X2e

分

4、解：y'=——+.....................................……4分

?X+Jl+x?J1+工?

=.1..............................................................……7分

1

（4分）

。分）

（7分）

x

7、解:Jecosxdx=Jcosxde'

=excosx+Jexsinxdx..............2分

=e*cosx+Jsinxde*..............3分

=e*cosx+e*sinx-je'cosxdx.....5分

=e*(sinx+cosx)+C................…7分

8、解

￡/(x-l)dx=￡/(x)dx=￡f(x)dx+j，(x)dx......2分

_C。dxHdr

L1+e"J。1+x

3分

=￡(1-n7)tU+ln(1+x)io

5分

=1-ln（l+e，）「+ln2.......

...6分

=l+ln（l+eT）=ln（l+e）……

……7分

四.應用題（本題7分）

解：曲線y=/與x=y2的交點為（1,1）

1分

于是曲線y=/與％=y2所圍成圖形的面積A為

10—11

A=J（Vx—x2）cbc=[―J——x2]\=—

4分

A繞y軸旋轉所產(chǎn)生的旋轉體的體積為：

I「25

oLz）Joiu

7分

五、證明題（本題7分）

證明：設

F(x)-f[x)-x,............................2分

顯然產(chǎn)（了）在6,Il上連續(xù)，在（;』）內(nèi)可導,

且=|°(尸(1)=一1<0.

由零點定理知存在%1G[1,l],使

/(％])=0...........4分

由歹(0)=0,在［0,x』上應用羅爾定理知，至少存在一點

“(0，M)u(0,l),使尸修)=尸?)-1=0,即

…7分

高等數(shù)學試題

一、單項選擇題(每小題1分，共30分)

1、函數(shù)f(x)=的定義域是

A、[—1,1]B、(—2,2)

C、(一8,—1)U(1,+8)

D^(—8,+co)

2、下列函數(shù)中既是有界函數(shù)又是偶函數(shù)的是

A、xarcsinxB、arctgx

C、x2+1D、sinx+cosx

3、函數(shù)y=ex—1的反函數(shù)是

A、y=lnx+1B、y=ln(x—1)

C、y=lnx—1D、y=ln(x+1)

4^xsin=

A、8B、0C>1D、不存在

5、某商品的需要量Q是價格P的函數(shù)Q二a-bP(a>0,b>0),則需求量Q對價格P的彈性是

A、bB、

C、D、

6、曲線在t=0處的切線方程是

A、

B、

C、y—l=2(x—2)

D、y-1=-2(x—2)

7、函數(shù)y=|sinx|在x=0處是

A、無定義B、有定義，但不連續(xù)

C、連續(xù)，但不可導D、連續(xù)且可導

8、設y=lnx,則y〃二

A、B、

C、D、

9、設f(x)=arctgex,則df(x)=

A、B、

C、D、

10、=

A、-1B、0C、1D、8

11、函數(shù)y=ax2+c在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加，則a,c應滿足

A、a<0,c=0B、a>0,c任意

C、a<0,cWOD、a<0,c任意

12、若ln|x|是函數(shù)f(x)的原函數(shù)，aWO,那么下列函數(shù)中，f(x)的原函數(shù)是

ANln|ax|B、

C、ln|x+a|D、

13、設aWO,貝J/(ax+b)100dx=

A、

B、

C、

D、100a(ax+b)99

14、/xsinxdx=

A、xcosx-sinx+c

B、xcosx+sinx+c

C、—xcosx+sinx+c

D、—xcosx-sinx+c

15、函數(shù)f(x)=x2在［0,2］區(qū)間上的平均值是

A、B、1C、2D、

16、=

A、+8B、0C、D、1

17、下列廣義積分中收斂的是

A、B、

C、D、

18、方程x2+y2+z2+2x—4y=l表示的空間圖形為

A、平面B、直線

C、柱面D、球面

19、函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域為

A、x2+y2<lB、x2+y2〈l

C、x2+y221

D、|x|Wl,|y|Wl

20、極限=

A、1B、2C、0D、8

21、函數(shù)f(x,y)=

在原點

A、連續(xù)B、間斷

C、取極小值D、取極大值

22、已知f(x,y)的兩個偏導數(shù)存在，且f'x(x,y)>0,f'y(x,y)<0,則

A、當y不變時，f(x,y)隨x的增加而增加

B、當y不變時，f(x,y)隨x的增加而減少

C、當x不變時，f(x,y)隨y的增加而增加

D、上述論斷均不正確

23、z=exsiny,貝dz=

A、ex(sinydx+cosydy)B、exsinydx

C、excosydyD、excosy(dx+dy)

24、已知幾何級數(shù)收斂，則

A、|q|Wl,其和為

B、|q|<l,其和為

C、|q|<l,其和為

D、|q|<L其和為aq

25、是級數(shù)收斂的

A、必要條件B、充分條件

C、充分必要條件D、無關條件

26、下列級數(shù)中絕對收斂的是

A、B、

C、D、

27、幕級數(shù)的收斂半徑為

A、1B、C、2D、0

28、微分方程y3+(y')6+xy3+x4y2=l的階數(shù)是

A、1B、2C、3D、6

29、微分方程的通解為

A^y=±1B、y=sinx+c

C、y=cos(x+c)D、y=sin(x+c)

30、微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解為

A、y=cosx-1y=cosx

c、y=sinxD、y=—cosx+1

二、填空題(每空2分，共20分)

1、a,b為常數(shù)，要使

,貝Ub=(1)o

2、設由y=sin(x+y)確定隱函數(shù)y=y(x),則dy=(2)。

3、設當x-0時與ax是等價無窮小，則常數(shù)a=(3)。

4、=(4)。

5、=(5)。

6、設f(x,y)=,則f'x(l,2)=(6)。

7、交換積分順序

=(7)。

8、函數(shù)e—2x的麥克勞林級數(shù)中xn的系數(shù)為(8)。

9、微分方程y〃-2y'+5y=0的通解為(9)。

10、函數(shù)y=lnx在區(qū)間［l,e］上滿足拉格朗日中值定理條件的&=(10)。

三、解答題(每小題5分，共30分)

1、求.

2、設y=cos2e—3x,求y'.

3、求/x2e-xdx.

4、求到兩點A(l,0,-1),B(3,—2,1)距離相等的點的軌跡，并指出該軌跡的名稱.

5、判斷下列級數(shù)的斂散性：

(1)；(2).

6、求微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解.

四、(本題8分)

設平面圖形由曲線xy=l與直線y=2,x=3圍成，求

(1)平面圖形的面積S

(2)此平面圖形繞X軸旋轉所成的旋轉體體積V

五、(本題8分)

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，單位售價分別為40元和60元，若生產(chǎn)X單位甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y

單位乙產(chǎn)品的總費用為20x+30y+0.1(2x2-2xy+3y2)+100,試求出甲、乙兩種各生產(chǎn)多

少時取得最大利潤.

六、(本題4分)

求證方程X-sinx-1=0在區(qū)間?,［,2］內(nèi)有唯一零點。

參考答案

一、選擇題(本題共30分)

l.B2.A3.D4.C5.C

6.A7.C8.D9.B10.A

ll.B12.A13.C14.C15.A

16.D17.C18.D19.B20.B

21.B22.A23.A24.C25.A

26.D27.B28.C29.D3O.D

二、填空題（每小題2分，共20分）

1、1

2、

3、

4、e4~1

5、arctgx+ln(1+x2)+c

6、

7、

8、

9、ex(C1cos2x+C2sin2x)

10、e-1

三、（每小題5分，共20分）

1、解原式=

(3分)

=1(2分)

2、解y'=2cose_3x.(cose—3x)'

(2分)

=2cose_3x（—sine-3x）.（e-3x）'

（2分）

=3sin（2e_3x）.e-3x（1分）

3、解原式=—/x2de—x

=-x2e-x+2fxe-xdx（2分）

=-x2e—x_2xe-x+2fe-xdx

=-x2e—x—2xe-x-2e~x+c（2分）

=~（x2+2x+2）e-x+c（l分）

4、解設點（x,y,z）到A,B距離相等，則

（2分）

兩邊平方并化簡得

2x—2y+2z—6=0（2分）

該軌跡稱為平面（1分）

5、解：（1）：

而等比級數(shù)收斂，

原級數(shù)收斂（3分）

（2）：=1WO,

???原級數(shù)發(fā)散。（2分）

6、解原方程可化為，

即（1分）

積分得（2分）

以x=O,y=O代入上式，

求得c=0?（1分）

，所求特解為y=—l（l分）

（注：也可用一階線性方程求解）

四、（本題8分）

解：（1）S=（3分）

=5—=5-ln6（l分）

（2）V=（3分）

=（1分）

五、（本題8分）

解：總收入為40x+60y,總利潤為

z=40x+60y-（20x+30y+0.1（2x2-2xy+3y2）+100）=20x+30y-0.2x2+0.2xy-0.3y2一

100（2分）

令（2分）

解得x=90,y=80（2分）

而=-0.4,=0.2,

=-0.6

△=0.22一（一0.4）.（-0.6）<0,而=一0.4<0

???x=90,y=80為極大值點

因極值點唯一，故它就是最大值點。（2分）

答：當甲產(chǎn)品生產(chǎn)90單位，乙產(chǎn)品生產(chǎn)80單位時利潤最大。

六、（本題4分）

證：設f(x)=x—sinx—1,

在WxW2上連續(xù)，

Vf()=-2<0,

f(2)=l-sin2>0,

???f(x)在［,2］內(nèi)有零點。(2分)

又f'(x)=l—cosx>0(<x<2)

???f(x)嚴格單調(diào)上升，.??f(x)只有唯一的零點。(2分)

高等數(shù)學試題

一、單項選擇題(每小題1分，共30分)

1、函數(shù)f(x)=的定義域是

A、[—1,1]B、(—2,2)

C、(一8,—1)U(1,+8)

D^(—8,+co)

2、下列函數(shù)中既是有界函數(shù)又是偶函數(shù)的是

A、xarcsinxB、arctgx

C、x2+1D、sinx+cosx

3、函數(shù)y=ex—1的反函數(shù)是

A、y=lnx+1B、y=ln(x—1)

C、y=lnx—1D、y=ln(x+1)

4^xsin=

A、8B、0C>1D、不存在

5、某商品的需要量Q是價格P的函數(shù)Q二a-bP(a>0,b>0),則需求量Q對價格P的彈性是

A、bB、

C、D、

6、曲線在t=0處的切線方程是

A、

B、

C、y—l=2(x—2)

D、y-1=-2(x—2)

7、函數(shù)y=|sinx|在x=0處是

A、無定義B、有定義，但不連續(xù)

C、連續(xù)，但不可導D、連續(xù)且可導

8、設y=lnx,則y〃二

A、B、

C、D、

9、設f(x)=arctgex,則df(x)=

A、B、

C、D、

10、=

A、-1B、0C、1D、8

11、函數(shù)y=ax2+c在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加，則a,c應滿足

A、a<0,c=0B、a>0,c任意

C、a<0,cWOD、a<0,c任意

12、若ln|x|是函數(shù)f(x)的原函數(shù)，aWO,那么下列函數(shù)中，f(x)的原函數(shù)是

ANln|ax|B、

C、ln|x+a|D、

13、設aWO,貝J/(ax+b)100dx=

A、

B、

C、

D、100a(ax+b)99

14、/xsinxdx=

A、xcosx-sinx+c

B、xcosx+sinx+c

C、—xcosx+sinx+c

D、—xcosx-sinx+c

15、函數(shù)f(x)=x2在［0,2］區(qū)間上的平均值是

A、B、1C、2D、

16、=

A、+8B、0C、D、1

17、下列廣義積分中收斂的是

A、B、

C、D、

18、方程x2+y2+z2+2x—4y=l表示的空間圖形為

A、平面B、直線

C、柱面D、球面

19、函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域為

A、x2+y2<lB、x2+y2〈l

C、x2+y221

D、|x|Wl,|y|Wl

20、極限=

A、1B、2C、0D、8

21、函數(shù)f(x,y)=

在原點

A、連續(xù)B、間斷

C、取極小值D、取極大值

22、已知f(x,y)的兩個偏導數(shù)存在，且f'x(x,y)>0,f'y(x,y)<0,則

A、當y不變時，f(x,y)隨x的增加而增加

B、當y不變時，f(x,y)隨x的增加而減少

C、當x不變時，f(x,y)隨y的增加而增加

D、上述論斷均不正確

23、z=exsiny,貝dz=

A、ex(sinydx+cosydy)B、exsinydx

C、excosydyD、excosy(dx+dy)

24、已知幾何級數(shù)收斂，則

A、|q|Wl,其和為

B、|q|<l,其和為

C、|q|<l,其和為

D、|q|<L其和為aq

25、是級數(shù)收斂的

A、必要條件B、充分條件

C、充分必要條件D、無關條件

26、下列級數(shù)中絕對收斂的是

A、B、

C、D、

27、幕級數(shù)的收斂半徑為

A、1B、C、2D、0

28、微分方程y3+(y')6+xy3+x4y2=l的階數(shù)是

A、1B、2C、3D、6

29、微分方程的通解為

A^y=±1B、y=sinx+c

C、y=cos(x+c)D、y=sin(x+c)

30、微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解為

A、y=cosx-1y=cosx

c、y=sinxD、y=—cosx+1

二、填空題(每空2分，共20分)

1、a,b為常數(shù)，要使

,貝Ub=(1)o

2、設由y=sin(x+y)確定隱函數(shù)y=y(x),則dy=(2)。

3、設當x-0時與ax是等價無窮小，則常數(shù)a=(3)。

4、=(4)。

5、=(5)。

6、設f(x,y)=,則f'x(l,2)=(6)。

7、交換積分順序

=(7)。

8、函數(shù)e—2x的麥克勞林級數(shù)中xn的系數(shù)為(8)。

9、微分方程y〃-2y'+5y=0的通解為(9)。

10、函數(shù)y=lnx在區(qū)間［l,e］上滿足拉格朗日中值定理條件的&=(10)。

三、解答題(每小題5分，共30分)

1、求.

2、設y=cos2e—3x,求y'.

3、求/x2e-xdx.

4、求到兩點A(l,0,-1),B(3,—2,1)距離相等的點的軌跡，并指出該軌跡的名稱.

5、判斷下列級數(shù)的斂散性：

(1)；(2).

6、求微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解.

四、(本題8分)

設平面圖形由曲線xy=l與直線y=2,x=3圍成，求

(1)平面圖形的面積S

(2)此平面圖形繞X軸旋轉所成的旋轉體體積V

五、(本題8分)

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，單位售價分別為40元和60元，若生產(chǎn)X單位甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y

單位乙產(chǎn)品的總費用為20x+30y+0.1(2x2-2xy+3y2)+100,試求出甲、乙兩種各生產(chǎn)多

少時取得最大利潤.

六、(本題4分)

求證方程X-sinx-1=0在區(qū)間?,［,2］內(nèi)有唯一零點。

參考答案

一、選擇題(本題共30分)

l.B2.A3.D4.C5.C

6.A7.C8.D9.B10.A

ll.B12.A13.C14.C15.A

16.D17.C18.D19.B20.B

21.B22.A23.A24.C25.A

26.D27.B28.C29.D3O.D

二、填空題（每小題2分，共20分）

1、1

2、

3、

4、e4~1

5、arctgx+ln(1+x2)+c

6、

7、

8、

9、ex(C1cos2x+C2sin2x)

10、e-1

三、（每小題5分，共20分）

1、解原式=

(3分)

=1(2分)

2、解y'=2cose_3x.(cose—3x)'

(2分)

=2cose_3x（—sine-3x）.（e-3x）'

（2分）

=3sin（2e_3x）.e-3x（1分）

3、解原式=—/x2de—x

=-x2e-x+2fxe-xdx（2分）

=-x2e—x_2xe-x+2fe-xdx

=-x2e—x—2xe-x-2e~x+c（2分）

=~（x2+2x+2）e-x+c（l分）

4、解設點（x,y,z）到A,B距離相等，則

（2分）

兩邊平方并化簡得

2x—2y+2z—6=0（2分）

該軌跡稱為平面（1分）

5、解：（1）：

而等比級數(shù)收斂，

原級數(shù)收斂（3分）

（2）：=1WO,

???原級數(shù)發(fā)散。（2分）

6、解原方程可化為，

即（1分）

積分得（2分）

以x=O,y=O代入上式，

求得c=0?（1分）

，所求特解為y=—l（l分）

（注：也可用一階線性方程求解）

四、（本題8分）

解：（1）S=（3分）

=5—=5-ln6（l分）

（2）V=（3分）

=（1分）

五、（本題8分）

解：總收入為40x+60y,總利潤為

z=40x+60y-（20x+30y+0.1（2x2-2xy+3y2）+100）=20x+30y-0.2x2+0.2xy-0.3y2一

100（2分）

令（2分）

解得x=90,y=80（2分）

而=-0.4,=0.2,

=-0.6

△=0.22一（一0.4）.（-0.6）<0,而=一0.4<0

???x=90,y=80為極大值點

因極值點唯一，故它就是最大值點。（2分）

答：當甲產(chǎn)品生產(chǎn)90單位，乙產(chǎn)品生產(chǎn)80單位時利潤最大。

六、（本題4分）

證：設f(x)=x—sinx—1,

在WxW2上連續(xù)，

Vf()=-2<0,

f(2)=l-sin2>0,

???f(x)在［,2］內(nèi)有零點。(2分)

又f'(x)=l—cosx>0(<x<2)

???f(x)嚴格單調(diào)上升，.??f(x)只有唯一的零點。(2分)

《高等數(shù)學》試題庫

一、選擇題

（―）函數(shù)

1、下列集合中（)是空集。

a{0,l,2}n{0,3,4}/?.{1,2,3}Pl{5,6,7}c.{(x,=x且y=2x}4如從〈1比2。}

2、下列各組函數(shù)中是相同的函數(shù)有（）。

a..f\x)=x,g(x)=(Vx)*//'(x)=|4g(x)=莊

c.f[x)=1,g(九)=sin2x+cos2xd.f{x)=—,g(x)=x2

x

1_

3、函數(shù)/（x）=的定義域是（)?

lg|x-5|

?.(-OO,5)U(5,-KX))。.(一00,6)U(6,+=o)

c.(-8⑷U(4,”)〃.(一00,4)U(4,5)U(5,6)U(6,+00)

x+2—8〈x〈0

4、設函數(shù)，2*0<x（2則下列等式中，不成立的是（）。

［（X-2）22Kx〈+8

a/(o)=/(l)V(0)=/(-l)c./(-2)=/(2)J./(-l)=/(3)

5、下列函數(shù)中，()是奇函數(shù)。

xA

|x|,2.a-\.10-IO-"

a.—b.xsinxc.-----d.---------

x優(yōu)+12

6、下列函數(shù)中，有界的是()o

a.y—arctgxb.y-tgxc.y=~d.y-2X

x

7、若/(x-l)=x(九一1),則/(x)=()o

ax(x+l)人.(x-l)(x—2)c.x(x-l)d.不存在

8、函數(shù)丁=卜1!1耳的周期是()。

兀

aAirb2兀C.TId—

2

9、下列函數(shù)不是復合函數(shù)的有()。

a.y=b.y=(1-x)2c.y=lgsinxd.y=e^1+sinx

10、下列函數(shù)是初等函數(shù)的有()?

1+xx)0

b.y=19八

x~x<0

c.y=V-2-cosx

11、區(qū)間［a,+8),表示不等式().

(A)a<x<-st<x>(B)a<x<+oo(C)a<x(D)a>x

12、若°(r)=尸+i,則。(尸+i)=().

(A)/+1(B)r6+1(C)產(chǎn)+2(D)/+3/6+3/+2

13、函數(shù)y=log/x+Jx」+1)是().

(A)偶函數(shù)(B)奇函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

14、函數(shù)y=/(x)與其反函數(shù)y=/T(x)的圖形對稱于直線().

(A)y=0(B)x=0(C)y=x(D)y=-x

15、函數(shù)y=10'T-2的反函數(shù)是().

jx

(A)y=5-(B)y=logx2

,1

(C)y=log,-(D)y=l+lg(x+2)

-X

16、函數(shù)y=binX+|cosx|是周期函數(shù)，它的最小正周期是().

TC

(A)2〃(B)71(C)—(D)

27

17、設/(%)=x+1，則/(7(%)+D=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

18、下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

sinx

A.y=(-rB.y=\nx2D.y=yfx^

C.y二

ecosx

19、若函數(shù)f(e*)=x+l,則f(x)=()

A.ex+1B.x+1C.ln(x+l)D.lnx+1

20、若函數(shù)f(x+l)=x?,則f(x)=()

A.x2B.(x+1)2c.(X-1)2D.x2-l

21、若函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x+L則函數(shù)f(g(x))的定義域是()

A.x>0B.x20C.x21D.x>~l

22、若函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)則函數(shù)f(lnx+l)的定義域是()

A.(0,1)B.(-1,0)C.(e1,1)D.(ee)

23、函數(shù)f(x)=|xT|是()

A.偶函數(shù)B.有界函數(shù)C.單調(diào)函數(shù)D.連續(xù)函數(shù)

24、下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（)

y=ln(x+vl+x2

A.y=cos(1-x)B.C.eD.sinx2

25、若函數(shù)f（x）是定義在（-8,+8）內(nèi)的任意函數(shù)，則下列函數(shù)中（)是偶函數(shù)。

A.f(|x|)B.|f(x)|C.[f(x)]2D.f(x)-f(-x)

xsinx

26、函數(shù)y=是（)

l+x2

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)I）.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

27、下列函數(shù)中（）是偶函數(shù)。

A,y=x2sinx+1B'y=ln7ncC.y=f(x)+f(-x)D.y=f(x)-f(-x)

28、下列各對函數(shù)中，（）中的兩個函數(shù)相等。

cr/、xlnx-x/、Inx-1

A.f(x)=4x^g(x)=xB.f(x)=,g(x)=---------

fXX

C.f(x)=Inx2,g(x)=2Inx

（二）極限與連續(xù)

1、下列數(shù)列發(fā)散的是（)o

3254

a、0.9,0.99,0.999,0.9999,b^

2345

2"+ln

〃為奇數(shù)〃為奇數(shù)

c、/(〃)=,2"d、/(〃)=<n+1

2n-1〃為偶數(shù)n〃為偶數(shù)

I2〃

2、當X—>8時,arctgx的極限(）。

7171

a、b^=---C、=00d、不存在，但有界

2

3、)o

xfX-\

a、=-lb、1c^=0d、不存在

4、當x—)0時，下列變量中是無窮小量的有（）。

,1,sinx

a、sin一b>-----c、2-v-ld、ln|x|

xx

5、下列變量在給定的變化過程中是無窮大量的有（),

2

+X

a、1gx[x0)b^1gx(x—>1)(x—>+00)x-

C、1_7d>e\x0

X'+1

6、如果lim/(x)=oo,limg(x)=oo,則必有（）。

X-^XQXT與

a^lim[/(%)+g(x)]=8b、曾Lf(+g(x)]=。

?9%

1

lim0d、limV(x)=oo(k為非零常數(shù))

工，(x)+g(x)Xf~

7、)o

a、b、2