2023年全國中學生數(shù)學奧林匹克暨2023年全國,高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題(A卷)試卷及答案

2023年全國中學生數(shù)學奧林匹克（預賽）

暨2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽

加試試題（A卷）

一、（本題滿分40分）如圖，Q是以43為直徑的固定的半圓弧，。是經(jīng)過點/及Q上另

一定點T的定圓，且。的圓心位于△N8T內(nèi)，設(shè)P是Q的弧宿（不含端點）上的動點，C、D

是“上的兩動點，滿足：C在線段/P上，C、。在直線的異側(cè)，且8丄N8.記

的外心為K.證明：

（1）點K在的外接圓上;

（2）K為定點.

（答題時請將圖畫在答卷紙上）

二、（本題滿分40分）正整數(shù)n稱為“好數(shù)”，如果對任意不同于〃的正整數(shù)m,均有

償卜｛烹，這里｛行表示x的小數(shù)部分.

證明：存在無窮多個兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).

三、（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)的最小正整數(shù)k若將1,2,…，發(fā)中的每個數(shù)任意

染成紅色或藍色，則或者存在9個互不相同的紅色的數(shù)與衣2，“?,*9滿足X］+X2+…+&<

%9>或者存在10個互不相同的藍色的數(shù)月,、2,…,月0滿足為+、2+…+、9<y-LO-

四、（本題滿分50分）設(shè)a=1+10-4在2023X2023的方格表的每一個小方格中填入?yún)^(qū)

間［1,a］中的一個實數(shù).設(shè)第i行的總和為修，第z?列的總和為外,lSiS2023.

求處*1的最大值（答案用含。的式子表示）.

%1%2FO23

2023年全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽（預賽）

暨2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽

加試（A卷）參考答案及評分標準

說明：

1.評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可

參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.

一.（本題滿分40分）如圖，Q是以AB為直徑的固定的半圓弧，s是經(jīng)過

點A及。上另一個定點T的定圓，且a的圓心位于A48T內(nèi).設(shè)P是O的弧粉

（不含端點）上的動點，C,。是3上的兩個動點，滿足：C在線段AP上，C,D

位于直線AB的異側(cè)，且CO丄A3.記△CQP的外心為K.證明：

（1）點K在的外接圓上；

（2）K為定點.

證明：(1)易知NPCO為鈍角，由K為△COP的外心知

APKD=2(180°-ZPCD)=2AACD.

由于NAPB=90°,CDLAB,故NP3A=NACQ=NAT?...................10分

所以APTD+NPKD=APTA-NATO+2ZACD=NPTA+NPBA=180°.

又K,T位于PD異側(cè)，因此點K在的外接圓上..........20分

（2）取3的圓心O,過點。作的平行線/,則/為CO的中垂線，點K在

直線/上..........30分

由T,O,P,K共圓及KD=KP,可知K在/。TP的平分線上，而

ZDTB=90°-AATD=90°-4PBA=NPAB=4PTB,

故為/DTP的平分線.所以點K在直線上.

顯然/與相交，且/與均為定直線，故K為定點..........40分

(本題満分40分)正整數(shù)〃稱為“好數(shù)”，如果對任意不同于〃的正整

證明：存在無窮多個兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).

證明：引理：設(shè)〃是正奇數(shù)，且2?！ǖ碾A為偶數(shù)，則〃是好數(shù).

引理的證明：反證法.假設(shè)〃不是好數(shù)，則存在異于〃的正整數(shù)機，使得

三=K.因此馬與馬寫成既約分數(shù)后的分母相同.由〃為奇數(shù)知馬是既

nm~nmn

約分數(shù)，故加2的最大奇因子為〃2,從而加的最大奇因子為“.

設(shè)m=2%,其中f為正整數(shù)(從而〃?是偶數(shù)).于是K=2二.

m~n

可得2"n-2'=2"(mod/?2),故

2"2,三2"(mod〃).

設(shè)2?！ǖ碾A為偶數(shù)d.由(*)及階的基本性質(zhì)得根一2r三”(modd),故

根-2/-〃是偶數(shù).但加一2,是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，矛盾.引理得證.

回到原問題.

設(shè)冗=22*+1(%=1,2,…).由于川而&122*一］,因此2模月的階

為21，是一個偶數(shù).

對正整數(shù)/,由2/三l(mod&)可知2/三l(mod&),故由階的性質(zhì)推出，2模

理的階被2模瓦的階整除，從而也是偶數(shù).因我是奇數(shù)，由引理知&是好數(shù).

...................30分

對任意正整數(shù)i,；(/<；),(4,F.)=(耳,(2—-1)耳耳+i.?書+2)=(4,2)=1,

故耳陽居,…兩兩互素.所以耳M心,號,…是兩兩互素的合數(shù)，且均為好數(shù).

三.(本題滿分50分)求具有下述性質(zhì)的最小正整數(shù)心若將1,2,…黒中

的每個數(shù)任意染為紅色或者藍色，則或者存在9個互不相同的紅色的數(shù)

王,々，…，尤9滿足玉+々+…+/<入9，或者存在1。個互不相同的藍色的數(shù)

X，%，…，加滿足%+%+…+%<%>?

解：所求的最小正整數(shù)為408.

一方面，若％=407時，將1,55,56,…,407染為紅色，2,3,…,54染為藍色，

此時最小的8個紅數(shù)之和為1+55+56+…+61=407,最小的9個藍數(shù)之和為

2+3+--+10=54,故不存在滿足要求的9個紅數(shù)或者10個藍數(shù).

對％<407,可在上述例子中刪去大于左的數(shù)，則得到不符合要求的例子.

因此％4407不滿足要求...........10分

另一方面，我們證明左=408具有題述性質(zhì).

反證法.假設(shè)存在一種1,2,…,408的染色方法不滿足要求，設(shè)A是所有紅數(shù)的集

2

合，B是所有藍數(shù)的集合.將R中的元素從小到大依次記為不々…，厶，8中的

元素從小到大依次記為4,…，久，加+〃=408.對于火，或者因48,或者

厶+弓+…+42%；對于B,或者忸9,或者4+&4----F>bn.

在1,2,…,16中至少有9個藍色的數(shù)或至少有8個紅色的數(shù).

情形1：1,2,…，16中至少有9個藍色的數(shù).

此時4416.設(shè)區(qū)間工4］中共有f個H中的元素小公…，今(04f<8).

i己%=厶+弓+…+/；,則xNl+2+…+r=gr(/+l).

因為"仇,…，仇,厶,2,…,乙是工4］中的所有正整數(shù)，故

{偽也，…,勾,厶,2,…,(}={1,2,…,9+/}.

于是人“44+"+…+4=1+2HF(9+Z)~x=—(9+/)(10+/)~x.(*)

...................20分

特別地，/7n<|xl6xl7=136.從而網(wǎng)29.

對任意,由(*)知乙+j+i〈；(9+f)(10+，)-x+i.從而

1

厶《厶+.―+4+4+1+.一+厶<天+工—(9+/)(10+/)-x+z

/=!12丿

=^(9+r)(10+0(8-r)+^(8-r)(9-z)-(7-r)x

W-(9+r)(10+f)(8——(8—1)(9—t)—(7—t)—t(t+1)

222

=-8/+191+396W407(考慮二次函數(shù)對稱軸，即知，=1時取得最大).

又2W136,這與瓦,％中有一個為408矛盾...........40分

情形2：1,2,…，16中至少有8個紅色的數(shù).

論證類似于情形1.

此時々416.設(shè)區(qū)間口,4］中共有s個8中的元素片也，…也(04s<9).記

y=b］+---+bs,則yN；s(s+l).

因為4,卻…，久，厶，馬,…，很是［1,辰］中的所有正整數(shù)，故

{4也「一，4，厶，々「、￡}={1,2-、8+5}.

于是厶4；(8+s)(9+s)-y.

特別地，<?<|xl6xl7-136.從而忸|210.

對任意i(lW〃-s),有久+,4+iwg(8+s)(9+s)-y+i.從而

9-s門、

b”<瓦+…+久+么+|+…+4<y+￡［e(8+s)(9+s)-y+ij

j一.39+s)—(1)舊…0—s)

3

<-(9-5)(8+5)(9+5)-(8-5)--5(5+1)+-(9-5)(10-5)

222

=-7?+275+369<395（在s=2時取得最大）,

又?;“W136,這與以，厶中有一個為408矛盾.

由情形1、2知攵=408具有題述性質(zhì).

綜上，所求最小正整數(shù)%為408............50分

四.（本題滿分50分）設(shè)4=1+107.在2023x2023的方格表的每個小方

格中填入?yún)^(qū)間[1,a]中的一個實數(shù).設(shè)第i行的總和為七，第，列的總和為B，

]<i<2023.求X%…%。23的最大值（答案用含”的式子表示）.

X]X2X2O23

解：記〃=2023,設(shè)方格表為（4）,1力=乂乃…）’2。23.

小2…元2023

第一步：改變某個％.的值僅改變?yōu)楹蚗，設(shè)第i行中除他外其余〃-1個數(shù)的

和為A,第丿?列中除為外其余〃-1個數(shù)的和為8,則

匕-B+%

%A+%

當ANB時，關(guān)于為遞增，此時可將與調(diào)整到a"值不減.當A4B時，關(guān)

于為遞減，此時可將為調(diào)整到1"值不減.因此，為求7的最大值，只需考慮每

個小方格中的數(shù)均為1或。的情況.10分

第二步:設(shè)％片〃，只有有限多種可能,我們選取一組％使得

2達到最大值，并且玄纟與最小.此時我們有

<=1j=\

a,x；>匕,

aij

1，%,4yj.

事實上，若王〉力，而%=1,則將為改為。后，行和及列和變?yōu)閄；則

+al

y'j=yj->yj

X：玉+Q_]Xf

與力達到最大矛盾，故囪=”.

若毛<厶，而％.=〃，則將旬改為1后，％不減，且￡￡%.變小，與陽的選

/=!j=l

取矛盾.從而（*）成立.

通過交換列，可不妨設(shè)％Vy,這樣由（*）可知每一行中。排在1

的左邊，每一行中的數(shù)從左至右軍調(diào)不增.由此可知%2%2-亞丹?因而只能

%=%=???=%,故每一行中的數(shù)全都相等（全為1或全為a）.

...................20分

第三步：由第二步可知求7的最大值，可以假定每一行中的數(shù)全相等.設(shè)有人

行全為有〃行全為1,04A4〃.此時

4

c_(ka+n-k)n_(ka+〃-k)〃

4=(na)Wk=—^-

我們只需求4,4,…，4中的最大值.

((左+1)4+〃-左-1)〃

k=閭-=U1+"T

4(ka+n-攵(a-1)+〃

n'H

因此

-^>101+------------->a

兒(左(。-1)+〃丿

<=>1+-----5—>x(記]=yfa)

k(x"-1)+77

l+x+x2+---+xn~',

o---------------------->1

k(xn-1)+n

1+尤+x2+...+x"'—n

ok&

x"-l

_1+(1+A：)+-??+(1+!：+?-?+x"-2)

1+X+…+尤”T

記上式右邊為y,則y="T+d?+:+x”2.

下面證明yw(1010,1011)....................30分

首先證明》<1011.

y<101102022+2021%+…+d°2i<iou+ioiix+…+1011元2022

?1011+1010X+--+XIOIO<XIO12+2X,013+---+1010X2(,2I+1011X2022