第四章第01講因式分解(10類熱點題型講練)

第01講因式分解(10類熱點題型講練)1.了解整式乘法與因式分解之間的互逆關(guān)系；2.會用提公因式法分解因式；3.會用運用公式法分解因式.知識點01因式分解的概念因式分解的定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.知識點02提公因式法因式分解①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；注意:挖掘隱含公因式;有時公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時，最好能一次性提取完.知識點03運用公式法因式分解②運用公式法：a2b2=(a+b)(ab)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a22ab+b2=(ab)2。題型01判斷是否是因式分解【例題】（2024上·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．【詳解】解：A.，是整式的乘法，不是因式分解；B.，結(jié)果不是積的形式，不是因式分解；C.，是因式分解；

D.，是整式的乘法，不是因式分解；故選C．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的意義，把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積．根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積，可得答案．【詳解】解：A、是多項式乘多項式的整式乘法，不是因式分解，故A錯誤；B、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積，不是因式分解，故B錯誤；C、屬于整式乘法運算，不是因式分解，故C錯誤；D、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積，屬于因式分解，故D正確；故選：D．2．（2024上·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查因式分解：將一個多項式寫成幾個整式乘積的形式，叫因式分解，熟練掌握因式分解的定義及分解方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.不是因式分解，故不符合題意；B.，錯誤，不符合題意；C.不是因式分解，故不符合題意；D.是因式分解，符合題意；故選：D．題型02已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)【例題】（2024上·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的多項式可以分解為，則常數(shù)．【答案】1【分析】本題考查了因式分解的意義，利用因式分解得出相等整式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)整式合并后對應(yīng)項的系數(shù)相等即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于x的多項式可以分解為，∴，∴．故答案為：1．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）已知二次三項式有一個因式是，則的值為.【答案】【分析】設(shè)另一個因式為，得，根據(jù)整式的乘法運算法則即可求解．本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．【詳解】解：設(shè)另一個因式為，得，則∴，解得，∴另一個因式為，的值為．故答案為：．2．（2023下·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）多項式可以因式分解為，則系數(shù)．【答案】【分析】利用多項式乘多項式法則將展開，即可得到k的值．【詳解】解：，∵多項式可以因式分解為，∴．故答案為：．【點睛】此題主要考查了因式分解的定義和整式乘法，利用多項式乘多項式法則將正確展開是解題關(guān)鍵．題型03已知因式分解中錯題正解【例題】（2023上·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩個同學(xué)分解因式時，甲看錯了，分解結(jié)果為；乙看錯了，分解結(jié)果為，則正確的分解結(jié)果為．【答案】【分析】根據(jù)題意分別運算和，確定、的值，然后進行因式分解即可．【詳解】解：∵甲看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，又∵乙看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，∴，∵，∴正確的分解結(jié)果為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式乘法運算以及因式分解的知識，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，求出、的值．【變式訓(xùn)練】1．（2021下·浙江紹興·七年級紹興市元培中學(xué)?？计谥校┰诜纸庖蚴綍r，小明看錯了b，分解結(jié)果為；小張看錯了a，分解結(jié)果為，求a，b的值．【答案】，【分析】根據(jù)題意甲看錯了b，分解結(jié)果為，可得a系數(shù)是正確的，乙看錯了a，分解結(jié)果為，b系數(shù)是正確的，在利用因式分解是等式變形，可計算的參數(shù)a、b的值．【詳解】解：∵，小明看錯了b，∴，∵，小張看錯了a，∴，∴，．【點睛】本題主要考查因式分解的系數(shù)計算，解題的關(guān)鍵在于弄清哪個系數(shù)是正確的．題型04公因式【例題】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）多項式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查公因式，找出多項式中各項的系數(shù)的最大公約數(shù)，以及相同字母的最低指數(shù)次冪，即可得到答案．【詳解】解：系數(shù)的最大公約數(shù)是，相同字母的最低指數(shù)次冪是，∴公因式為．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南周口·八年級?？茧A段練習(xí)）下列各式中，沒有公因式的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】B【分析】根據(jù)公因式的定義逐一分析即可．【詳解】解：A、，與有公因式，故本選項不符合題意；B、與沒有公因式，故本選項符合題意；C、與有公因式，故本選項不符合題意；D、與有公因式，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了公因式的含義，熟記公因式的定義與公因式的確定是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）多項式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪．按照公因式的確定方法，公因式的系數(shù)應(yīng)取，字母x取x，字母y取y,字z取z．【詳解】∵多項式中，各項系數(shù)絕對值的最大公約數(shù)是4，各項相同字母x的最低次冪是x，各項相同字母y的最低次冪是y，各項相同字母z的最低次冪是z，∴多項式的公因式是．故選：C．題型05提公因式法因式分解【例題】（2023上·全國·八年級課堂例題）把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)，(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了多項式的因式分解：（1）提出公因式6，即可求解；（2）提出公因式，即可求解；（3）提出公因式，即可求解；（4）提出公因式，即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）把下列各式進行因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題的關(guān)鍵．（1）直接提取公因式，進而因式分解得出答案；（2）直接提取公因式，進而因式分解得出答案；（3）直接提取公因式，進而因式分解得出答案；（4）直接提取公因式，進而因式分解得出答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．2．（2023上·八年級課時練習(xí)）因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)分解因式的方法求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．（3）原式．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．題型06判斷能否用平方差公式因式分解【例題】（2024上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）下列多項式能用平方差公式分解因式的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了運用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：只有B選項能用平方差公式分解因式，故選：B【變式訓(xùn)練】1．（2024上·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差；用字母表示為，本題利用平方差公式判斷即可．【詳解】A、，可以用平方差公式分解因式，故不符合題意；B、不可以用平方差公式分解因式，故符合題意；C、，可以用平方差公式分解因式，故不符合題意；D、，可以用平方差公式分解因式，故不符合題意．故選：B．2．（2024上·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）對于下列多項式，能用平方差公式進行因式分解的是（

）①

②

③

④A．①② B．①④ C．③④ D．②③【答案】D【分析】本題考查了多項式的因式分解，根據(jù)平方差公式的形式：逐項判斷即得答案．【詳解】解：①不能用平方差公式進行因式分解，②，能用平方差公式進行因式分解，③，能用平方差公式進行因式分解，④不能用平方差公式進行因式分解，故選：D．題型07判斷能否用完全平方公式因式分解【例題】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式進行因式分解的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【解析】略【變式訓(xùn)練】1．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）已知多項式可以用完全平方公式進行因式分解，則的值為（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】本題考查因式分解，熟知完全平方公式是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：∵多項式可以用完全平方公式進行因式分解，∴由得，故選：D2．（2024上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（

）（1）

（2）

（3）

（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，據(jù)此逐項分析，即可作答．【詳解】解：，故（1）符合題意；不能運用公式法分解因式，故（2）不符合題意；，故（3）符合題意；，不能運用公式法分解因式，故（4）不符合題意；所以能運用公式法分解因式的有（1）和（3），故選：B題型08綜合運用公式法因式分解【例題】（2023上·八年級課時練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）兩次運用平方差公式分解即可；（2）根據(jù)完全平方公式和平方差公式解答即可．【詳解】（1）．（2）．【點睛】本題考查了利用公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級課時練習(xí)）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先去括號，再利用完全平方公式進行分解即可；（2）直接利用完全平方公式進行分解即可；（3）先利用平方差公式進行分解，再利用完全平方公式進行二次分解即可；（4）先利用完全平方公式進行分解，再利用平方差公式進行二次分解即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查公式法分解因式，積的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·八年級課時練習(xí)）分解因式：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用完全平方公式，再利用平方差公式進行二次分解即可；（2）先利用多項式的乘法法則將原式展開，合并后再利用完全平方公式進行分解即可；（3）兩次利用完全平方公式進行分解即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）．【點睛】本題考查公式法分解因式，多項式的乘法，積的乘方，冪的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．題型09綜合提公因式和公式法因式分解【例題】（2024上·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查因式分解：（1）采用提公因式法求解；（2）先提公因式，再采用公式法求解；（3）先提公因式，再采用公式法求解．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了因式分解，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法分解因式，運用公式法分解因式．（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式；（2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式．【詳解】（1）解：（2）2．（2024上·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查因式分解，（1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．題型10運用因式分解求多項式的值【例題】（2024上·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如果，那么的值是（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】本題考查了因式分解，代數(shù)式求值，根據(jù)已知可得，根據(jù)完全平方公式因式分解代數(shù)式，進而代入即可求解．【詳解】解：∵∴，則，∴，故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·湖南衡陽·八年級?？计谥校╅L方形的長和寬分別為a，b，若長方形的周長為16，面積為12，則值為．【答案】【分析】根據(jù)長方形的周長與面積公式確定出與的值，原式分解后代入計算即可求出值．【詳解】解：∵長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為16，面積為12，∴，，整理得：，，，故答案為：．【點睛】此題考查了提公因式法，完全平方公式的變形應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法、正確變形是解本題的關(guān)鍵．2．（2023上·湖北武漢·八年級期末）若，則代數(shù)式值為.【答案】/【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將式子進行適當?shù)淖冃危粚⒆冃蔚?，再將所求代?shù)式整理變形得出含的因式，再采用整體代入求值即可．【詳解】解：，，即，，；故答案為：．一、單選題1．（2023上·甘肅金昌·八年級統(tǒng)考期末）分解因式時，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查公因式的確定，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵，找公因式的要點是：①公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母取各項都含有的相同字母；③相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．【詳解】解：因此的公因式是故選：B．2．（2024·全國·八年級競賽）若多項式因式分解得，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義和多項式的乘法運算．根據(jù)因式分解的定義，列出等式，利用等式性質(zhì)分別求出m和n的值，再求解即可．【詳解】解：由已知，故可得，，∴，，∴，故選：D3．（2024上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）下列各式由左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了因式分解，利用因式分解的定義判斷即可．因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．【詳解】解：A．符合因式分解的定義，故A選項符合題意；B．是整式的乘法，不是因式分解，故B選項不符合題意；C．，是整式的乘法，不是因式分解，故C選項不符合題意；D．，右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意．故選：A．4．（2024上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）若，則的值為（

）A． B． C．3 D．9【答案】A【分析】本題考查了求代數(shù)式的值．對所求式子因式分解，再整體代入求值即可．【詳解】解：，∵，∴原式，故選：A．5．（2023上·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，能運用“公式法”進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了利用公式進行因式分解，熟練掌握，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式和完全平方公式逐項分析即可．【詳解】解：A．，故能用平方差公式分解；B．，故不能用平方差公式分解；C．

中間項不是收尾兩項積的2倍，不能用完全平方公式分解；D．的符號相同，不能用平方差公式分解；故選：A．二、填空題6．（2023上·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）因式分解：．【答案】【分析】本題考查因式分解，利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．7．（2023上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】/【分析】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．首先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．8．（2023下·湖南郴州·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓旱墓蚴绞牵敬鸢浮?【分析】根據(jù)多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式即可判斷．【詳解】∵多項式中各項都含有的因式為，∴的公因式是．故答案為：．【點睛】本題考查公因式的定義．掌握多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式是解題關(guān)鍵．9．（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的二次三項式含有因式，則實數(shù)的值是．【答案】【分析】本題考查了因式分解的意義．根據(jù)多項式乘法的法則，中與4相乘可得到，則可知：含有因式和，據(jù)此可得的值．【詳解】解：，所以的數(shù)值是．故答案為：．10．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十九中學(xué)校考期末）已知，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了求代數(shù)式的的值，因式分解的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)．把變形為，然后把代入計算即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．三、解答題11．（2024上·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）把下列多項式分解因式：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)；【分析】（1）本題考查提取公因式法因式分解及公式法因式分解，先提取公因式，再根據(jù)公式分組分解即可得到答案；（2）本題考查分組分解法因式分解，直接分組構(gòu)建公因式分解即可得到答案；（3）本題考查分組分解法因式分解，直接分組構(gòu)建公因式分解即可得到答案【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．12．（2024上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．（1）用提公因式法求解即可；（2）用平方差公式分解即可；（3）用完全平方公式分解即可；（4）用平方差公式分解即可．【詳解】（1）（2）（3）（4）13．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）因式分解：(1)（2a1）（a＋1）7（a＋1）；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)2（a＋1）（a4）(2)2（a＋b）（ab）(3)(4)(5)（7mn）（7nm）【詳解】解：（1）原式＝（a＋1）（2a17）＝（a＋1）（2a8）＝2（a＋1）（a4）．（2）原式＝（a＋b）[（a＋b）＋（a3b）]＝（a＋b）（2a2b）＝2（a＋b）（ab）．（3）原式．（4）原式．（5）原式＝[3（m＋n）＋4（mn）][3（m＋n）4（mn）]＝（7mn）（7nm）．14．（2023上·湖南長沙·八年級?？茧A段練習(xí)）完成下面各題(1)若二次三項式可分解為，則______；(2)若二次三項式可分解為，則______；______；(3)已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值．【答案】(1)(2)9，5(3)另一個因式為，的值為12．【分析】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．（1）將展開，根據(jù)所給出的二次