雙曲線-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

雙曲線

22

1.已知雙曲線=-二=1(a>0,Z?>0)的一條漸近線的方程為x-2y=0,左

ab

焦點在直線x+y+逐=0上，A,3分別是左、右頂點，點尸為右支上位于第一

象限的動點，直線以，的斜率分別為左，k2,則占+七的取值范圍為()

A.[2,+oo)B.(V2,+oo)C.(2,+oo)D.(l,^o)

2

2C:/130)

.已知雙曲線-方=〉的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過工的直線分

別交雙曲線C的兩條漸近線于M,N兩點，。為坐標原點.若點M是線段KN

的中點，且則5=()

A.lB.V2C.2D.V3

22

3.已知雙曲線C:二-3=1(?！?/〉0)的左、右焦點分別為《，凡，過點工作

ab

一條漸近線的平行線，且與另一條漸近線交于點P,連接P0若戶周=2歸閭，

則雙曲線C的離心率為()

42#J不?276?715

A.---D.-------U.---

3353

22

4.雙曲線土-與=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為《，工.過工作其中一條

ab

漸近線的垂線，垂足為P.已知|P與1=2,直線2耳的斜率為弓，則雙曲線的方

程為()

5.設(shè)。為坐標原點，耳,此為雙曲線C：f-V=i的左、右焦點，經(jīng)過原點。

的直線與雙曲線交于P,Q兩點，且|尸制+|尸閭=6,則四邊形尸耳Q鳥的面積為

B.V7D.2a

6.已知雙曲線。:三-￡=1（?！?力〉0）的左焦點為耳，直線y=fcc（Z〉O）與雙

曲線C交于P,Q兩點，且NPf；Q=@,PR由0=4,則當工片+匕取得最

32a

小值時，雙曲線C的離心率為（）

B.V3D.V2

7.已知耳，工是雙曲線后:與-斗=1（a>0,b>0）的左，右焦點，點尸在E

上，。是線段與工上的點，若/々「g二三，F(xiàn)p/D=1:2,PD=4,則當

△P片區(qū)面積最大時，雙曲線E的方程是（）

2

8.雙曲線c.2L—必=1的下焦點為R，過R的直線/與c交于A,3兩點，若過

3

A,3和點”（0,近）的圓的圓心在x軸上，則直線/的斜率為（）

A.土巫B.+行C.±iD.±2

2—2

9.（多選）已知雙曲線C過點（3,后）且漸近線方程為y=±gx,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.雙曲線C的方程為《-丁=1

B.雙曲線C的離心率為后

C.曲線y=e，-2_i經(jīng)過雙曲線C的一個焦點

D.焦點到漸近線的距離為1

22

10.（多選）已知耳，K是雙曲線土-上=1的左右焦點，過片的斜率存在且不

一48

為0的直線/與雙曲線交于A,3兩點，尸是A3的中點，。為坐標原點，則下

列說法正確的是（）

A.雙曲線的漸近線方程為y=±2xB.雙曲線的焦距為4石

C.若|時|=5,則卜1或9D.OP與A3的斜率滿足

22

11.（多選）已知雙曲線C:三-==1（。>0,/?>0）的左、右焦點分別為

ab

耳,F2,過B的直線與雙曲線的右支交于A，§兩點，若A片=38=246，則

（）

A.ZAF.B=ZF^AB

B.雙曲線的離心率6=」亙

3

C.雙曲線的漸近線方程為y=土子x

D.原點。在以工為圓心，A鳥為半徑的圓上

22

12.（多選）已知雙曲線C：工—21=1（?！?］〉0）的左，右頂點分別為A,B,

a2Z?2'

左，右焦點分別為耳，工，點P是雙曲線c的右支上一點，且三角形。尸乃為

正三角形(。為坐標原點)，記以，P3的斜率分別為左，k，設(shè)/為鳥的

內(nèi)心，記△/「￡,△〃￥；,△/耳鳥的面積分別為a,S2,S3，則下列說法正確

的是()

A-PFIPF；=UB.雙曲線C的離心率為出+1

c.桃2=2+26

22

13.已知雙曲線匕—土=1，(a>0^b>0)的兩個焦點分別為耳，工，過x軸上

心2

方的焦點《的直線與雙曲線上支交于M,N兩點，以N區(qū)為直徑的圓經(jīng)過點

M,若|摩|,|MN|,周成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為

22

14.已知雙曲線三-4=1(a>0,Z?>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過工

的直線與圓爐+/=/相切，且與雙曲線的左支交于％軸上方的一點P,當

=耳心時，直線「工的斜率為.

.設(shè)雙曲線土

15_21=a>O,b>0)的右焦點為b(c,0)，點A滿足OA=30F，

a2濟

點P、Q在雙曲線上，且AQ=2AP.若直線P。，PR的斜率之積為;，則雙曲

線的離心率為.

16.已知雙曲線。犬=1(?！?)的離心率6=當，點片，工分別是它的下焦點

和上焦點，若尸為該雙曲線上支上的一個動點，則怛制與P到一條漸近線的距

離之和的最小值為..

22

17.已知雙曲線C:?-七=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為《，F(xiàn)2,離

心率為百，點42,2),且耳心的面積為2遍.

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)直線/:%=陽+1交x軸于點3,與雙曲線C的左、右兩支分別交于點E,

R(不同于點A),記直線AE,AR分別與直線x=l交于點Af,N,證明：B是

MN的中點.

18.已知雙曲線Ex?—丁2=力(7t〉0)的右頂點為人，右焦點為R點R到后的一

條漸近線的距離為正，動直線/與E在第一象限內(nèi)交于5,C兩點，連接

AB,AC.

(1)求E的方程；

(2)若NE4B+NE4C=生，證明：動直線/過定點.

4

22

19.設(shè)A,3為雙曲線C:'-與=1(?>0,Z?>0)的左、右頂點，直線/過右

ab

焦點R且與雙曲線C的右支交于M,N兩點，當直線/垂直于x軸時，AAMN

為等腰直角三角形.

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)已知AB=4,若直線AM,AN分別交直線x=l于P,Q兩點，若￡>?,0)

為x軸上的動點，當直線/的傾斜角變化時，若ZPDQ為銳角，求才的取值范

圍.

2

20.已知雙曲線c：V—2L=1的右焦點為凡過點R的直線與雙曲線C的兩條漸

2

近線分別交于A,3兩點.

(1)若直線A3的斜率為1,求線段A3的中點坐標；

⑵若點p(4x),Q(%2，%)在雙曲線。的右支上，且石〉々〉0,%〉o，

PQ//AB,過點尸且斜率為―④的直線與過點。且斜率為0的直線交于線段

A3上一點且倒，求實數(shù)幾的值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：由雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0,得a=2b,在x+y+V?=0

中，令y=0，得x=-6故左焦點為(-6,0),貝i]c=V?,結(jié)合02=/+^得

a=2,b=l,故A(—2,0),5(2,0),設(shè)P(x,y),x>2,y>0,貝U

2---------11

x+2x-2x2-4%--44

因為「在第一象限，故占〉0,k2>0,則勺+&22^^=1,顯然勺W七，故

等號不成立，即勺+&〉1.故選D.

2.答案：D

解析：易知是△NKK的中位線，所以O(shè)M〃N￡,

由得OMLNF2,從而△ON鳥是等腰三角形，ZMOF2=：AMON,

又ZMOF2=/NOFi,所以ZMOF2=ZMON=ZNOF,=60°,

即漸近線y^bx的傾斜角為60°,因止匕。=tan60°=6.故選D.

3.答案：A

解析：由條件知o=，方2+加,耳(_C,0),工(c,0).不妨設(shè)過點工且與一條漸近

b

,y=—

線平行的直線的方程為y=-2(x-c).聯(lián)立得方程組J解得

ab

x=￡

2’即P

，所以耳1=

be

y二2二a，

.因為|尸周=2|叫(所以

2

'解得tAd5?所以雙曲線。的離心率

.故選A.

4.答案：D

解析：通解：不妨取漸近線此時直線尸層的方程為y=-4(x-c),與

ab

a1

x=—（27、

聯(lián)立并解得＜c,即p—

aabIcc）

）二一

C

因為直線PF,與漸近線y=垂直，所以尸凡的長度即為點E(c,0)到直線

a

丁=2工(即屬-分=0)的距離，由點到直線的距離公式得

a

be

—=b,所以Z?=2.

c

ab「

pf—,2y、且直線PK的斜率為孝，所以

因為耳(―.0),化簡

a24

——+C

C

zBab_41“a所以裊=手，整理得

1寸22-A

〃+c4

2缶+2=0,即（"42=0,解得。=萬

22

所以雙曲線的方程為故選D.

優(yōu)解：因為過點B向其中一條漸近線作垂線，垂足為P，且|P與1=2,所以

22

b=2,再結(jié)合選項，排除選項B,C；若雙曲線方程為土-乙=1,則

84

耳(-26,0),￡(2g,0),漸近線方程為y=土/X,不妨取漸近線>

則直線Pg的方程為y=-0(x-2百)，與漸近線方程y=聯(lián)立，得

P［羋,友］,則左用=力，又直線「耳的斜率為正，所以雙曲線方程

、33J54

22

土一匕=1不符合題意，排除A,故選D.

84

5.答案：D

解析：由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)P在右支上，則有歸周-忸閭=2,又

|P￡|+|尸閭=6,可得|尸周=4,|尸鳥|=2,又用耳|=20,所以

|明2+歸閶2T可研

42+22_Q&)23

COSZFPF=由于

X22網(wǎng)|?附|2x4x24

e(0,K),進而sinN^Pg=Jl—cos2/EP0=乎,又△工耳。與月

的面積相等，故四邊形「耳。心的面積為

2--|P^|-|P^|sinZ^Pf；=2x1x4x2sinZJF；P^=277.^^D.

6.答案：D

解析：不妨設(shè)P位于第一象限，雙曲線C的右焦點為工，連接尸工，F(xiàn)2Q,

。為PQ,片工中點，.?.四邊形「耳。月為平行四邊形，.?.0/<=

71

"PF、；

設(shè)歸聞二加，\PF2\貝!j根一〃=2Q,

——?一-TTI

由尸片由0二4得：PF{-PF2=mncos—=—mn=49解得：mn=8；

在APF'F?中,閨8『=m2+n2—2mncos^=(m—n)2+mn—4a2+8=4c2,

222

/.b=c—a=29

22

i2fl+a42=—2a+42^AN/—2-a24=（當且僅當儲=2時取等號），

當!”+與取得最小值時，雙曲線C的離心率e==夜.

2aVa2

故選：D.

7.答案：C

解析：如圖所示，（已知條件集中在△「￡＞耳和△「￡＞心中，且/PD耳和NPDg互

補，考慮在兩個三角形內(nèi)用余弦定理求解）

設(shè)尸耳=〃，PF2-m,ZPDFl-a,FXD-x,則NPDg=7i-a,F2D-2x,

在中，由余弦定理得〃2=f+16—"cose①，在△「《￡＞中，由余弦定

理得I=4x2+16-16xcos（7i-?）=4x2+16+16xcostz②，2x①+②得

2"2+/=6x2+48③，（兩角互補，余弦值互為相反數(shù)，通過兩式相加化簡）

在△PFFz中，由余弦定理得9x?=n~+m2-2mncos^=n2+m2-mn@,

③④聯(lián)立消去x得24+—m2+mn=72,

2

因為S△郎F2總加"，所以當耳層面積最大時，加幾最大，

222

由基本不等式可得72=2n+—m+m孔＞242rl2x—m+mn=3mn,

2V2

當且僅當21=工加2,即加=4j§\〃=24時等號成立，加〃取得最大值，為

2

24.

止匕時由④解得x=#〃=2,所以月耳=也幾=6,

a—A/3,

PF2-PFx=2a=2y/3,

在雙曲線中有,耳鳥=2c=6,解得＜b=A/6,

C1=/+/,c=3,

22

所以雙曲線E的方程為故選C.

8.答案：B

解析：由題意可知：F(0,-2),設(shè)A。,%),B(x2,y2),A3的中點為P,過點

A,B,〃的圓的圓心坐標為G?,0),

由題意知：直線A3的斜率存在且不為0,設(shè)直線A3的方程為：y^kx-2,

y=kx-2

聯(lián)立方程組＜y22，消元可得：/2—3)/-4a+1=0，

[3

則左2—3w0，△=16k2-4(公—3)=12k2+12〉0，

由韋達定理可得：X.+X,=￥，x.x2=—，

12k--312左2—3

解法一：

所以A3的中點尸的坐標/=生土上y=kxP-2=^—

則尸由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點連線的斜率垂直于弦所在

上2—342—3

的直線，

6

-----0

1

所以左PG一左2—3

—2kk

t

-F5----3------

整理可得：”1^(*),則圓心G?,0)到直線AB的距離d=也2,

左2-3-J1+H

.6左2—4左2+12

由弦長公式可得:|AB|=Jl+k-{(再+%)2-4X]/=A/1+k-N(-3)2

2=J2+(1|AB|)2,

由垂徑定理可得:r

也即/+7=儂一??+(1+/)3(R+?,將(*)代入可得:

1+k2(4-3)2

8k2

264k236/+363(1+42)2

2-2)

64k)3(1+^2)2,即-22+22

—o---T+73GF.(Z:-3)(Jt-3)

(42—3)21+42十(左2—3)2

整理可得：/_5公+6=0，貝U(左2一2)/2—3)=0，因為左2—3/0,

所以左2—2=0，貝1U=±JL

解法二：

由|AW|=/t—xj2+y；=r=\Jt2+7，化間得x；+y；_2tx1-7=0，

2

又g—才=1，所以2x；—比—12=0,

同理2￥-a2-2=0，所以*,Z是方程2/_次_2=0的兩個根，

所以石々=一1，XxYx2=—，所以—=—1，

FVK/

所以所以k2=2,貝心=±0.

故選：B-

9.答案：ACD

解析：設(shè)雙曲線C的方程為42+g2=1(43<0),將點(3,0)代入可得

94+25=1①,

因為漸近線方程為丁=土\「1=土坐，所以4=-1②.

\B3B3

1/

由①②解得A=!,B=-l,故雙曲線的方程為工-y2=i,A正確；

33

由A可知a=6，b=l,c=2,所以離心率e=￡=/==冬8,B錯誤;

aV33

雙曲線的焦點坐標為(±2,0),其中(2,0)滿足>=廣2一1,C正確；

焦點(2,0)到漸近線氐±3y=0的距離為=1,D正確.故選ACD.

V3+9

10.答案：BD

解析：根據(jù)題意可得，/=4,貝1］。=2,白=8,貝)=2四，

c2=a2+b2=4+8=12,貝Uc=2百

對于A,雙曲線的漸近線方程為y=±-x,即y=+y/2x,故錯誤；

a

對于B,雙曲線的焦距為2c=46，故正確；

對于C,由雙曲線的定義可得卜周-卜閭|=2。=4,且|叫|=5,則|9|=1或

9

又因為。=26-2,故應(yīng)該舍去，所以|A閭=9,故C錯誤；

對于D,設(shè)A(4X),B(x2,y2),則P1號邃

2)

(22

區(qū)—五=1

將A,3坐標代入雙曲線方程可得;工兩式相減作差可得

X

2y2_J

彳一不一

2222

石一元2%—%=0

48

變形可得耳二4=9=2,即,X—=2,

石一々4(七一

一+%

且『二=所以七故正確.

否-xP-KB=2,

2%+々X]+x2

2

故選：BD

11.答案：ABC

解析：設(shè)人耳=248=2根，則AB=A8+36=3m.

由雙曲線的定義知人耳―A耳=2加—加=2〃，即機=2〃，BFx-BF2=2a,即

BF「2m=2a,BFx=3m=AB9ZAF.B=ZF^AB,故A中說法正確;

4耳2+BF；—Ag2_4"/+9m2—9m2_1

在△ABK中，cosNAF[B=——,

2A片?BF12-2m-3m3

AF2+AK2-FK24m2+m2-4c21

則在月中，cosZFlAF2=-------------=------------=一，化間并

2A耳AF22?2m?m3

小乎故B中說法正確;

整理，得12c2=11療=444，...離心率e=￡

a

雙曲線的漸近線方程為'=±2%=土,三七=±后二=±半》，故C中說

a

法正確;

若原點。在以居為圓心，AE為半徑的圓上，則c=m=2a,即二=2,與

a

二半不符，故D中說法錯誤.

a

故選ABC.

12.答案：ABD

解析：因為△。叫為正三角形，所以Pc

Gc、

=0

故A正確

將p點坐標代入雙曲線方程可得上一￡=1

4/折

即b2c2-3a2c2=4a2b2

即,2_/,2_3602=4//2_叫

即c4-8a2c2+4a4-0

SPe4-8e2+4=0

設(shè)/=e2(/>l)，則產(chǎn)一8t+4=0

解之得：”4+2百或r=4-23<1（舍）

所以e?=4+2百=（1+向2，所以e=l+g

故B正確

故C錯誤

設(shè)耳鳥的內(nèi)切圓半徑為「，則耳=；”耳；|,S2=^r\PF2\,S.=^r\FxF.

S「$2=^r[\PF}\-\PF2\)=^r-2a=ra=^^-rc

S3=；r閨閶=；「-2c=rc

所以S「S2="S3,即S1=S2+浮S3,故D正確

故選：ABD

13.答案：y=土如%

-3

解析：由雙曲線的定義|曬|=2a+|孫|,

|A^|=2a+|A^|):.\MF2\+\NF2\=4a+\MFl\+\NFl\=4a+\MN\，

\MF2\+\NF2\=2\MN\，:.\MN\^4a,令|肛|=x，

在△MNg中，MF2VMFX,+\MN^=\NF^

(2〃+x)2+(4tz)2=(6a—x)2,

x—a9/.=ci>=3d9

22222

又在Rt/\FlMF2中'a+(3a)=(2c),2c=5a,

22222

^~c-a+b>2b-3a>=y=±-%=+^-x-

b3b3

14.答案：-士

4

解析：設(shè)直線尸工與圓公+丁2=。2相切于點。，連接。0,過點片作片

則PG=￡g=2c,OD=a,RE=2OD=2a,由點P位于雙曲線的左支，可

得P巴=2c+2a,

在等腰中，9PK，則?EH同,即

3

(2a)2+(c+a)2=(2c)2,解得〃或〃=—c(舍)，

故tanN跖H=￡%=用_=|_=9,則直線2工的斜率為—2.

Z*7-'7-7.V44?A

EF^a+c?c44

15.答案：3

3

解析：如圖，取P,。的中點為M,連接。M,PF,

所以△APE，△400相似，所以PF//M0,

因為直線尸Q,PR的斜率之積為工，所以心。.自”=工，

33

國—￡=1

設(shè)P&X)，05,幻，則M［寧,寧:且卜:白

122)%%-

兩式相減可得（石+%）（x「%）_（%+%）（%-%）=0,

/b2

5+%）（x-句上,即_￡_1

即即工」

（為+/）（七一々）/_。

kpQ2_3a23

Lb220

所以雙曲線的離心率為6=1+/F

故答案為：正

3

16.答案：5

2

解析：雙曲線2L——=1（?！?）的離心率6=4

所以e2=l+：=；,解得a=2,所以1（0,—君），&（0,逐）

22

雙曲線匕.必=1，由二一必=0,的雙曲線的漸近線方程為y=±2x

44'

由尸為該雙曲線上支上的一個動點，根據(jù)雙曲線的定義可得：

閥閭=2。=4

所以戶制=4+|。閭，設(shè)點P到漸近線y=2x的距離為d

則歸耳|+2=4+歸閭+2，過工作漸近線y=2x的垂線，垂足為“，如圖.

所以歸6|+1=4+|尸鳥|+124+|耳〃|=5

同理忸劇與p到漸近線y=-2%的距離之和的最小值為5

故答案為：5

22

17.答案：（1）--^=1

24

（2）證明見解析

e=—=6,

a

解析：（1）由題知=、2cx2=2跖

i-ici[/2

〃2+/=02,

a—A/2,

解得＜6=2,

c=V6,

22

二雙曲線C的標準方程為土-匕=1.

24

22

（2）證明：將/:%=陽+1代入L—匕=1,

24

可得（2/—1）,2+4g;—2=0.

設(shè)石（石,%），廠（%2，%），

4H72

貝U2m2-I。。，A=32m2-8＞0,貝4%+%=-----;——，/%=----;——

2m-12m-1

直線AE的方程為＞=豆二（x-2）+2,

%一2

令x=1，得加=-~+2；

/-2

直線AR的方程為'="匚（》-2）+2,

%2-2

令x=1，得%=~~~r+2.

x「2

2-yi2-y2_-2myiy2+(2m+l)(yi+y2)-4_

't'--------1------------------------------------------------——4,

%1-2x2-2(7町-l)(my2-1)

；?%+%=0，

即3是MN的中點.

18.答案：(1)犬―9=2

(2)證明見解析

解析：(1)由題可得，雙曲線E為等軸雙曲線，故其一條漸近線方程為

x—y=0,F(V22,0),

則點F到E的一條漸近線的距離d=良=2,

V2

所以2=0,所以E的方程為必―/=2.

(2)證明：根據(jù)題意，直線/的斜率一定存在，

所以設(shè)直線/:y=Ax+m，8(%,%),C(x2,y2),

由(1)可得A(JI,O),斤(2,0),

因為動直線/與E在第一象限內(nèi)交于3,C兩點，所以左>1.

聯(lián)立<:2；消去y整理得(左2一1,2+2^^+蘇+2=0,

則A=(2協(xié)力2—4(R—1)"+2)=4[療+2(1—/)]>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得，%+4=學(xué)，和C2=W吧.

V-lk2-l

由斜率定乂得，kAB—tanZ.FAB——y七,kAC=tan^FAC=—%廠.

nL>IcCLfc

x{-A/2X2-A/2

Q-IT

因為NE4B+NE4C=H,

4

匚G、I//…“八tanZFAB+tanZFACk+k.

所以tan(ZFAB+ZFAC)=------------------------------==AR——gAC=-1,

1-tanZFAB-tanZFAC1-kAB-kAC

化簡得，kAB+kAC-kAB-kAC=-1,即一+—^-J=---^-r=且后=T，

x「72x2-V2再一42X2-A/2

變形得,％—J^）+%（玉—y%=—（玉—（犬2—，①

將必=Joe】+m,%=生+加代入①整理可得，

2

（2左一左a）%%+（加一Am-亞女）（西+x2）-m-2\l2m=-^2+0（再+九2）—2,②

將X+X2=W^,%也二十工代入②得，

1-k2-lk2-l

（24一）4+（吁加-伍）?乎-療-2鬲=-4+0?孚-2,

'1k-\k-1k-1k-1

化簡得，2k+42km+V2m+m2=0,BP（42k+m）（y/2+m）=0,解得m=-亞女

或加=-^2.

當機=-血左時，直線I:y=kx-a=k（xf）,此時直線/過點A（加,0）,不

符合題意；

當初=-形時，直線/:y=Ax-0，此時直線/過點（0,-0）.

綜上，動直線/過定點（0,-0）.

19.答案：（1）2

（2）〃/<-2或/>4}

22/2

解析：（1）易知右焦點砥c,0）,將x=c代入=-*=1,得>=土幺，

aba

當直線/垂直于X軸時，△AMN為等腰直角三角形，

*

止匕時.=即q+c=幺，整理得。2+4。_〃=0,

a

因為加=c之一a?,所以2a2+ac-c2-0,

方程兩邊同除以標得2+e-e2=0,解得e=2或e=-1（舍去），

所以雙曲線C的離心率為2.

（2）因為AB=2a=4,所以a=2,

因為e=￡=2,所以c=4,故Z?2=c2-a2=12,

a

22

所以雙曲線的方程為土-L=l.

412

當直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為y=Zr(x-4),

與雙曲線方程聯(lián)立，消y得(3—左2)/+8左21—[6左2—]2=o,

設(shè)N(x2,y2),

1642+12

則玉+々=52=

k--3

1

貝!J%%=左2(石-4)(X2-4)=k-4(%,+X2)+16]

(1642+1232k之-36嚴

=k2+16

(k2-32

k-37k--3

因為直線/過右焦點R且與雙曲線C的右支交于M,N兩點,

匚匚I、I84~.16k~+12zg2-

所以玉+工2=不——>4,xx=——3---->4,解&7得7左2>3,

K'r2/C

因為NPDQ為銳角，所以。尸?迎=1+/—2/+7—需_〉o,

(%+2)(%+2)

-36x9-2

即:1+/_2r+----濘2_〉0,所以]+/_2f+J>0,

MW+2(玉+Z)+416k2+1216人之

一.—3+—

所以1+J—2f—9>0,即產(chǎn)一2/—8>0,解得/<—2或/>4.

當直線/的斜率不存在時，將尤=4代入雙曲線方程可得y=±6,

此時不妨設(shè)M(4,6),N(4,-6),

此時直線AM:y=x+2,點尸的坐標為(1,3),同理可得Q(l,-3),

所以DP=(1—f,3),DQ=(l-t,-3),

因為NPDQ為銳角，所以=2—8>0,解得/<一2或，>4.

綜上所述，/的取值范圍為川t<-2或/>4}.

20.答案：(1)卜百26)

(2)2

2

解析：(1)21=1漸近線為土反，

2

由直線A3的斜率為1,點/(6,0),得直線A3的方程為>=x-6，

設(shè)A&,%)，3(%2M分別聯(lián)立卜=和卜"f，

[y=飛2x[y=-v2x

可得A(-血-瘋-2指-2⑹，5(#-百,2指-2@

設(shè)線段A3的中點坐標為(馬,%),則%=—6，％=—2百，

故線段A5的中點坐標為(-A-2V3),

(2)設(shè)直線尸。的方程為y="+根(左w0),

則v'"："，解得(2-左2卜2—2=0,

2x—y—2

△=8(療+2—左2)＞o,

c2kmc/+2c

玉A聲＞。，?二玉+九2=---^＞。，玉％=------丁＞0,

，一k2—k

2/2<0,

設(shè)點/（%,%）,則

%一%=后％-%2）

整理得X-％=2缶M-&（%+無2），

%—%=人（/一%2），■1-2夜光”=夜（無1+尤2）+左（七一%），

kdm2+2-k2-km

解得為

k--2

又2yM-（弘+%）=0（西一％2）'%+%=左（玉+/）+2加，

.'-2yM=夜（七一％2）+左（％+%2）+2加，

.2,-2+2—02—2m._2

??加=-----記三-----'.?%=%3

設(shè)直線AB的方程為y=左1-6），A（^,y3）,W4%），

則卜依-解得七y/3ky[6k

,%=岳3k-yjl，k—正

同理求得％=二牛，乂=-1絲，

k+s/2k+y[2

2辰24辰

%=M%-石）

此時點M的坐標滿足，＜

2

=TXM

k

解得X"=^^=3（m+匕），＞〃=|^|=；（%+%），

二川為線段的中點,即陷=2|阿,

.?.實數(shù)X的值為2.

高中數(shù)學(xué)?？寄K必考點+重難點匯總

基本初等函數(shù)I

一、概念與符號

1.函數(shù)的概念

一般地，我們有：設(shè)48是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系f,使對于集合4中的任意一個數(shù)%,在集合B中都有唯一確定的

數(shù)/'(%)和它對應(yīng)，那么就稱八4TB為從集合4到集合B的一個函數(shù)

(function),記作：y=/(%),xEA.

2.映射的概念

一般地，我們有：設(shè)4,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的

對應(yīng)關(guān)系/■，使對于集合從中的任意一個元素尢，在集合B中都有唯一

確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A-B為從集合4到集合B的

一個映射(mapping)。

3.函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為1,如果存在實數(shù)M滿足：

(1)對于任意的％EI,都有/(%)<M(/(x)>M)；

(2)存在%。G/,使得/(第。)=M.

那么稱M是函數(shù)y=f(%)的最大(小)值，通常記為：

3max=M或/'(X)max=^07min=M或fCOmin=M).

4.奇偶函數(shù)等式的等價形式：

奇函數(shù)=/(-%)=-7(%)=/(-%)+/(%)=0

—%)

=今一=一1(/(%)/0)；

偶函數(shù)=/(-%)=/(%)=/-(-%)-/-(%)=0

=n、=1(/(%)*o).

二、常用公式

1.暴指數(shù)運算法則

⑴ard=—+s,(仃=產(chǎn),(abY=arbr.(a>0,r,seQ)

(2)當九為奇數(shù)時，府=a；

當九為偶數(shù)時，后=|a|=\a，a-0,

.—a,a<0.

m___

(3)規(guī)定：。片=皆而(。>0，m，nGN*,且九>1)；

a~n=^(a>0,m,nEN*,且

an

a°=l(aH0).

2.對數(shù)恒等式

logaN

a=N,logaa=1,loga1=0.(其中N>0,a>0,且a豐1)

3.對數(shù)運算法則

設(shè)Q>0,且aHl,M>0,N>0,貝！|

loga(MN)=logaM+logaN,

logaO=logaM-10gaN,

n

10gaN=nlogaN

4.對數(shù)換底公式

10gcdrr

logflb=-----(a>0且aHl；c>0且cHl；b>0)

logca

函數(shù)的應(yīng)用

一、概念與符號

1.函數(shù)的零點

對于函數(shù)y=/(%),我們把使f。)=0的實數(shù)尢叫做函數(shù)y=f(x)的零

點(zero)

2.二分法

對于在區(qū)間［a,b］上的連續(xù)不斷且/'(aAfS)<0的函數(shù)y=〃>),

通過不斷地把函數(shù)/'(W的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端

點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection)□

二、常用公式

1.二次函數(shù)式:

2.二次函數(shù)圖象在久軸上兩點間的距離:

X+X2

-I=V(12)-4%I%2=----j—j----

3.方程a/+bx+c=0(aH0)：

(1)判別式A=b2-4ac；

(2)求根公超］，2=33(AN0)；

X，z2a

f.__b_

(3)根與系數(shù)的關(guān)系在”「一『

=--

三、常用定理

1.零點存在定理

一般地，我們有：如果函數(shù)y=f(%)在區(qū)間［a,可上的圖象是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)有零點，即存在c€(a,b),使得/1(<:)=0,這個c也就是方

程/(%)=0的根。

2.二分法的操作步驟

給出精確度覆用二分法求函數(shù)/(%)在區(qū)間［a,b］上零點近似值的步

驟如下：

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗證/'(a)?/'(b)V0,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(a,b)的中點c；

(3)計算f(c);

空間幾何體

一、常用公式

S圖柱全=27rr(r4-Z)J%=Sh',

S圖椎=nr(r+l),曝=1Sh；

S圖臺=n(r'2+r2+r'l+rl),%=；(S+V^+S')/i；

S球=4兀腔，17球="R3.

二、常用定理

(1)用一個平面去截一個球，截面是圓面.

(2)球心和截面圓心的連線垂直于截面.

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面關(guān)系：

r=V/?2-d2.

(4)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截

面截得的圓叫做小圓.

(5)在球面上兩點之間連線的最短長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在

這兩點間的一段劣弧的長度，這個弧長叫做兩點間的球面距離.

點、直線和平面位置關(guān)系

一、概念與符號

平面a、0、y,

直線a、b、c,

點4、B、C.

Aea---點4在直線a上或直線a經(jīng)過點4

a<=a----直線a在平面a內(nèi).

an/?=Q-----平面a、0的交線是a.

al/?-----平面a、0平行.

61y-----平面6與平面y垂直.

二、常用定理

1.異面直線判斷定理

過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面

直線.

2.線與線平行的判定定理

(1)平行于同一直線的兩條直線平行.

(2)垂直于同一平面的兩條直線平行.

(3)如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平

面相交，那么這條直線和交線平行.

(4)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平

行.

(5)如果一條直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個

平面的交線.

空間向量與立體幾何

一、常用公式

1.設(shè)a=