雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用（第四版） 課件 第3章 線性濾波方法3

于洪波雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用

第3章線性濾波方法3.2卡爾曼濾波（**）

3.2.1系統(tǒng)模型

3.2.2濾波模型

3.2.3卡爾曼濾波器的初始化

3.2.4卡爾曼濾波算法應(yīng)用舉例3.3穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波3.4常增益濾波器3.3穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波

濾波穩(wěn)定性問題就是要研究濾波初值的選取對濾波穩(wěn)定性的影響問題，即若隨著濾波時間的增長，估計(jì)值和估計(jì)誤差的方差陣各自都不受所選的初始估計(jì)值和的影響，則濾波器是穩(wěn)定的，否則估計(jì)是有偏的，估計(jì)誤差方差陣也不是最小的。

穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到某一擾動后恢復(fù)原有運(yùn)動狀態(tài)的能力，即如果系統(tǒng)受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多大，在擾動撤除后，系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。(1)濾波器穩(wěn)定的數(shù)學(xué)定義；

(2)穩(wěn)定性判斷；(3)隨機(jī)線性系統(tǒng)的可控制性和可觀測性；(4)濾波誤差的界；(5)穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波；主要內(nèi)容(1)濾波器穩(wěn)定的數(shù)學(xué)定義

若對于任意給定正數(shù)ε>0，都可以找到正數(shù)δ>0，使得對任意滿足不等式的初始狀態(tài)(i=1,2)，有成立，則稱濾波器穩(wěn)定。濾波穩(wěn)定性定理如果隨機(jī)線性系統(tǒng)是一致完全可控和一致完全可觀測的，則Kalman濾波器是一致漸近穩(wěn)定的，即當(dāng)濾波時間充分長后，它的Kalman濾波值將漸近地不依賴于濾波初值的選取。對于隨機(jī)線性定常系統(tǒng)，一致完全可控和一致完全可觀測就是完全可控和完全可觀測。(2)穩(wěn)定性判斷定義(完全可控)

隨機(jī)線性離散系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是存在正整數(shù)N，使可控性矩陣成立。對于隨機(jī)線性定常系統(tǒng)

隨機(jī)線性離散系統(tǒng)的可控性就是考察過程噪聲V(k)影響系統(tǒng)狀態(tài)的能力。(3)隨機(jī)線性系統(tǒng)的可控制性和可觀測性定義(完全可觀測)

隨機(jī)線性離散系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是對于時刻k，存在某一個正整數(shù)N，使得矩陣成立。對于隨機(jī)線性定常系統(tǒng)若一個隨機(jī)系統(tǒng)是可觀測的，則根據(jù)觀測數(shù)據(jù)通過某種算法完全能夠獲得目標(biāo)的位置信息。式中n為狀態(tài)變量維數(shù)。

對于一般系統(tǒng)都有Q(k)>0和R(k)>0，因此對于隨機(jī)線性定常系統(tǒng)完全可控與完全可觀測的充分必要條件分別為

如果系統(tǒng)是時常的，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F、輸入控制項(xiàng)矩陣G和量測矩陣H是常數(shù)矩陣，并且噪聲是平穩(wěn)的(Q和R是常數(shù)矩陣)，而且滿足以下兩個條件

(1)

F、H對是完全可觀測的；

(2)

F、Г對是完全可控制的。則存在一個惟一的正定矩陣，使得從任意的初始方差陣P(0|0)出發(fā)，當(dāng)k→∞，Riccati方程收斂到惟一的正定矩陣

。(4)濾波誤差的界Riccati方程，即一步預(yù)測協(xié)方差的單遞推式狀態(tài)一步預(yù)測的單遞推式為在穩(wěn)態(tài)濾波中狀態(tài)一步預(yù)測為卡爾曼濾波穩(wěn)態(tài)增益(5)穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波引起濾波發(fā)散的主要原因：系統(tǒng)過程噪聲和量測噪聲參數(shù)的選取與實(shí)際物理過程不符。系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始協(xié)方差的假設(shè)值偏差過大。不適當(dāng)?shù)木€性化處理或降維處理。計(jì)算誤差。濾波發(fā)散問題

在P(0|0)、Q(k)和R(k)無法精確獲得的情況下，若知道它們可能的取值范圍，則可以采用它們可能的較大值。3.4.1α-β濾波器

α-β濾波器是針對勻速運(yùn)動目標(biāo)模型的一種常增益濾波器，此時目標(biāo)的狀態(tài)向量中只包含位置和速度項(xiàng)，3.4常增益濾波器α-β濾波器增益具有如下形式目標(biāo)機(jī)動指標(biāo)λα-β濾波器增益工程上常采用與采樣時刻k有關(guān)的α、β確定方法當(dāng)α、β減小到某一值時可規(guī)定其保持不變。、α、β值與k的關(guān)系k123456789101112…α115/67/103/511/2113/285/1217/4519/557/2223/78…β

11/23/101/51/73/281/121/153/551/221/26…

單目標(biāo)情況下：狀態(tài)的一步預(yù)測：

狀態(tài)更新方程：

其中：新息

多目標(biāo)情況下協(xié)方差的一步預(yù)測

新息協(xié)方差

協(xié)方差更新方程3.4.2自適應(yīng)α-β濾波器3.4.3α-β濾波算法的應(yīng)用舉例針對一個勻速直線運(yùn)動目標(biāo)設(shè)計(jì)常增益濾波器，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中：v(k)是零均值的白噪聲

目標(biāo)運(yùn)動的真實(shí)初始狀態(tài)為量測方程為

其中：w(k)是零均值的白噪聲要求：求目標(biāo)機(jī)動指標(biāo)λ；求α-β濾波器增益；給出目標(biāo)運(yùn)動的真實(shí)軌跡和機(jī)動指標(biāo)已知、未知情況下的估計(jì)軌跡；3.4.4α-β-γ濾波器α-β-γ濾波器是用于對勻加速運(yùn)動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤α、β、γ和機(jī)動指標(biāo)λ之間的關(guān)系為三維狀態(tài)向量初始狀態(tài)和初始協(xié)方差陣

工程上經(jīng)常采用如下的方法來確定α、β、γ值，即把它們簡化為采樣時刻k的函數(shù)：

k123456789101112…α11119/2031/3523/2816/2117/24109/16534/5583/143199/364…β

12/37/1512/3511/4213/631/668/49519/16514/14323/273…γ

11/22/75/285/421/122/331/225/1435/182…表2.2α、β、γ值與