2023-2024學(xué)年遼寧省五聯(lián)考高一年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年遼寧省五聯(lián)考高一上冊期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合厶=卜卜34》<3},B={X|X>1},則Ac僅3)=()

A.{x[x>-3)B.C.{x|l<x<3jD.|x|-3<x<1}

【正確答案】D

【分析】根據(jù)集合交集，補(bǔ)集運(yùn)算解決即可.

【詳解】由題知，集合A={X|-34X<3},B={X|X>1},

所以48=卜,<1},

所以Ac低8)=3—36<1},

故選：D

2.命題Fx<0,—Fx?-x<0”的否定是()

X

11

A.3x<0,—x9—x0B.Vx<0,—+x9-x>0

xx

11

C.Vx<0,—x9-x0D.Vx20,—Fx9—%之0

xx

【正確答案】C

【分析】利用存在量詞命題的否定的結(jié)構(gòu)形式可得正確的選項(xiàng).

【詳解】命題“去<0,丄+/一X<0”的否定為：“Vx<0,丄+——XW0”，

XX

故選：C.

3.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分''題：糧倉開倉收糧，有人送來米1524石,

驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()

A.133石B.159石C.336石D.168石

【正確答案】D

【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒可得比例，即可解決.

【詳解】由題意得，這批米內(nèi)夾谷約為1524x^=168石，

故選：D

4.給出的下列條件中能成為一三20的充分不必要條件是()

x-3

A.xWO或x>3B.尤<-1或x>3C.x<-l^x>3D.x>0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系解決即可.

【詳解】由題知，一二20,

x-3

所以卜解得xVO,或x>3,

X-3H0

Y

對于A,能成為一^20的充分必要條件；

x-3

X

對于B,能成為一^20的充分不必要條件；

x-3

對于C,能成為工720的既不充分也不必要條件；

x-3

對于D,能成為二20的既不充分也不必要條件；

x-3

故選：B

5.設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增，則()

【正確答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知23>2整，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得

23/、

log,3>1>2一3>2萬，結(jié)合函數(shù)“X)的奇偶性和單調(diào)性即可得出結(jié)論?

(_2\(_3

【詳解】由指數(shù)函數(shù)>=2'為單調(diào)遞增函數(shù)可知2。=[>23>2卷，所以『2">f

又是定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)，

所以/[log21]=/(-log23)=/(log23),

由對數(shù)函數(shù)y=log2》可知，log23>log?2=l,

故選：B

6.如圖，在ABC中，BM=；BC,NC="C，直線AM交BN于點(diǎn)、Q,若BQ*BN,

則2=()

【正確答案】A

LUKIUUL1UU

【分析】由AM,。三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)〃使得BQ=〃8M+(1-〃)84,再由A,N,C三點(diǎn)

4uunT.uun3

共線可解得〃=],利用向量的線性運(yùn)算化簡可得NC=1AC,即2

【詳解】根據(jù)圖示可知，AM,Q三點(diǎn)共線，由共線定理可知，

L1L1UUUUUU

存在實(shí)數(shù)〃使得=)84,

uuir1uunmu5a皿5uuo1uunuir

又BM=-BC,BQ=^BN,所以]8N=5〃8c+(1-〃)8A,

514

又A,MC三點(diǎn)共線，所以1=+l—〃，解得〃=；,

uun2皿113111Tuirnum、7uiruum、3uir

即可得BNuyBC+'BA,所以z(8A+AN)=wz(8A+AC)+gBA,

7uuniiuin7uinnuuni3uun

所以AN=yAC,gpAC-NC=-AC,可得NC=，AC,

又NC="C，即可得人;

故選：A

7.已知奇函數(shù)〃X)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)。，厶滿足f(a)+/(26-1)=0,

則丄+￡的最小值是()

ab

A.1+20B.2A/2C.2D.4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意得。+功=1,得丄+:=1+殳+—,再根據(jù)基本不等式解決即可.

abab

【詳解】由題知，奇函數(shù)/(X)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，正實(shí)數(shù)a,6滿足

“。）+/（2。-1）=0,

所以/（a）=-〃力-1）=〃1一効）,

所以a=l—26,即a+2Z?=l,

g、i1aa+2。a2b。一八12ba八r-

所以一+—=-----+-=1t+―+->1+2--------=1t+2V2，

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)之=￡,即〃=夜-1力=1-也時取等號，

ab2

故選：A

8.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)莫基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子''的稱號，他和阿基米

德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.用其名字命名的“高斯函數(shù)''為：y=[x](xwR),[可表示不

超過x的最大整數(shù)，如卜1.6]=-2,[1.6]=1,[2]=2,已知〃力=馬二1+丄，則函數(shù)戶[/(切

e'+12

的值域?yàn)?)

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0}

【正確答案】C

【分析】先進(jìn)行分離，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)性質(zhì)求出/(x)的值域，結(jié)合已知定義

即可求解.

【詳解】因?yàn)椤τ?9|-高

又e，+1>1,

所以0<宀<2,

1+e

2

所以一2<-1―<0

1+e7

所以八力=1-爲(wèi)

則g(x)="(x)]的值域{-1,0,1}.

故選：C.

二、多選題

9.下列命題中，正確的是()

A.若a>b,則〃2>從

B.若丄<1，則4>人

ab

C.右b>a>0,m>0,貝ij一<----

bb+m

D.若一Iv〃v5,2v/?v3,則一4va—Z?v3

【正確答案】CD

【分析】利用特值可判斷AB,利用作差法可判斷C,根據(jù)不等式性質(zhì)可可判斷D.

【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)。=1>人=一1時，a2=b2,故A錯誤；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)。=-1,6=1,丄<《時，a<b,故B錯誤；

ab

ciQ+m(ct—h)〃2/7fz4-m

對于C選項(xiàng)，若b>a>0,〃?>(),----=")、<o,所以故C正確；

bb+mb［b+m)bb+m

對于D選項(xiàng)，若一1<。<5,2<b<3,貝1］一3<—6<—2,

根據(jù)不等式性質(zhì)得到故D正確.

故選：CD.

10.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10個用戶的滿意度評分，評分用區(qū)

間［0,10］內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下:

7,8,9,7,5,4,10,9,4,7.則下列說法正確的是()

A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為6

C.這組數(shù)據(jù)的極差為6D.這組數(shù)據(jù)的方差為40

【正確答案】ABC

【分析】對于A,根據(jù)眾數(shù)定義判斷即可；對于B,根據(jù)百分位數(shù)定義判斷即可；對于C,

根據(jù)極差定義判斷即可；對于D,根據(jù)方差定義判斷即可.

【詳解】由題知，這組數(shù)從小到大排列為4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7,故A正確；

因?yàn)?0x0.3=3,

所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為與=6,故B正確；

這組數(shù)據(jù)的極差為10-4=6,故C正確;

因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5(4+4+5+7+7+7+8+9+9+10)=7；

所以這組數(shù)據(jù)的方差為\(9+9+4+0+0+0+1+4+4+9)=4,故D錯誤;

故選：ABC

11.一個口袋中有除顏色外完全相同的2個紅球和3個白球，從中取岀2個球，則()

A.若不放回地抽取，貝片取出2個紅球”和“取岀2個白球”是對立事件

B.若不放回地抽取，則第2次取到紅球的概率與第1次取到紅球的概率相等

C.若有放回地抽取，則取出1個紅球和1個白球的概率是微

D.若有放回地抽取，則至少取出一個紅球的概率是居

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)對立事件的概念判斷A選項(xiàng)即可；結(jié)合古典概型，列舉基本事件，分別求對

應(yīng)的概率即可判斷BCD.

【詳解】由題知，不放回地抽取2個球包括2個都是紅球、2個都是白球和1個紅球1個白

球，共3種情況，

所以“取出2個紅球”和“取出2個白球”是互斥事件，但不是對立事件，故A錯誤；

記2個紅球分別為〃,匕，3個白球分別為1,2,3,

不放回地從中取2個球的樣本空間

Ci={ab,al,a2,di,ba,bl,b2,63,la,16」2,13,2a,2b,21,23,3a,3b,31,32}共20

種，

記事件A為“第1次取到紅球”，事件8為“第2次取到紅球”，

則A=[ab,al,a2,a3,ba,bl,b2,b3},B={ab,ba,\a,\b,2a,2b,3a,3Z?1,

所以P(A)=P(B),故B正確;

有放回地從中取2個球的樣本空間

C,={aa,ab,al,a2,a3,bb,ba,b],b2,b3,la,IZ>,11,12,13,2a,2Z>,21,22,23,3a,3/7,31,32,33),共25

種；

記事件C為“取出1個紅球和1個白球”，貝ij

C={al,a2,di,bl,b2,b3,la,\b,2a,2b,3a,3b},共12種，

12

所以P(C)崎,故C錯誤;

記事件。為“取出2個白球“，則￡>={11,12,13,21,22,23,31,32,33},共9種；

9

所以P(O)=不，

916

所以至少取岀1個紅球的概率為1-石=石，故D正確.

故選：BD

12.已知函數(shù)/(x)=e'+x—2,g(x)=lnx+x—2,且〃a)=g0)=O,則下列結(jié)論正確的

是()

A.a+b=2B.g(tz)<O</(Z?)

C.efl+InZ?<2D.efl+InZ?>2

【正確答案】AB

【分析】對于A：利用片e,與y=lnx互為反函數(shù)的性質(zhì)即可求解；對于B：利用〃x),g(x)

的單調(diào)性即可求解；對于CD：由題得〃a)=e“+a—2=0,g(3=lnb+b—2=0,貝ij

e"+lnb=4-(a+/?)=2.

【詳解】對于A：由/(x)=e*+x-2=0,g(x)=lnx+x-2=0

得：ev=-x+2<\nx=-x+2,

則y=e*和y=Inx與y=-x+2都相交，

又丫=小與y=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱，

(y=x.,[x=1

由,「，解得1，

[y=-x+2[y=l

即尸e*和y=lnx與y=-x+2的交點(diǎn)關(guān)于(1,1)對稱，

所以審=1,即。+6=2.故A正確；

對于B：函數(shù)/(x),g(x)都是增函數(shù)，

因?yàn)?(0)=，+0-2=-1<0,/(l)=e'+l-2=e-l>0,

所以在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即

因?yàn)間⑴=lnl+l—2=—1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,

所以在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，即1<匕<2；

所以。<匕,所以g(a)<g(b)=O,/(a)=0</(/?),

所以g(a)<0</?.故B正確；,

對于CD：由A知，a+b=2

因?yàn)?a)=e"+a—2=0,g(b)=\nb+b-2=0,

所以e"+lnb=4—(a+/j)=2,

故CD錯誤.

故選：AB.

方法點(diǎn)睛：(1)兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖象關(guān)于y=x對稱，若兩個函數(shù)與其他直

線都相交，設(shè)為A3,則其他直線與N=x的交點(diǎn)即為的中心對稱點(diǎn)；(2)根據(jù)零點(diǎn)存

在性定理可以確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，根據(jù)區(qū)間的范圍可以間接求出函數(shù)的范圍.

三、填空題

13.已知暴函數(shù)f(x)=(*+3/+l)x"'在第一象限單調(diào)遞減，則，(附=

【正確答案】

m2+3m+l=}?_“一,

【分析】根據(jù)題意得加〈°,即可解決

【詳解】由題知，黑函數(shù),3=(加+3加+1卜'"在第一象限單調(diào)遞減,

2

m+3m+1=1,,人，?

所以,解得加=0(舍去)，或相=一3,

m<0

所以Ax”/

所以〃-3)=$

AMx--1

27

14.已知點(diǎn)M在直線8c上，點(diǎn)A在直線BC外，若kB+AC|=|AB-AC\,且關(guān)=4,

|AC|=2,則IAMI的最小值為.

【正確答案】正

5

【分析】根據(jù)條件可得出ABAC=Q從而得出A31HC,進(jìn)而得出BC,根據(jù)題意知，當(dāng)

4W丄8c時，AM最小，從而得出可得出的最小值.

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)4W丄8c時，,加|最??；

由向+閭屮8-4。，

-2-2..2.2

:.AB'+AC+2ABAC=AB'+AC-2AB-AC>

/.AB-AC=O，即AB-ZAC,

二旳=,網(wǎng)2+=A/42+22=2后，

.?.當(dāng)4W丄BC時，由面積法得26KM=2x4，,"卜竽，

所以|AM|的最小值為竽.

故任

5

15.己知函數(shù)〃x)=ln(a?_2x+2),若“力在區(qū)間(一雙；)內(nèi)單調(diào)遞減，則。的取值范圍

是.

【正確答案】0Wa42

【分析】設(shè)g(x)=or2-2x+2,由題得g(x)=ay2-2x+2在區(qū)間(-8,；)上為減函數(shù)，且

g(x)>0在區(qū)間(-8,；)上恒成立，分。=0,a<0,“>0三種情況討論即可解決.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=ln(加-2x+2)在區(qū)間,00,；)內(nèi)單調(diào)遞減，

設(shè)g(x)=?2-2x+2,

所以g(x)=?x2_2A+2在區(qū)間,8,；)上為減函數(shù)，且g(x)>0在區(qū)間18，)上恒成立，

當(dāng)。=0時，g(x)=-2x+2,滿足題意;

當(dāng)a<0時，g(x)=^2-2x+2,開口向下，在區(qū)間18,；)上不為減函數(shù)，不滿足題意;

當(dāng)。>0時，g(x)=ax^-2x+2,

>0

所以￡+120,解得0<a<2；

4

-21

--->—

[2a~2

所以綜上可得0K〃K2.

故0工。42

四、雙空題

16.已知函數(shù)/(%)=(1,若函數(shù)g(x)=/(x)-7；有4個零點(diǎn)為，巧，七，

--x--x+l,x<02

匕，則用+占+毛+七=；若關(guān)于X的方程f2(x)-1j(x)+a=0(aeR)有8個

不相等的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是.

【正確答案】-2磊)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)/(x)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性,

即可求解占+々+匕+匕的值，再令令〃x)=f,根據(jù)尸(x)_|f(x)+a=0有8個不等的實(shí)

數(shù)根，轉(zhuǎn)化為「-|f+"=0在止(1，2)有2個不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列岀不

等式組，即可求解.

』T,x>0

【詳解】由題意，函數(shù)12，

—x~—x+1,x40

L4

根函數(shù)的圖象變換，函數(shù)/(x)=』T的圖象關(guān)于x=l對稱，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f(x)=-；/-x+1的圖象關(guān)于x=-2對稱，

在坐標(biāo)系中作岀函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示,

3

函數(shù)g(x)=/(x)-5有4個零點(diǎn)為，巧，七，Z，

可得笑上=-2,上產(chǎn)=1,所以占+9+*3+匕=-2：

令〃x)=l,則方程r(x)-“(x)+4=O可化為/一｝+a=0,

因?yàn)槭?x)《/(x)+a=O有8個不等的實(shí)數(shù)根，

則方程/(x)=r必有4個實(shí)數(shù)根，所以1<f<2,

所以一一之+4=0在te(l,2)有2個不同的實(shí)數(shù)根，

令〃?)=/一|，+。，可得其對稱軸的方程為

1/5、2525n

h\—=------+Q<0

(4丿168

則滿足刈1)=1-5+”>0，解得］

〃(2)=4-5+a>0

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是弓3,言25).

216

五、解答題

17.平面內(nèi)給定三個向量。=(3,2),6=(-1,2),c=(4,l).

⑴若(a+砌〃,-2a),求實(shí)數(shù)出;

(2)若d滿足(d-c)〃(a+6),且口-。卜石，求d的坐標(biāo).

【正確答案】(1))=8

(2)d=(3,—l)或d=(5,3)

【分析】(1)根據(jù)題意得。+氏匸0+北2+左)，6-24=(-7,-2),由平行向量的坐標(biāo)表示

即可解決；

(2)設(shè)d=(x,y),得d-c=(x-4,y—l),”+。=(2,4),根據(jù)題意列方程組即可解決.

【詳解】(1)因?yàn)椤?(3,2),^=(-1,2),c=(4,l),

所以a+A;c=(3+4A:,2+4),=(-7,-2),

因?yàn)?a+Zc)//(/?-2a),

所以(—2)x(3+4&)—(—7)x(2+&)=0,

解得k=8；

(2)設(shè)d=(x,y),則d-c=(x-4j-l),a+〃=(2,4),

因?yàn)?d_C)//(“+8),卜_。卜石,

4(x-4)-2(y-l)=0

所以＜

(x-4)2+(y-l)2=5

'=：或x=5

解得

y=-iy=3'

所以d=(3,—1)或d=(5,3).

18.期末考試結(jié)束后，某校從高一1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計他們數(shù)學(xué)成績，

成績?nèi)拷橛?5分到145分之間，將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成八組：第一組［65,75),第二

組［75,85),L,第八組［135,145］.如圖是按上述分組方法得到的頻率分?jǐn)?shù)分布直方圖的一部

分.

（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的1000名學(xué)生這次考試成績的平均分；

（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對值

大于10分的概率.

【正確答案】（1）0.080

⑵102（分）

【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1求解即可；

（2）根據(jù)還￡＞也求解即可；

/=1

（3）由頻率分布直方圖知樣本成績屬于第六組的有0.006x10x50=3（人），設(shè)為A,8,C,樣

本成績屬于第八組的有。.004x10x50=2（人），設(shè)為“，b,再用列舉法求解即可.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：

1-（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）*10=0.080；

（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的1000名學(xué)生這次考試成績的平均分為：

70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10

+110x0.020x10+120x0.006x10+130x0.008x10+140x0.004x10=102（分）：

（3）由頻率分布直方圖知，

樣本成績屬于第六組的有0006x10x50=3（人），設(shè)為

樣本成績屬于第八組的有0.004*10x50=2（人），設(shè)為。，h,

從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，有

{A,B},{A,C},{C,B},{A,a},{A,b},

{B,a},{B,b},{C,a},{C,b\,{a,印共10種,

其中他們的分差得絕對值大于10分包含的基本事件有

{A,a},{A,b},{B,a},

{B,b},{C,a},{C力}共6種,

所以他們的分差的絕對值大于10分的概率P=K=|?

19.已知函數(shù)f(x)=log2(x+l),g(x)=log2(l-x).

⑴求函數(shù)力(力=/0)-8(%)的定義域；

⑵若不等式力(力>log?干%在H上恒成立，求實(shí)數(shù)加取值范圍?

(l-x)x162J

【正確答案】⑴㈠,1)

7

(2)0<m<—

36

/、/\7Xfx+l>0

【分析】(1)由〃(X)=10g2(X+l)-bg2(l-X),得?八，即可解決；

I1—X>()

/、x+1m「1/

(2)由函數(shù))，二唾2%在(0,+巧上單調(diào)遞增，得匸^不在[不小上恒成立，即

Ocwvd+x在上恒成立，即可解決.

O2

【詳解】(1)因?yàn)椤?)=log2為+1)，g(x)=log2(l-x),

V--I-1

所以/?(%)=log(x+l)-log(l-x)=log-——，

222[―X

[x+\>0

所以函數(shù)定義域滿足〈八，解得-1VXV1,

l-x>0

所以函數(shù)M6=〃x)-g(x)的定義域?yàn)?一口).

v-_LI

(2)因?yàn)镸x)=log2,-

所以g)>1嗚產(chǎn)正即bg2H>咋2G'

因?yàn)楹瘮?shù)y=iog2”在(o,+8)上單調(diào)遞增,

x+1m「11-

所以匚在上恒成立'

又因?yàn)?1-x)x>0,

所以0<7"<X2+X,

又函數(shù)y=d+x=(x+gj-；在［，；上單調(diào)遞增，

所以(f+x)=(,

\/m,n36

7

則0<相<——.

36

20.某校團(tuán)委舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程''知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均

須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手

甲、乙勝出的概率分別為m，=，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為各，；?甲、

5452

乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.

(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？

(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.

【正確答案】(1)派乙參賽贏得比賽的概率更大

【分析】(1)記事件4表示“甲在第一輪比賽中勝出“，事件4表示“甲在第二輪比賽中勝出”,

事件耳表示“乙在第一輪比賽中勝出“，事件與表示“乙在第二輪比賽中勝岀”，由A4表示

“甲贏得比賽”，B島表示“乙贏得比賽”求解即可；

⑵記C表示“甲贏得比賽”，￡>表示“乙贏得比賽”由(1)知咽吟，哂)=｝由

表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，且P(CO)=l-P(而)求解即可.

【詳解】(1)記事件A表示“甲在第一輪比賽中勝出“，事件4表示“甲在第二輪比賽中勝出”,

事件與表示“乙在第一輪比賽中勝出“，事件與表示“乙在第二輪比賽中勝出”，

所以A4表示“甲贏得比賽”，P(A4)=尸(A)P(4)=gx,=卷，

314

瓦生表示“乙贏得比賽”，P(BB)=P(B,)P(B)=-X-=^,

122428

93

因?yàn)橛X<6,所以派乙參賽贏得比賽的概率更大；

25o

(2)記C表示“甲贏得比賽”，。表示“乙贏得比賽”

由⑴知尸冋=I-P(A4)=I-?||,P(D)=I-P(BIB2)=I-1=|,

4J。O

所以CuO表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，

所以尸(Cu￡>)=l—P(而)=1一戶母)P(萬)=1一￡x|=3

5

3

所以兩人至少一人贏得比賽的概率為不

21.已知函數(shù)/(6=*-2*+4,g(x)=ov+5-a.

⑴若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-3,0］上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑵若對任意的看武-3,3］,總存在94-3,3］,使得/(xj=g值)成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【正確答案】⑴卜15,0］

(2)(-<?,-6］U［10,+<X>)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)“X)在［-3,0］上單調(diào)遞減，由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-3,0］上存在零

點(diǎn)，得J；(O)=a<0即可解決；(2)記函數(shù)〃同=/-2》+*x?-3,3］的值域?yàn)榧?/p>

A,g(x)=ax+5-a,xe［-3,3］的值域?yàn)榧?,則對任意的芯e［-3,3］,總存在毛e［-3,3］,

使得/($)=g(占)成立oAuB,XA={y|a-l<y<a+15},g(x)的值域分a=0,?>(),

。<0求解，即可解決.

【詳解】(1)由題知，/(x)=x2-2x+a,

因?yàn)閥=〃x)的圖象開口向上，對稱軸為x=l,

所以函數(shù)/(力在［-3,0］上單調(diào)遞減

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在區(qū)間［-3,0］上存在零點(diǎn)，

/(-3)=15+<z>0

所以〃。)=公。’解得?，

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為[-15,0].

(2)記函數(shù)”x)=x2-2x+a,xe[-3,3]的值域?yàn)榧螦,

g(x)=av+5-a,xe[-3,3]的值域?yàn)榧?,

則對任意的3W—3,3],總存在々€[—3,3],使得〃%)=g(%)成立oAuB,

因?yàn)榈膱D象開口向上，對稱軸為x=i,

所以當(dāng)3,3],

=〃l)=aT，"“Lx=/(-3)=?+15,

得A={y|a-14y4a+15},

當(dāng)a=0時，g(x)的值域?yàn)閧5},顯然不滿足題意;

當(dāng)a>0時，g(x)的值域?yàn)?={y|5-4aVy45+24,

因?yàn)?,

5-4a<a-\

所以,解得。210；

54-2a>?+15

當(dāng)a<0時，g(x)的值域?yàn)?={)“5+