備考中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講精練第7講 二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）（考點(diǎn)精析+真題精講）（含答案與解析）

第第頁【淘寶店鋪：向陽百分百】第七講二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式考向二二次函數(shù)圖像的翻折第七講二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）二次函數(shù)是非常重要的函數(shù),年年都會考查,總分值為18~20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會考,它經(jīng)常以一個(gè)壓軸題獨(dú)立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查.→?考點(diǎn)精析←1、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：2、圖象的平移：將二次函數(shù)y=ax2(a≠0）的圖象進(jìn)行平移，可得到y(tǒng)=ax2＋c，y=a(x－h(huán))2，y=a(x－h(huán))2＋k的圖象．⑴將y=ax2的圖象向上(c＞0）或向下(c<0）平移|c|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=ax2＋c的圖象．其頂點(diǎn)是（0,c）形狀、對稱軸、開口方向與拋物線y=ax2相同．⑵將y=ax2的圖象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2的圖象．其頂點(diǎn)是（h，0），對稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同．⑶將y=ax2的圖象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|個(gè)單位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k的圖象，其頂點(diǎn)是（h，k），對稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同．記住規(guī)律：左加右減，上加下減→?真題精講←考向一待定系數(shù)法求解析式1．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．，兩點(diǎn)之間的距離為 D．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大2．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于點(diǎn)，．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②是方程的一個(gè)解；③若，是拋物線上的兩點(diǎn)，則；④對于拋物線，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)，（，是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應(yīng)取值如下表所示：…0123……11…(1)若，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?3)若在m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求的取值范圍．4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)時(shí)，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．6．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)求證：．考向二二次函數(shù)圖像的平移（翻折）7．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．8．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)請求出拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7講二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）№考向解讀第7講二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第三章函數(shù)第七講二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式考向二二次函數(shù)圖像的翻折第七講二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）二次函數(shù)是非常重要的函數(shù),年年都會考查,總分值為18~20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會考,它經(jīng)常以一個(gè)壓軸題獨(dú)立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查.→?考點(diǎn)精析←1、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：2、圖象的平移：將二次函數(shù)y=ax2(a≠0）的圖象進(jìn)行平移，可得到y(tǒng)=ax2＋c，y=a(x－h(huán))2，y=a(x－h(huán))2＋k的圖象．⑴將y=ax2的圖象向上(c＞0）或向下(c<0）平移|c|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=ax2＋c的圖象．其頂點(diǎn)是（0,c）形狀、對稱軸、開口方向與拋物線y=ax2相同．⑵將y=ax2的圖象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2的圖象．其頂點(diǎn)是（h，0），對稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同．⑶將y=ax2的圖象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|個(gè)單位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k的圖象，其頂點(diǎn)是（h，k），對稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同．記住規(guī)律：左加右減，上加下減→?真題精講←考向一待定系數(shù)法求解析式1．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．，兩點(diǎn)之間的距離為 D．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大【答案】C【分析】待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，∴∴∴二次函數(shù)解析式為，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A，B選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小，故D選項(xiàng)不正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即∴，∴，故C選項(xiàng)正確，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于點(diǎn)，．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②是方程的一個(gè)解；③若，是拋物線上的兩點(diǎn)，則；④對于拋物線，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象直接判斷①②，根據(jù)題意求得解析式，進(jìn)而得出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形即可判斷③，化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可判斷④，即可求解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象，可得當(dāng)時(shí)，，故①正確；∵在上，∴是方程的一個(gè)解；故②正確；∵，在拋物線上，∴解得：∴當(dāng)時(shí)，解得：∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴若，是拋物線上的兩點(diǎn)，則；故③正確；∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對于拋物線，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故④錯誤．故正確的有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)，（，是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應(yīng)取值如下表所示：…0123……11…(1)若，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?3)若在m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減小；(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可．（2）利用拋物線的對稱性質(zhì)求得拋物線的對稱軸為直線；再根據(jù)拋物線的增減性求解即可．（3）先把代入，得，從而得，再求出，，，從而得，然后m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，得，求解即可．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴．（2）解：∵，在圖象上，∴拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減小．（3）解：把代入，得，∴∴把代入得，，把代入得，，把代入得，，∴，∵m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)，解不等式組，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解析的關(guān)鍵．4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)①；②當(dāng)時(shí)，；(2)【分析】（1）①將代入解析式，化為頂點(diǎn)式，即可求解；②已知頂點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得出當(dāng)時(shí)，有最大值7，當(dāng)時(shí)取得最小值，即可求解；（2）根據(jù)題意時(shí)，的最大值為2；時(shí)，的最大值為3，得出拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，即，由拋物線開口向下，時(shí)，的最大值為2，可知，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為3，求出，即可得解．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為．拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，有最大值7．又∴當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值；∴當(dāng)時(shí)，．（2）∵時(shí)，的最大值為2；時(shí)，的最大值為3，∴拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，∴，∵拋物線開口向下，時(shí)，的最大值為2，∴，又∵，∴，∵，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)時(shí)，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）把代入函數(shù)解析式求解的值，再利用函數(shù)圖象可得時(shí)的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．∴，解得：，∴拋物線為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）當(dāng)時(shí)，，∴解得：，，

如圖，當(dāng)時(shí)，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象法解不等式，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．6．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)求證：．【答案】(1)；(2)；(3)見解析【分析】（1）由可得圖像過點(diǎn)和，然后代入解析式解方程組即可解答；（2）先確定函數(shù)圖像的對稱軸為直線，則拋物線過點(diǎn)，即，然后再結(jié)合即可解答；（3）根據(jù)圖像的對稱性得，即，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；將點(diǎn)和分別代入表達(dá)式并進(jìn)行運(yùn)算可得；則，進(jìn)而得到，然后化簡變形即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，圖像過點(diǎn)和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函數(shù)圖像過點(diǎn)和，∴函數(shù)圖像的對稱軸為直線．∵圖像過點(diǎn)，∴根據(jù)圖像的對稱性得．∵，∴．（3）解：∵圖像過點(diǎn)和，∴根據(jù)圖像的對稱性得．∴，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．將點(diǎn)和分別代人表達(dá)式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性、解不等式等知識點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的對稱性是解答本題的關(guān)鍵．考向二二次函數(shù)圖像的平移（翻折）7．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個(gè)單位，得到，對稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得：綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．【答案】(1)0；(2)①②【分析】（1）根據(jù)，且時(shí)，總有，變形后即可得到結(jié)論；（2）按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由題可知：

時(shí)，總有，．則，∴，∴總成立，且，；（2）①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．

（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍），綜上，，②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．

（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或0（舍）．

綜上，如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F在線段的垂直平分線上．

令，解得，，，，設(shè)，，，，，，即，．，即，，【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)請求出拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入，求出即可；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，證明可得故可得，；（3）先求得拋物線的解析式為，得出，，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義可得，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴把代入，得，解得，∴解析式為：；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，

∴∵四邊形是正方形，∴∴∴又∴∴∵∴∴∴；同理可證明：∴∴∴；（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使得．，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得：，直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，則，，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∵，，，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，；，，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，；綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系