2021-2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合倍角公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求出結(jié)果.【詳解】，故選：A.2．已知角終邊在第一象限，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得答案.【詳解】由題意，在第一象限，則，所以.故選：C.3．已知函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個交點(diǎn)的距離為，則的圖像的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出，再列出方程可求解.【詳解】由函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個交點(diǎn)的距離為，則有的周期，解得，于是得，所以的圖像的對稱中心橫坐標(biāo)方程滿足，（），解得，（）,可知為其一個對稱中心.故選：C4．設(shè)，令，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用該函數(shù)為偶函數(shù)結(jié)合誘導(dǎo)公式,將給的函數(shù)值轉(zhuǎn)為區(qū)間上的函數(shù)值,再利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】，故函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故，故選：D5．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，點(diǎn)是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，計算出，分析可知當(dāng)點(diǎn)在線段上時，在方向上的射影取最大值，結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，在方向上的射影取最大值，且，則，所以，，故的最大值為.故選：C.6．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)降冪公式，先得到，化簡整理，再由正弦定理，得到，推出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，即．由正弦定理得：．在中，，從而有，即．在中，，所以．由此得，故為直角三角形.故選：B.7．若，，且，，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)兩角和的余弦公式展開，然后結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得答案.【詳解】，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，則.故選：B.8．已知函數(shù)在上有且只有4個零點(diǎn)，則取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的范圍，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，，∴，解得．故選：B．二、多選題9．已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)逐一判斷選項即可【詳解】，故A正確；可得，則，故B正確表示與共線的向量，表示與共線的向量，故C錯誤對于D選項，當(dāng)均與垂直時，此時，但與不一定相等，故D錯誤故選：AB10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若把函數(shù)的圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D．若把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)【答案】AC【分析】由圖，先求得函數(shù)的周期，得到，再代入最高點(diǎn)可得，進(jìn)而求得，再結(jié)合三角函數(shù)圖象伸縮平移與函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可【詳解】對A，由圖，，則，故，所以，又，即，所以，即，因為，故，所以，故A正確；對B，把函數(shù)的圖像向左平移個單位可得為奇函數(shù)，故B錯誤；對C，當(dāng)時，為的對稱軸，故C正確；對D，把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到，當(dāng)時，不為的增區(qū)間，故D錯誤；故選：AC11．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若是銳角三角形，恒成立C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，，則是等邊三角形【答案】ACD【分析】由正弦定理可以判斷A；借助誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性可以判斷B；作出示意圖判斷C；根據(jù)余弦定理可以判斷D.【詳解】對A，由正弦定理可知，正確；對B，因為三角形為銳角三角形，所以，則，B錯誤；對C，如示意圖，點(diǎn)A在射線上，，易得，則，即符合條件的三角形有2個，正確；對D，由余弦定理可知，，而，即該三角形為正三角形，正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中，正確的有（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱B．的最小正周期為C．在上單調(diào)遞增D．的值域為【答案】ACD【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷【詳解】對于A，由題意得，所以是偶函數(shù)，故A正確，對于B，，的最小正周期為，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，此時，在上單調(diào)遞增，故C正確，對于D，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由周期性得，的值域為，故D正確，故選：ACD三、填空題13．已知，，則______．【答案】【分析】利用二倍角公式、兩角差的正弦公式化簡已知條件，由此求得的值，平方可得，兩邊平方結(jié)合再開方可得答案.【詳解】，，化為，，，且，所以，，由，可得.故答案為：.14．在中，是邊上的一點(diǎn)，，，，則______．【答案】6【分析】用和表示,然后利用數(shù)量積公式計算可得答案.【詳解】,則故答案為：615．已知函數(shù)，若對任意恒成立，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______．【答案】【分析】由題意可得函數(shù)在處取得最值，進(jìn)而求出，然后求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在處取得最值，則，即.令，解得函數(shù)的增區(qū)間為.故答案為：.四、雙空題16．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，且為鈍角，則______，的取值范圍是______．【答案】

【分析】先通過正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求得；再將化為，然后展開并結(jié)合二倍角公式求出答案.【詳解】由已知，，∴，∵,∴，∵，∴，．∵，，，∴，∴，即，所以，故的取值范圍是．五、解答題17．已知向量，，．(1)求向量在向量上投影的數(shù)量．(2)求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所給的條件計算出，再按照向量投影的定義計算即可；（2）將原三角代數(shù)式轉(zhuǎn)化為有關(guān)的計算即可.【詳解】(1)∵，∴，則，，向量在向量上投影的數(shù)量為；(2).18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點(diǎn)，射線繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)為．(1)求函數(shù)的解析式，并求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由三角函數(shù)的定義即可求出，進(jìn)而求得；（2）根據(jù)題意，，進(jìn)而通過兩角和的余弦公式求得答案..【詳解】(1)因為，所以，由三角函數(shù)定義，得，所以.(2)，，所以，，，所以.19．從①；②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答（注：若選擇多個條件，按第一個解答計分）在中，，，分別是角，，的對邊，若______．(1)求角的大??；(2)若為中點(diǎn)，，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：利用正弦定理和三角公式得到，再求出，即可得到；選②：利用正弦定理和余弦定理得到，再由，求出；選③：利用正弦定理和三角公式得到，再由，求出.（2）利用向量中線公式得到，兩邊平方得到，再利用基本不等式求出，即可求出的面積的最大值．【詳解】(1)選①：由正弦定理，可化為：.又∵，∴，∴∴即.∵，∴，∴，即.∵，∴，故，選②∵及，∴，所以.由余弦定理得：.∵，∴選③∵及∴又∵∴∴∴，即.∵，∴.所以.∵，∴.(2)為中線，，，兩邊平方，有，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），∴.∴20．如圖有一塊半徑為4，圓心角為的扇形鐵皮，是圓弧上一點(diǎn)（不包括，），點(diǎn)，分別半徑，上．(1)若四邊形為矩形，求其面積最大值；(2)若和均為直角三角形，求它們面積之和的取值范圍．【答案】(1)8；(2).【分析】(1)連接OP，令，用表示出矩形的面積，再借助三角函數(shù)計算作答.(2)利用(1)中信息，用表示出和的面積和，再換元變形結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算作答.【詳解】(1)連接OP，如圖，令，因四邊形為矩形，則，于是得矩形的面積，而，則當(dāng)，即時，取最大值1，即有，所以矩形面積最大值為8.(2)由(1)知，，則，，和的面積和：，令，即，而，則，，則，顯然在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，，而，因此，，所以和的面積和的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及圖形上的點(diǎn)變化引起的線段長度、圖形面積等問題，若點(diǎn)的運(yùn)動與某角的變化相關(guān)，可以設(shè)此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.21．如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的長；（2）由已知可得出，結(jié)合三角形的面積公式以及已知條件可求得、的長，利用余弦定理可求得的長，進(jìn)而可求得的長，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)解：，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.(2)解：由得，所以，因為，，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以，.22．設(shè)函數(shù)(1)若，，求角；(2)若不等式對任意時恒成立，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件：(3)將函數(shù)的圖像向左平移個單位，然后保持圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖像，若存在非零常數(shù)，對任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)(3)當(dāng)時，（且）；當(dāng)時，，【分析】（1）先化簡，由可得或，，再結(jié)合的范圍即可求解；（2）由余弦函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)分離、對勾函數(shù)的單調(diào)性,