武漢市江漢區(qū)2023年高三《數(shù)學》上學期開學檢測與參考答案

武漢市江漢區(qū)2023年高三《數(shù)學》上學期開學檢測與參考答案一?選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.[－5，－3） B. C.（－5，－3] D.【答案】A【分析】解不等式確定集合，然后由交集的定義計算．【詳解】或，∴故選：A．2.在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】先求出復數(shù)z，再求z的共軛復數(shù)，即可判斷.【詳解】.所以復數(shù)z的共軛復數(shù)，對應(yīng)的點在第四象限.故選：D3.某校高三數(shù)學備課組老師的年齡（單位：歲）分別為：28，29，42，32，41，56，45，48，55，59，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）A.54.5 B.55 C.55.5 D.56【答案】C【分析】由百分位數(shù)的定義計算．【詳解】這10個數(shù)按從小到大順序排列為：28，29，32，41，42，45，48，55，56，59，，第8個數(shù)是55，第9個數(shù)是56，因此第80百分位數(shù)為．故選：C．4.若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【分析】利用二項式展開式的第項公式，即可解出答案.【詳解】二項式展開式的第項為.又展開式中的系數(shù)是84，即.所以，解得故選：B.5.若函數(shù)在點（1，f（1））處的切線的斜率為1，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由導數(shù)幾何意義得，然后由基本不等式得最小值．【詳解】由已知，所以，，當且僅當時等號成立．故選：A．6.2022年7月，臺風“暹芭”登陸我國.某興趣小組為了解臺風“暹芭”對本市降雨量的影響，在下雨時，用一個圓臺形的容器接雨水.已知該容器上底直徑為56cm，下底直徑為24cm，容器深18cm，若容器中積水深9cm，則平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于容器中積水體積除以容器的上底面積）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【答案】B【分析】由題可知積水深度恰為容器高度一半，根據(jù)比例可知積水上底直徑，代入圓臺體積公式可求得積水體積，進而求出平地降雨量.【詳解】根據(jù)題意可得，容器下底面面積為，上底面面積為,因為容器中積水高度為容器高度的，則積水上底面恰為容器的中截面，所以積水上底直徑為cm，積水上底面面積為，所以積水體積為，則平地降雨量是cm.故選：B.7.已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與交于A，B兩點.若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由已知條件以及橢圓的定義,將,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【詳解】設(shè),則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C8.若，其中，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由題知，進而根據(jù)得，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性得，即，進而得答案.【詳解】解：因為，其中，，所以，其中，，令，，故時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時等號成立，所以，所以故令，則等價于，因為，故函數(shù)在單調(diào)遞增，所以等價于，即所以，即故選：D二?多選題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如圖，已知正方體，分別是，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C.平面 D.平面【答案】AC【分析】連接，由線面垂直的判定定理可證明平面，進而可判斷A，B；由線面平行的判定定理可判斷C；先假設(shè)平面，則，進而，從而可判斷D【詳解】連接，如圖：由正方體可知，因為平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確，B錯誤；由題意知為的中位線，所以，又,所以又平面，平面，所以平面，故C正確；若平面，BD1在平面BDD1B1中，則，進而，在中易知與不垂直，故D錯誤；故選：AC10.若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【分析】當時，由得，，當時，由得，，可判斷AD；由得，且與同號，即可判斷BC.【詳解】由得，當時，由得，即，可得，當時，由得，即，所以，故AD正確；.由得，且與同號，即，所以與異號，即與同號，由得，故B錯誤；故C正確；故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)，若在[0，2π]有且僅有5個零點，則（）A.在（0，2π）有且僅有3個極大值點 B.在（0，2π）有且僅有2個極小值點C.在（0，）單調(diào)遞增 D.的取值范圍是[，）【答案】AD【分析】由求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得的范圍，判斷D，利用正弦函數(shù)的極大值、極小值判斷ABC．【詳解】，時，，在[0，2π]有且僅有5個零點，則，，D正確；此時，，時，取得極大值，A正確；，，即時，時，均取得極小值，B錯；時，，，則，因此在上不遞增，C錯．故選：AD．12.已知數(shù)列滿足：，，下列說法正確的是（）A.，成等差數(shù)列 B.C. D.，一定不成等比數(shù)列【答案】BCD【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合數(shù)列單調(diào)性與得，可判斷B選項；由遞推關(guān)系式易得，進而可判斷A選項；根據(jù)數(shù)列單調(diào)性得，進而可得判斷C；利用反證法先假設(shè)，成等比數(shù)列，推出之間的公比為，結(jié)合可以得到成等比數(shù)列，與矛盾，故假設(shè)不成立，可判斷D【詳解】解：因為，所以，且，所以①，所以②所以，②-①整理得：因為，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，故B選項正確；對于A選項，若，成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，由遞推關(guān)系得，顯然不滿足等差數(shù)列，故A選項錯誤；對于C選項，因為，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，所以，因為，所以所以，從第2項起，數(shù)列介于以為首項，公比分別為和為公比的等比數(shù)列對應(yīng)項之間，所以，故C選項正確；對于D選項，假設(shè)，成等比數(shù)列，設(shè)之間的公比為，由可得即，因為，所以，解得，因為為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，由可得，即整理得，所以成等比數(shù)列，所以以此類推能得到成等比數(shù)列，與矛盾，故假設(shè)不成立，故D正確；故選：BCD三?填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，，則___________.【答案】【分析】先由求得t，再利用向量的數(shù)量積運算求解.【詳解】，∴，∴，∴.故答案為：-214.寫出一條同時滿足下列條件①②的直線l：___________.①經(jīng)過點（，1）；②與雙曲線有且只有一個公共點.【答案】，或，或（只需答其中之一即可）【分析】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程后，方程只有一解或有兩個相等的實根，求得值即得直線方程．【詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程得，，，此時直線方程為或，即，或，時，，，此時直線方程為，即．故答案為：，或，或（只需答其中之一即可）15.一電器商城出售的某種家電產(chǎn)品來自甲?乙?丙三家工廠，這三家工廠的產(chǎn)品比例為，且它們的產(chǎn)品合格率分別為96%，95%，98%，現(xiàn)從該商城的這種家電產(chǎn)品中隨機抽取一件，則取到的產(chǎn)品是合格品的概率為___________.【答案】0.96【分析】易知取到合格品的情況有三種，分別算出每一種合格品的概率即可.【詳解】由題意知，取到合格品的情況又三種：甲廠合格、乙廠合格、丙廠合格概率分別為所以渠道合格品的概率為故答案為：0.9616.已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【分析】由外接球表面積求出半徑，設(shè)球心到底面距離為，由三角函數(shù)關(guān)系解出底面三角形面積，由此可確定正三棱錐體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系.【詳解】因為，所以正三棱錐外接球半徑，正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為，過向底面作垂線垂足為，因為是正三棱錐，所以是的中心，所以，,又因為，所以，所以，令，解得所以在遞增，在遞減，故當時，取最大值，.故答案為：.四?解答題本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.記為數(shù)列{}的前項和，已知（1）證明：{}是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用與的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明；（2）利用等差數(shù)列通項公式與等比中項的性質(zhì)求出，從而得到，再結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】由已知①∴②由①-②，得即∴，且∴是以2為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，∵，，成等比數(shù)列，∴即，解得∴∴當且僅當，即時，的最小值為18.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.（1）若，求ABC的面積；（2）若，求ABC的周長.【答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理求得，再由三角形面積公式計算；（2）由同角關(guān)系化為正弦關(guān)系，由正弦定理化角為邊，再由余弦定理求得，得三角形周長．【小問1詳解】由余弦定理，得，即，解得（舍去），或由，得.【小問2詳解】由，得，即由正弦定理，得，即由余弦定理，得，解得，從而∴ABC的周長為．19.在直三棱柱中，已知側(cè)面為正方形，，D，E，F(xiàn)分別為AC，BC，的中點，.（1）證明：平面⊥平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】解：（1）由題設(shè)條件可知，∵四邊形為正方形∴∵E，F(xiàn)分別為BC，的中點∴∴又∵∴∴，又∵且∴平面，又BF平面，∴平面⊥平面.【小問2詳解】由(1)知，BF⊥平面，∴BF⊥AB∵D，E分別為AC，BC的中點，∴DE∥AB∴BF⊥AB，又且∴AB⊥平面∴AB⊥BC建立如圖空間直角坐標系B-xyz，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），F(xiàn)（0，2，1），（0，2，2），∴由(1)知，平面的一個法向量為設(shè)平面的法向量為，則由得，取設(shè)平面與平面夾角為θ，則故平面與平面夾角的余弦值為..20.為應(yīng)對氣候變化，我國計劃在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達峰值，2060年前實現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機抽取50家企業(yè)進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標”企業(yè)：硫排放量X[2.55.5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5.175）[175，20.5）[20.523.5）頻數(shù)56912864（1）假設(shè)該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，.試估計這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)；（2）通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標”企業(yè)，市政府決定對這8家“超標”企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計劃在這8家“超標”企業(yè)中任取5家先進行跟蹤調(diào)查，設(shè)Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望.（參考數(shù)據(jù)：若X~，則，，.）【答案】（1）51（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律以及計算公式求解即可；（2）Y的可能取值為1，2，3，4，再由超幾何分布概率的計算方法求出對應(yīng)的概率即可求解【小問1詳解】由已知，得，，所以因為所以這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)約為51.【小問2詳解】由頻數(shù)分布表可知，8家“超標”企業(yè)中碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)有4家，所以Y的可能取值為1，2，3，4，且所以Y的分布列為Y1234P所以21.已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為4，圓心的軌跡為曲線.（1）求的方程：（2）過點的直線與相交于兩點.設(shè)，若，求在軸上截距的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)圓的方程和勾股定理求解即可.（2）根據(jù)和（1）中求得的曲線方程聯(lián)立可得關(guān)于的直線方程，再分析截距的取值范圍即可.【小問1詳解】設(shè)，圓的半徑為，則整理，得所以的方程為.【小問2詳解】設(shè)，又，由，得由②，得，∵∴③聯(lián)立①?③解得，依題意有，又，∴直線l的方程為，或，當時，l在y軸上的截距為或，由，可知在上是遞減的，∴，∴直線l在y軸上截距的取值范圍為.22.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點.①求實數(shù)a的取值范圍；②求證：.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）（2）①（－，0）；②證明見解析【分析】（1）由出導函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）①由有兩個不等的實根，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)圖象有兩個交點，由導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性、極值、取值范圍后可得的范圍；②不妨設(shè)是的兩個極值點，且，由①可知，得出的單調(diào)性，由且，放縮，只要證，此時達成了二元化一元的目的，然后引入新函數(shù)，利用導數(shù)證明即得．【小問1詳解】當時，，當時，，當時，單調(diào)遞增，且，時，，時，，所以時，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，1），遞增區(qū)間為（