河南省南陽市臥龍區(qū)第二十一學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

南陽市第二十一學(xué)校2023年秋第二次月考九年級數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30分．）1.下列各式計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由合并同類二次根式判斷A，B，由二次根式的乘除法判斷C，D．【詳解】解：A、原計(jì)算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；B、原計(jì)算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、正確，該選項(xiàng)符合題意；D、原計(jì)算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查合并同類二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方運(yùn)算，掌握以上知識是解題關(guān)鍵．2.方程x（x﹣6）＝x的根是（）A.x＝6 B.x1＝0，x2＝﹣7 C.x1＝0，x2＝7 D.x1＝0，x2＝6【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步驟是解題關(guān)鍵．3.如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡度i=1：，壩高BC為5m，則AB的長度為（）A.10m B.5m C.m D.m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意易得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：∵河壩橫斷面迎水坡AB的坡度i=1：，∴，∵壩高BC為5m，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡比是解題的關(guān)鍵．4.如圖是智慧小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率分布折線圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（）A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上B.投擲一個質(zhì)地均勻正六面體的骰子，出現(xiàn)2點(diǎn)朝上C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是梅花D.從裝有大小和質(zhì)地都相同的1個紅球和2個黑球的袋子中任取一球，取到的是紅球【答案】D【解析】【分析】利用折線統(tǒng)計(jì)圖可得出試驗(yàn)的頻率在0.33左右，然后對各選項(xiàng)逐一判斷．【詳解】解：A、拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面朝上的概率為0.5，不符合這一結(jié)果，不符合題意；B、擲一個正六面體的骰子，出現(xiàn)2點(diǎn)朝上的概率為，不符合這一結(jié)果，不符合題意；C、一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是梅花的概率為，不符合這一結(jié)果，不符合題意；D、從一個裝有1個紅球2個黑球袋子中任取一球，取到的是紅球的概率為，符合這一結(jié)果，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，正確求出各試驗(yàn)的概率是解題關(guān)鍵．5.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移規(guī)律．關(guān)鍵是確定平移前后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，尋找平移規(guī)律．6.如圖，已知，，，那么的長等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行線分線段成比例可求得的長，則由線段的差即可求得結(jié)果．【詳解】，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握此定理是關(guān)鍵．7.在函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)、、，則、、的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查比較二次函數(shù)函數(shù)值的大?。鶕?jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，∴圖象上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴；故選D．8.比較拋物線y=x2、y=2x2﹣1、y=0.5（x﹣1）2的共同點(diǎn)，其中說法正確的是（）A.頂點(diǎn)都是原點(diǎn) B.對稱軸都是y軸C.開口方向都向上 D.開口大小相同【答案】C【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,分別求出三個函數(shù)的相關(guān)特征即可.【詳解】①y=2x2﹣1、y=0.5（x﹣1）2頂點(diǎn)為（0，-1），（1,0），不是原點(diǎn)，A錯誤.②由①可得對稱軸都是y軸錯誤.③三個函數(shù)的系數(shù)均為正，所以開口方向都向上正確.④由于a大小不同,所以其開口大小不同.【點(diǎn)睛】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵.9.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=x2+a的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+1圖象得到字母系數(shù)正負(fù)，再與二次函數(shù)y=x2+a的圖象相比較，看是否一致．【詳解】A．由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，a＜0，由直線可知，a＜0，錯誤；B．由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上可知，a＞0，二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，與二次函數(shù)y=x2+a矛盾，錯誤；C．由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，a＜0，由直線可知，a＜0，正確；D．由直線可知，直線經(jīng)過（0，1），錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】正確理解一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.10.二次函數(shù)的部分圖象如圖，圖象過點(diǎn)對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，的取值范圍是；⑤，其中正確的結(jié)論序號為（）A.①②③ B.①③④ C.①③④⑤ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時（即），對稱軸在y軸的左邊；當(dāng)a與b異號時（即），對稱軸在y軸的右邊；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于；拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由決定，時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．詳解】解：①由圖象可得，∵∴，∴，故①正確；②∵拋物線的對稱軸為直線∴即，故②錯誤；③∵拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，∴，故③正確；④∵圖象過點(diǎn)對稱軸為直線，∴拋物線與x軸另一個交點(diǎn)為，由圖可知：時，x的取值范圍是，故④正確；⑤∵當(dāng)時，，∴，即故⑤錯誤；∴正確的有①③④，故選：B．二、填空題（本大題共5小題，共15分）11.若式子有意義，則x的取值范圍是___．【答案】且【解析】【詳解】∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x+1≥0，且x≠0，解得：x≥-1且x≠0，故答案為x≥-1且x≠0．12.一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣7x+12＝0的根，則該三角形的周長為_____．【答案】11【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到或，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊長為4，然后計(jì)算三角形的周長．【詳解】x2﹣7x+12＝0或解得或當(dāng)時，不符合題意當(dāng)時，周長為故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程一因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了三角形三邊的關(guān)系．13.寫出一個開口向下，且對稱軸在軸右側(cè)的拋物線的表達(dá)式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)中，時，拋物線開口向上，時，拋物線開口向下是解題的關(guān)鍵．由開口向下可知，由對稱軸在y軸右側(cè)可知a，b異號，據(jù)此寫出拋物線的解析式即可．【詳解】解：寫出一個開口向下，并且對稱軸在y軸右側(cè)的拋物線的解析式，例如：，故答案為：（答案不唯一）．14.已知二次函數(shù)，若，則的取值范圍為____．【答案】【解析】【分析】先利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得到y(tǒng)的最小值，然后再求得最大值即可．【詳解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10．

∴當(dāng)x=2時，y有最小值，最小值為-10．

∵，

∴當(dāng)x=6時，y有最大值，最大值為y=（6-2）2-10=6．

∴y的取值范圍為．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，P是邊AD上一動點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，當(dāng)△APD′是直角三角形時，PD＝________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，根據(jù)勾股定理可得，設(shè)PD'=PD=x，則AP=12-x，△APD'’是直角三角形可以分兩種情況討論，①當(dāng)∠AD'P=90°時，②當(dāng)∠APD'=90°時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程求解，即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，AB=8，BC=12，AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，E是BC的中點(diǎn)，BE=CE=6，，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D'處，PD'=PD，設(shè)PD'=PD=x，則AP=12-x，要使得△APD'是直角三角形時，①當(dāng)∠AD'P=90°時，∠AD'P=∠B=90°，AD//BC，∠PAD'=∠AEB，，，即解得，；②當(dāng)∠APD'=90°時，∠APD'=∠B=90°，∠PAE=∠AEB，，，即，解得：，；綜上所述，當(dāng)△APD′是直角三角形時，或，故答案：或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折、矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、計(jì)算題（本大題共8小題，共75分）16.計(jì)算：（1）．（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查含特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪以及二次根式的化簡計(jì)算即可．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別代入計(jì)算即可；【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】原式．17.解方程：（1）2x2+6x＝3；（2）（x+3）2＝2x+6．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）把常數(shù)項(xiàng)移至等號左邊，然后利用求根公式求解即可；（2）把右邊的項(xiàng)移至左邊，然后利用因式分解法求解即可．【詳解】解：（1），，，，，，，解得：，；（2），，，，解得：，．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．18.小明在三張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個數(shù)字，分別為1、-4、-3.現(xiàn)將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后小明任意從中抽出一張，放回?cái)噭蚝笤偃我獬槌鲆粡堄浵聰?shù)字．（1）第一次抽到寫有正數(shù)的卡片的概率是；（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數(shù)字都為負(fù)數(shù)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正數(shù)的個數(shù)除以數(shù)字的總個數(shù)即可；（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【小問1詳解】解：第一次抽到寫有正數(shù)的卡片的概率是，故答案為：；【小問2詳解】畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上數(shù)字都為負(fù)數(shù)的有4種結(jié)果，所以兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．19.為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作，避免在測溫過程中出現(xiàn)人員聚集現(xiàn)象，鄧州市某學(xué)校決定安裝紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫（如圖1），其紅外線探測點(diǎn)O可以在垂直于地面的支桿OP上下調(diào)節(jié)（如圖2），已知探測最大角（∠OBC）為61.0°，探測最小角（∠OAC）為26.6°．若該校要求測溫區(qū)域的寬度AB為2.60米，請你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度OC．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin61.00.87，cos61.00.48，tan61.01.80，sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）．【答案】該設(shè)備的安裝高度為1.8米【解析】【分析】利用探測最大角，找出BC用OC表示的關(guān)系式，再利用探測最小角的正切值構(gòu)造方程，求解即可．【詳解】設(shè)OC=x米，在Rt△OAC中AC==2x，Rt△OBC中,BC==x，∵AB=AC-BC，∴2x-x=2.6，解得：x=1.8．答：該設(shè)備的安裝高度為1.8米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角形中邊角關(guān)系，銳角的正切與邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．20.如圖，已知CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D作AC的平行線，過點(diǎn)C作CD的垂線，兩線相交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若AB=8，CE=3，求△ABC的周長．【答案】（1）見解析；（2）△ABC的周長為19.2【解析】【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊對等角和平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△ABC∽△DEC；（2）先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理計(jì)算出DE＝5，接著根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，從而得到△ABC的周長．【小問1詳解】證明：∵ACDE，∴∠CDE＝∠ACD，∵CD是Rt△ABC斜邊AB中線，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD＝∠CDE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC；【小問2詳解】解∵CD是Rt△ABC斜邊AB中線，∴AB＝2CD＝8，∴CD=4，∵CD⊥CE，CE=3，∴DE＝＝5，∴△DCE的周長為3+4+5=12，∵△ABC∽△DEC，∴=，∴△ABC的周長＝×12＝=19.2.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和平行線的性質(zhì)．21.某商店銷售一種進(jìn)價50元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量（件）是售價（元/件）的一次函數(shù)，其售價、銷售量的二組對應(yīng)值如表：售價（元/件）5565銷售量（件/天）9070（1）求出關(guān)于售價的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤為（元），求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)銷售單價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？【答案】（1）（2），當(dāng)銷售單價定為75元時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）利用總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【小問1詳解】解：設(shè)，由題意，得：，解得：，∴；【小問2詳解】由題意，得：，∴當(dāng)時，有最大值為，∴當(dāng)銷售單價定為75元時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大．22.如圖，某市民政局欲給敬老院修建一個半徑為7米的圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端A點(diǎn)處安一個噴水頭，測得噴水頭A距地面的高度為，水柱在距噴水頭A水平距離處達(dá)到最高．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中是水柱距噴水頭的水平距離，是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）請你通過計(jì)算說明噴出的水柱是否會落到圓形噴水池的外面．【答案】（1）（2）噴出的水柱不會落到圓形噴水池的外面，詳見解析【解析】【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入，求出即可．（2）當(dāng)時，求出的值，與半徑米進(jìn)行比較即可得到結(jié)果．【小問1詳解】由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，拋物線的表達(dá)式為，將代入上式得，，解得，