2019-2023年全國(guó)各高考數(shù)學(xué)真題按分項(xiàng)匯編 數(shù)列含詳解

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編

4<11照列

高存?存版分忻

數(shù)列作為高考必考題，高考題型一般作為1小1大或者是2小1大模式。主要考點(diǎn)：

考點(diǎn)01數(shù)列概念及通項(xiàng)

考點(diǎn)02等差等比數(shù)列應(yīng)用

考點(diǎn)03數(shù)列求和

考點(diǎn)04數(shù)列情景類(lèi)問(wèn)題

考點(diǎn)05數(shù)列新定義問(wèn)題

考點(diǎn)06數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問(wèn)題

備存真魅精忻

考點(diǎn)01數(shù)列概念及通項(xiàng)

-選擇題

1.（2021年高考浙江卷?第10題）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿(mǎn)足q=1'°用.記數(shù)列｛%｝的前。項(xiàng)和為S.，

則（）

199

A.—<Slog<3B.3<Sloo<4C.4<5100<—D.-<5100<5

二、填空題

1.（2022高考北京卷?第15題）己知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前。項(xiàng)和S“滿(mǎn)足。J"=95=1,2,.）.給出

下列四個(gè)結(jié)論：

①｛4｝的第2項(xiàng)小于3；②｛&｝為等比數(shù)列；

③｛叫為遞減數(shù)列；④｛叫中存在小于焉的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

考點(diǎn)02等差等比數(shù)列應(yīng)用

一選擇題

L（2020北京高考?第8題）在等差數(shù)列｛%｝中，q=-9,%=-1.記7；=5=12…），則數(shù)列⑵｝

).

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

2.（2019?全國(guó)I?理?第9題）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和.已知凡=0,%=5,則（）

A.a-2n-5B.a-3n-10C.S=2n2-8nD.S?=—rr—2n

〃〃〃nfl

3.（2023年天津卷?第6題）已知｛4｝為等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛&｝的前九項(xiàng)和，an+1=2Sn+2,則%的值為

（）

A.3B.18C.54D.152

2.（2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷?第8題）記為等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，若其=-5,S6=21S2,則Sg=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

4.（2023年全國(guó)甲卷理科?第5題）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前”項(xiàng)和若%=1,§5=553-4,則

'=（）

1565

A.——B.—C.15D.40

88

5.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）?第8題）已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則&=

（）

A.14B.12C.6D.3

6.（2019?全國(guó)III?理?第5題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q,｝的前4項(xiàng)和為15,且%=3%+4%,貝1」為=

（）

A.16B.8C.4D.2

二、填空題

1.（2019?全國(guó)III?理?第14題）記S“為等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，出=3%,則要=.

3.（2019?北京?理?第10題）設(shè)等差數(shù)列｛?！埃那啊ā?xiàng)和為S.，若％=-3?=-3,&=-10,則a5=,

Sn的最小值為.

3.（2023年全國(guó)乙卷理科?第15題）已知｛4｝為等比數(shù)列，4a4a5=。3。6，%4（）=-8,則%=.

4.（2019?全國(guó)I?理?第14題）記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若4=；“：=6，則尾=.

5.（2020江蘇高考?第11題）設(shè)｛““｝是公差為d的等差數(shù)列，也,｝是公比為4的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛?！?2｝的前

〃項(xiàng)和"一〃+2"一1（〃￡N*）,則d+q的值是.

考點(diǎn)03數(shù)列求和

—選擇題

1.（2020年高考課標(biāo)II卷理科?第6題）數(shù)列｛〃〃｝中，％=2,。加+〃=,若以+i+。左+2++ak+io—215—25,

則上=（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

1.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第11題）已知數(shù)列｛aj滿(mǎn)足區(qū),="（"+1）,則星=

2

2.（2020年新高考全國(guó)卷n數(shù)學(xué)（海南）?第15題）將數(shù)列｛20-1｝與｛3"-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛為｝,

則｛?！ǎ那皀項(xiàng)和為.

3.（2019?上海?第8題）已知數(shù)列｛。,｝前。項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足S〃+4=2,則S5=.

三解答題：

、一6,〃為奇數(shù).

1.（2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第18題）已知（｛4｝為等差數(shù)列，a=二不佃.，記S“，7”分別為數(shù)列（｛4｝,

為偶數(shù)

也｝前幾項(xiàng)和，§4=32,￡=16.

（1）求｛a“｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

a+1,〃為奇數(shù),

2.（2021年新高考I卷?第17題）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=1,%.=n

4+2,〃為偶數(shù).

⑴記僅=/“，寫(xiě)出偽，口并求數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式;

⑵求｛為,｝的前20項(xiàng)和.

3.（2019?全國(guó)H?理?第19題）己知數(shù)列｛4｝和｛%｝滿(mǎn)足q=1,4=0,4??+1=34—仇+4,4bn+l=3b?-an-4.

（1）證明：｛4+%｝是等比數(shù)列，｛?！皑D2｝是等差數(shù)列；

（2）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式.

21

4.（2021年高考全國(guó)乙卷理科?第19題）記S“為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，2為數(shù)列況｝的前"項(xiàng)積，已知不+7=2.

⑴證明：數(shù)列出｝是等差數(shù)列；

⑵求｛a,｝的通項(xiàng)公式.

5.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷?第20題）設(shè)等差數(shù)列｛%,｝的公差為d,且d>l.令b.=———,記S“,7；分別為數(shù)

°n

列｛%｝，｛"｝的前幾項(xiàng)和.

（1）若3a2=3弓+a3,S3+7；=21,求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若也｝為等差數(shù)列，且%-7；9=99,求

2s

6.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）?第17題）記S〃為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.已知—+〃=2a〃+l.

n

⑴證明：｛?！埃堑炔顢?shù)列；

⑵若"4，%，%成等比數(shù)列，求S"的最小值.

7.（2021年新高考全國(guó)II卷?第17題）記S“是公差不為。的等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前w項(xiàng)和，若%=S5，%%=S4.

⑴求數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)公式許；

⑵求使S,、＞an成立的n的最小值.

8（2023年全國(guó)乙卷）1.記S“為等差數(shù)列｛”"｝的前”項(xiàng)和，已知的=11,1=40.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛同｝的前〃項(xiàng)和

9.（2020年新高考全國(guó)I卷（山東）?第18題）已知公比大于1的等比數(shù)列｛與｝滿(mǎn)足的+%=20嗎=8.

⑴求｛%,｝的通項(xiàng)公式；

⑵記bm為｛4｝在區(qū)間（0,河（祖eN*）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛bm｝的前100項(xiàng)和5100.

10.（2020年新高考全國(guó)卷II數(shù)學(xué)（海南）?第18題）已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足％+”4=20,03=8.

⑴求｛?！埃?xiàng)公式；

（2）求qg—a2a3+…+（―1）“1.

11.（2023年全國(guó)甲卷理科第17題）設(shè)5“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，己知出=L2S“=”.

⑴求｛a,｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛紫｝的前〃項(xiàng)和7；.

12.（2020天津高考.第19題）已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，［=4=卜5=5（%-%），電=4（64-4）.

（I）求｛冊(cè)｝和也｝的通項(xiàng)公式;

（II）記｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,求證：S￡+2<S；+i（〃eN*

（"一泡,〃為奇數(shù)，

（III）對(duì)任意的正整數(shù)〃，設(shè)％=，%冊(cè)+2求數(shù)列&｝的前2〃項(xiàng)和.

也，〃為偶數(shù).

［心

考點(diǎn)04數(shù)列情景類(lèi)題目

一、選擇題

1.（2020年高考課標(biāo)n卷理科?第。題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一

塊圓形石板（稱(chēng)為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一

環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三

層共有扇面形石板（不含天心石）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

2.（2022新高考全國(guó)II卷?第3題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平

距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。R,CC],54,441是舉，

OD},DCX,CBt,BA,是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為帚=°5vU=占，奇=&，昔=自.已知

C/ZJ]ZJCjnAj

左，左2,占成公差為①1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為0.725,則/=（）

)

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2021高考北京?第6題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金

黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)心,。2，%，。4，。5（單位：金）成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為

片也也也，4（單位:cm）,且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知q=288,a5=96,4=192,則&=

A.64B.96C.128D.160

二、填空題

1.（2023年北京卷?第14題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類(lèi)似于祛碼的、用來(lái)測(cè)

量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列{4},該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差

數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且4=1,%=12嗎=192,貝1%=；數(shù)列｛4｝所有項(xiàng)的和為.

2.(2021年新高考I卷?第16題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，

規(guī)格為20dmx12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之

和S]=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dmx12dm,1Odmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和

2

S2=180dm,以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折〃次，那么‘耳=

k=l

dm2.

考點(diǎn)05數(shù)列新定義問(wèn)題

1.(2023年北京卷?第21題)己知數(shù)列｛%｝,也｝的項(xiàng)數(shù)均為優(yōu)(m>2),且為也e｛l,2,,根｝,｛%｝,也｝的前〃

項(xiàng)和分別為4，4,并規(guī)定&=穌=0.對(duì)于左e｛0,l,2,,m｝,定義〃=max/gWe｛0,1,2,,m｝｝,

其中，max/表示數(shù)集M中最大的數(shù).

(1)若q=2,g=1,%=3,4=1,4=3,&=3,求4,6,4的值；

(2)若q24,且2。<5+1+,/=L2,—,求5；

(3)證明：存在e｛0』,2,滿(mǎn)足。>q,s>/,使得&+烏=4+a.

2.(2019?上海?第21題)數(shù)列｛?！埃?00項(xiàng)，%=a,對(duì)任意〃c[2,100],存在e[1,八一1],若如與

前〃項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱(chēng)為具有性質(zhì)P.

⑴若q=1,求為可能的值；

⑵若｛4｝不為等差數(shù)列，求證：｛4｝中存在滿(mǎn)足性質(zhì)P；

(3)若｛4｝中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)P,這三項(xiàng)和為C,使用a,d,c表示q+%++?i00-

3.(2019?江蘇?第20題)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為—數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列｛%｝(〃eN*)滿(mǎn)足：%的=區(qū)嗎-%+4a4=0,求證:數(shù)列｛4｝為““一數(shù)列”;

122

(2)已知數(shù)列｛瓦｝滿(mǎn)足:b]=1,—=---,其中S"為數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和.

“2"n+l

①求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)小為正整數(shù)，若存在“V—數(shù)列”｛c,｝(〃eN*),對(duì)任意正整數(shù)七,當(dāng)左W機(jī)時(shí)，都有成立，求小的

最大值.

<a

4.(2019?北京理第20題)已知數(shù)列｛%,｝,從中選取第力項(xiàng)、第，2項(xiàng)、…、第力”項(xiàng)(?，2<...<*)，若&i2(…<%，

則稱(chēng)新數(shù)列”，aim為｛4｝的長(zhǎng)度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列｛凡｝的任意一項(xiàng)都是｛4｝的長(zhǎng)度為1的遞

增子列.

(1)寫(xiě)出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；

(II)已知數(shù)列｛4｝的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為。為，長(zhǎng)度為g的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為%。.若p

〈分求證：0mo<%；

(III)設(shè)無(wú)窮數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若｛可｝的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s-1,

且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s-1的遞增子列恰有2s-1個(gè)(s=L2,…)，求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式.

考點(diǎn)06數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問(wèn)題

一、選擇題

13

L(2023年北京卷?第10題)已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4+1=/(為―6)+65=1,2,3,)，貝曙)

A.當(dāng)4=3時(shí)，｛%,｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0,使得4>M恒成立

B.當(dāng)4=5時(shí)，｛?！埃秊檫f增數(shù)列，且存在常數(shù)4W6,使得為<〃恒成立

C.當(dāng)4=7時(shí)，｛4｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)〃>6,使得4>股恒成立

D.當(dāng)q=9時(shí)，｛%,｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得/恒成立

2.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第7題）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn,公差dWO,幺V1.記bi=S2（bxSa-

d

52〃，〃eN*，下列等式不可能成立的是（）

A.204=02+06B.2b4=b2+b6C.D.b：=b2b8

3.（2022高考北京卷?第6題）設(shè)｛4｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，貝廣｛4｝為遞增數(shù)列"是"存在正整數(shù)No,當(dāng)

〃>乂時(shí)，?！啊?”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2020年高考課標(biāo)H卷理科?第11題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列％的%滿(mǎn)足

a,.e｛0,l｝（z=l,2,）,且存在正整數(shù)加，使得=q（i=l,2,）成立，則稱(chēng)其為0：周期序列，并稱(chēng)滿(mǎn)足

4+,”=%。=12）的最小正整數(shù)加為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為加的0-1序列%的a,,

1〃？1

c⑹=—?4+上*=1,2,,m-l）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0：序列中，滿(mǎn)足C伏）4：伏=1,2,3,4）

mIT5

的序列是（）

A.11010B.11011--.C.10001D.11001.

5.（2023年全國(guó)乙卷理科?第10題）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為整，集合S=tosa」“eN*｝,若5=｛?；?，

則ab-（）

二解答題

1.（2023年天津卷?第19題）已知｛〃〃｝是等差數(shù)列，/+。5=16,%一。3=4.

2〃-1

（1）求｛凡｝的通項(xiàng)公式和￡6.

i=2n-x

⑵已知也｝為等比數(shù)列，對(duì)于任意左eN*，若21《“42上—1，則d<4<4+1，

kk

（I）當(dāng)左22時(shí)，求證：2-l<bk<2+1；

（II）求｛么｝的通項(xiàng)公式及其前九項(xiàng)和.

Si

2.（2022新高考全國(guó)I卷?第17題）記S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知q=1,尸是公差為一的等差數(shù)列.

⑴求｛?！埃耐?xiàng)公式；

111c

（2）證明：一+—++一<2.

3.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科第17題）已知數(shù)列｛?！保那皫醉?xiàng)和為S”，4=1,q尸0,anan+l=45“-1,其中4為

常數(shù).

⑴證明：4+2-4=/;

（2）是否存在X,使得｛。“｝為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.

4.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第20題）已知數(shù)列｛?！埃?｛d｝,｛金｝中,

b*

%=4=C]=l,c“=an+l-o?,c?+1=-^-c?(neN).

%2

（I）若數(shù)列屹”｝為等比數(shù)列,且公比q>0,且4+偽=64，求q與所的通項(xiàng)公式;

（II）若數(shù)列｛仇｝為等差數(shù)列,且公差d>0,證明：q+c,++c?<1+.

a

5（2023年新高考II卷）2.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命

中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽

確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機(jī)變量X，服從兩點(diǎn)分布，且P（X，=1）=1-P（X,=0）=分1=1,2,…,明則/之=.記前〃次

（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為y,求后任）.

6.(2022高考北京卷?第21題)已知。：6,。2，14為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)相，若對(duì)任意的〃e｛l，2,,加｝,

在。中存在q,ai+l嗎+29'9ai+j(J20),使得4+4+1+q+2++4?+/=",則稱(chēng)。為加一連續(xù)可表數(shù)列.

⑴判斷Q：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

⑵若Q：%,%，，%為8—連續(xù)可表數(shù)列，求證：4的最小值為4；

⑶若。：弓,。2，?,4為20-連續(xù)可表數(shù)列，且6+。2++a1t<20,求證：k>7.

7.(2021年高考浙江卷第20題)已知數(shù)列｛?！埃啊表?xiàng)和為鼠，q=-；，且4s用=35〃-91.

(1)求數(shù)列｛〃“｝通項(xiàng)；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿(mǎn)足3也+(“-4)4=0,記他｝的前〃項(xiàng)和為v,若7；(獨(dú),對(duì)任意“cN*恒成立，求片的范圍.

8.(2022新高考全國(guó)II卷第17題)已知｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且4-4=%-4="-%?

⑴證明：%=瓦；

⑵求集合卜|bk=am+ttpl<m<500｝中元素個(gè)數(shù).

9.(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷.第20題)已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=-1,公差d>l.記｛4｝的前〃項(xiàng)和為

S.(〃eN*).

⑴若S4-2a2a3+6=0,求；

(2)若對(duì)于每個(gè)〃￡N*，存在實(shí)數(shù)g,使%+G，%+I+4%,%+2+15%成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

10.(2021年高考全國(guó)甲卷理科?第18題)己知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記臬為｛/｝的前〃項(xiàng)和，從下面①②③

中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛點(diǎn)｝是等差數(shù)列；③%=3%.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

五年(2019-2023)年高考真題分項(xiàng)匯編

專(zhuān)敗11劇列

高存?存瓶分忻

數(shù)列作為高考必考題，高考題型一般作為1小1大或者是2小1大模式。主要考點(diǎn):

考點(diǎn)01數(shù)列概念及通項(xiàng)

考點(diǎn)02等差等比數(shù)列應(yīng)用

考點(diǎn)03數(shù)列求和

考點(diǎn)04數(shù)列情景類(lèi)問(wèn)題

考點(diǎn)05數(shù)列新定義問(wèn)題

考點(diǎn)06數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問(wèn)題

奇存真魅精折

考點(diǎn)01數(shù)列概念及通項(xiàng)

-選擇題

1.(2021年高考浙江卷?第10題)已知數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足《i=l，%+i=d^(〃eN*).記數(shù)列｛為｝的前w項(xiàng)和為s“，則

)

9

A.—<S<3D.—<SIQQ<5

2100

【答案】A

【解析】因?yàn)閝=

%

由an+l=

1rn-\〃+l

根據(jù)累加法可得，+==一丁，當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào),

也22

、4anann+1

5+1)21+弧2n+3

n+1

in+16

—當(dāng)且僅當(dāng)”=1時(shí)取等號(hào),

ann+3(〃+l)(n+2)

所以、0。0?6/15_31+31_^1+11-]1+

即/<Eoo<3.

故選A.

二、填空題

1.（2022高考北京卷?第15題）己知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前w項(xiàng)和S,滿(mǎn)足4?5,=95=1,2,）.給出下

列四個(gè)結(jié)論：

①｛4｝的第2項(xiàng)小于3；②｛4｝為等比數(shù)列；

③｛4｝為遞減數(shù)列；④｛4｝中存在小于擊的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】由題意可知，VHGN%a?>0,

當(dāng)〃=1時(shí)，a；=9,可得%=3；

90999

當(dāng)72?2時(shí)，由So"=一可得S“_]=----,兩式作差可得。”=--------,

an4-1an4-1

999

所以，---=----a?,則％=3,整理可得a；+3。，一9=0,

%an%

因?yàn)椤?>。，解得見(jiàn)=34-3<3,①對(duì)；

一2

AQVQ1

假設(shè)數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,則即二=j，

MJ加3

所以，S；=S5,可得。：（1+4）2=d（1+4+/）,解得4=0,不合乎題意，

故數(shù)列｛4｝不等比數(shù)列，②錯(cuò)；

999（a—

當(dāng)〃之2時(shí)，an=--------=_L^_12>0,可得為所以，數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，③對(duì)；

an%a“a,r

假設(shè)對(duì)任意“eN*，42￡5,則HoooooNlOOOOO義言=100°，

991

所以，?iooooo=--^―<—，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).

'ooooo1UUU1UU

故答案為：①③④.

考點(diǎn)02等差等比數(shù)列應(yīng)用

-選擇題

1.（2020北京高考?第8題）在等差數(shù)列｛%｝中，4=-9,a3=-l.記7；=（力=1，2,…），則數(shù)列｛1｝（）.

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【答案】B

【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差1=與斗=97=2,

5—15—1

貝U其通項(xiàng)公式為：a?=?1+(n-l)t/=-9+(n-l)x2=2n-ll,

注意至Uq<見(jiàn)</<%<為<0<4=1<%<」，且由4<。可知Z<0(iN6,ieN),

由；=0>1(后7,ieN)可知數(shù)列｛1｝不存在最小項(xiàng)，

Li-\

由于q=—9,%=—7,%=-5,%=-3,%=-I，4=1，

故數(shù)列｛Z,｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：4=63,7；=63x15=945.故數(shù)列｛北｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為T(mén)-故

選：B.

2.（2019?全國(guó)I?理第9題）記S“為等差數(shù)列｛q｝的前幾項(xiàng)和.已知邑=0,%=5，則（）

A.a-2n-5B.a-3n-lQC.S=2n2-8nD.S=~n2-2n

“n"nfnlfnl

【答案】A

S4=4。］+6d=0tZj=—3

解析:=><

%=6+4d=5d=2

2

所以a”=4]+(〃—V)d=-3+2(n—1)=2n—5,Sn=—~=n—4n,故選A.

3.(2023年天津卷?第6題)已知｛a,J為等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，。用=25“+2,則%的值為

（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

解析：由題意可得：當(dāng)”=1時(shí)，％=2q+2,即。應(yīng)=2%+2,①

=

當(dāng)〃=2時(shí)，a,2（?1+a2）+2,即q/=2（G+64）+2,②

聯(lián)立①②可得。1=2,q=3,則%=q/=54.

故選：C.

2.(2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第8題)記S”為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若其=-5,S6=21S2,則為=(）.

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,首項(xiàng)為火,

若q=l,則$6=6%=3義2卬=3$2，與題意不符，所以4/1；

由其=—5,4,=21邑可得，也二?=—5,3（U"）=2b<%（B）①,

i-qi—q1—q

由①可得，l+d+q4=21,解得：d=4,

所以$8=。（1二q）=a"l_q）>（］+/）=_5義0+［6）=_85.

1—q1一4

故選：c.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為心

因?yàn)橐?—5,七=21邑，所以qw—1,否則$4=0,

從而，邑M-邑與-S”8-$6成等比數(shù)列，

5

所以有，(―5—S2)?=S2(21S2+5),解得：$2=-1或S2=z，

當(dāng)$2=-1時(shí)，S2,S4-S2,S6-S4,S&-S6,即為-1,-4,-16,S&+21,

易知,Sg+21=-64,HPS8——85；

22

當(dāng)S2=9時(shí)，S4+?2+a3+tz4=(?t+fl2)(l+^)=(l+^)S2>0,

與其=-5矛盾，舍去.故選：C.

4.(2023年全國(guó)甲卷理科?第5題)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和S“，若q=1,85=563-4,則$4=

()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】c解析：由題知l+q+/+/+q4=5(i+q+/)—4,

即/+/=4g+4/,即/+,2_4q_4=0,即(q—2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以4=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:C.

5.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理).第8題)已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,%-%=42,則4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D解析：設(shè)等比數(shù)列｛%,｝的公比為%q，0,

若q=l,則。2-%=。，與題意矛盾，

%(1-4)%=96

4+a,+%=--------=168w

所以qwl,貝叫123I_q,解得<1

q=一

a2-a5=%q-=422

所以。6=qq5=3.故選：D.

6.(2019?全國(guó)m?理?第5題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%,｝的前4項(xiàng)和為15,且％=3。3+41,則%=

()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

、｛CL+a,q+a,q2+a,q3=15,fa.=1,,

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則廣J”,“"，解得〈c，二％=。河=4,

[a^q=3a1q+44=2

故選C.另解：數(shù)感好的話(huà)由S4=15,立即會(huì)想到數(shù)列：1,2,4,8,16,,檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足。5=3%+4。］,可以

迅速得出。3=4.

二、填空題

S

1.(2019?全國(guó)III?理第14題)記S〃為等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，qWO,a2=3ax,貝!］謂=___________

3V

10x9

c(1U。］~Id［八八

【答案】4.【解析】因。2=36，所以4+2=3%,即2q=d,所以詈=------—=一%=4.

-S55q+/d25al

12

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

2.(2019江蘇?第8題)已知數(shù)列｛%)(〃€N*)是等差數(shù)列,S“是其前n項(xiàng)和.若%%+4=0,凡=27,則項(xiàng)的值

是.

【答案】16【解析】由S9=9%=27,得%=3,從而3<72+%=0，即3(6-3d)+Q+3d)=0,解得d=2,所以

Ss=S9—cig=S9—(a5+4d)=27-11=16.

3.(2019?北京?理?第10題)設(shè)等差數(shù)列｛?！埃那啊ā?xiàng)和為S“，若出=-3痣=-3,&=-10,則外=,S?

的最小值為.

【答案】⑴0；(2)-10.

【解析】等差數(shù)列｛4｝中，S5-5a3=-10,得％=々a2=-3,則公差d=%=1，

%=%+2d=0,

由等差數(shù)列｛??｝的性質(zhì)得〃W5時(shí)，?！?lt;o,當(dāng)〃之6時(shí)，凡大于0,所以S”的最小值為S,或$5,值為-10.

3.(2023年全國(guó)乙卷理科?第15題)已知｛4｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a$,a9al0=-8,則%=.

【答案】-2

解析：設(shè)｛4｝的公比為q(qwO),則。2。4。5=。3。6，顯然。"片0，

貝|「。4="2，即qq3=q2,則44=1,因?yàn)閍9aH)=-8,則47?4/=-8,

則才=(q5y=-8=(-2)3,45*則cf=-2,則%=a\Q,"5=q，=-2,

故答案為：-2.

4.(2019?全國(guó)I?理?第14題)記S“為等比數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和.若說(shuō)=&，則$5=.

1211Li_鼻5、

【答案】一〕解析：由說(shuō)=%，得。力6=%",所以qq=i,又因?yàn)閝=所以q=3,耳"7_121.

33'=-------------=------

51-33

5.(2020江蘇高考.第11題)設(shè)｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，｛a｝是公比為4的等比數(shù)列.已知數(shù)歹!)｛%+包｝的前〃

項(xiàng)和Sn=/一〃+2"-1("eN+),則d+4的值是.

【答案】4

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列也"｝的公比為4,根據(jù)題意4X1.

2

等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和公式為￡=na]+=-1?i--1^n,

等比數(shù)列但,｝的前〃項(xiàng)和公式為0=1(,力=一"8+匕，

1-q1-q1-q

依題意S=P〃+Qn,即"2_〃+2〃-1=彳〃2+[q_彳]九_(tái)10n+-1,

2I2J1-q1-q

4=1

2(d=2

d?八

ci\=—ia1=0

通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知2nI,故d+q=4.故答案為：4

"2q=2

7by=1

工=-111

考點(diǎn)03數(shù)列求和

-選擇題