截面的幾何性質(zhì)-組合截面的慣性矩（建筑力學(xué)）

截面的幾何性質(zhì)一、慣性矩的平行移軸公式由上任務(wù)已知，同一截面圖形對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性矩一般是不同的。但在坐標(biāo)軸滿(mǎn)足一定條件時(shí)，圖形對(duì)它們的慣性矩之間存在著一定的關(guān)系。下面來(lái)討論這種關(guān)系。

組合截面的慣性矩截面的幾何性質(zhì)

任意平面圖形如圖5-8所示。ｚ、ｙ為一對(duì)正交的形心軸，ｚ1、ｙ1為與形心軸平行的另一對(duì)正交軸，平行軸間的距離分別為a和b。已知圖形對(duì)形心軸的慣性矩Ｉｚ、Ｉｙ，現(xiàn)求圖形對(duì)ｚ1、ｙ1軸的慣性矩Ｉｚ1、Ｉｙ1。由圖5-8可知ｙ1＝ｙ＋aｚ1＝ｚ＋b根據(jù)慣性矩的定義可得因ｚ軸為形心軸，故Sｚ＝0，因此可得同理Ｉｚ1＝Ｉｚ＋a2ＡＩｙ1＝Ｉｙ＋b2Ａ（5-9）式（5-9）稱(chēng)為慣性矩的平行移軸公式。公式表明：平面圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)平行于該軸的形心軸的慣性矩，加上圖形面積與兩軸間距離平方的乘積。在式（5-9）中，由于乘積a2Ａ、b2Ａ恒為正，因此圖形對(duì)于形心軸的慣性矩是對(duì)所有平行軸的慣性矩中最小的一個(gè)。在應(yīng)用平行移軸公式（5-9）時(shí)，要注意應(yīng)用條件，即ｙ、ｚ軸必須是通過(guò)形心的軸，且ｚ1、ｙ1軸必須分別與ｚ、ｙ軸平行?！纠?-5】三角形截面如圖5-9所示。圖中ｚ、ｚ1、ｚ2三軸互相平行，且ｚ軸為形心軸。已知Ｉｚ1＝bh3/12，求截面對(duì)ｚ2軸的慣性矩。解：由平行移軸公式（5-9）可得Ｉｚ1＝Ｉｚ＋（h/3）2·ＡＩｚ2＝Ｉｚ＋（2h/3）2·Ａ由以上兩式得Ｉｚ2＝Ｉｚ1＋［（2h/3）2－（h/3）2］·Ａ＝bh3/12＋h2/3·bh/2＝1/4·bh3

截面的幾何性質(zhì)三、形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念任意截面圖形如圖5-13所示，通過(guò)圖形內(nèi)任一點(diǎn)O，可以作出無(wú)窮多對(duì)正交坐標(biāo)軸，一般情況下，圖形對(duì)過(guò)O點(diǎn)的不同正交坐標(biāo)軸的慣性積不同，但是在通過(guò)任意點(diǎn)O的所有正交坐標(biāo)軸中，總可以找到一對(duì)特殊的正交坐標(biāo)軸z0、y0,圖形對(duì)該正交坐標(biāo)軸的慣性積等于零。這對(duì)正交坐標(biāo)軸z0、y0稱(chēng)為圖形過(guò)O點(diǎn)的主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸。截面對(duì)主軸的慣性矩稱(chēng)為主慣性矩。過(guò)圖形上任一點(diǎn)都可得到一對(duì)主軸，通過(guò)截面圖形形心的主慣性軸，稱(chēng)為形心主軸，圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱(chēng)為形心主慣性矩。在對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定計(jì)算中，常常需要確定形心主軸和計(jì)算形心主慣性矩。因此，確定形心主軸的位置是十分重要的。由于圖形對(duì)包括其對(duì)

稱(chēng)軸在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積等于零，所以對(duì)于圖5-14所示具有對(duì)稱(chēng)軸的截面圖形，可根據(jù)圖形具有對(duì)稱(chēng)軸的情況，觀察確定形心主軸的位置：（1）如果圖形有一根對(duì)稱(chēng)軸，則此軸必定是形心主軸，而另一根形心主軸通過(guò)形心，并與對(duì)稱(chēng)軸垂直（見(jiàn)圖5-14（b）、（d））。（2）如果圖形有兩根對(duì)稱(chēng)軸，則該兩軸都為形心主軸（見(jiàn)圖5-14（a）、（ｃ））。（3）如果圖形具有三根或更多根對(duì)稱(chēng)軸，可以證明，過(guò)圖形形心的任何軸都是形心主軸，且圖形對(duì)其任一形心主軸的慣性矩都相等（見(jiàn)圖5-14（ｅ）、（ｆ））。

截面的幾何性質(zhì)二、組合截面慣性矩計(jì)算根據(jù)慣性矩的定義可知，組合圖形對(duì)某一軸的慣性矩，等于其各組成部分簡(jiǎn)單圖形對(duì)該軸慣性矩之和，即Ｉｚ＝∑ＩｚiＩｙ＝∑Ｉｙi在計(jì)算組合圖形對(duì)ｚ、ｙ軸的慣性矩時(shí)，應(yīng)先將組合圖形分成若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形，并計(jì)算出每一簡(jiǎn)單圖形對(duì)平行于ｙ、ｚ軸的自身形心軸的慣性矩，然后利用平行移軸公式（5-9）計(jì)算出各簡(jiǎn)單圖形對(duì)ｙ、ｚ軸的慣性矩，最后利用式（5-10）求總和。（5-10）【例5-6】試計(jì)算如圖5-10所示T形截面對(duì)形心軸ｚ、ｙ的慣性矩。圖中尺寸單位為m。解：（1）確定形心位置。由于ｙ軸為截面的對(duì)稱(chēng)軸，形心必在ｙ軸上，故ｚｃ＝0。為確定ｙｃ，選參考坐標(biāo)系yOｚ1。將T形分割為兩個(gè)矩形，它們的面積和形心坐標(biāo)分別為Ａ1＝0.5×0.12＝0.06（m2）ｙ1＝0.58＋0.06＝0.64（m）Ａ2＝0.25×0.58＝0.145（m2）ｙ2＝0.582＝0.29（m）由式（4-9）可得ｙｃ＝∑Ａiｙi/Ａ＝(Ａ1ｙ1＋Ａ2ｙ2)/(Ａ1＋Ａ2)＝(0.06×0.64＋0.145×0.29)/(0.06＋0.145)＝0.392（m）（2）計(jì)算截面對(duì)形心軸的慣性矩。整個(gè)截面對(duì)ｙ、ｚ軸的慣性矩應(yīng)分別等于組成它的兩個(gè)矩形對(duì)ｙ、ｚ軸慣性矩之和。而兩矩形對(duì)ｚ軸的慣性矩應(yīng)根據(jù)平行移軸公式計(jì)算