彎曲的強度和剛度計算-梁橫截面上的正應(yīng)力（建筑力學(xué)）

彎曲的強度和剛度計算彎曲的強度和剛度計算

一般情況下，梁的橫截面上既有剪力Ｑ又有彎矩Ｍ。由圖6-1可知，梁橫截面上的剪力Ｑ應(yīng)由截面上的微內(nèi)力τ·ｄＡ組成；而彎矩Ｍ應(yīng)由微內(nèi)力σ·ｄＡ對ｚ軸之矩組成。因此，當梁的橫截面上同時有彎矩和剪力時，橫截面上各點也就同時有正應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ。本項目主要研究等直梁在平面彎曲時，其橫截面上這兩種應(yīng)力的分布規(guī)律、計算公式及相應(yīng)的強度和剛度計算。

平面彎曲時，如果某段梁各橫截面上只有彎矩而沒有剪力，這種平面彎曲稱為純彎曲。如果某段梁各橫截面不僅有彎矩而且還有剪力，此段梁在發(fā)生彎曲變形的同時，還伴有剪切變形，這種平面彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。下面以矩形截面梁為例，研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力。一、實驗觀察與分析與圓軸扭轉(zhuǎn)一樣，梁純彎曲時其正應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律不能直接觀察到，需要先研究梁的變形情況。通過對變形的觀察、分析，找出它的分布規(guī)律，在此基礎(chǔ)上進一步找出應(yīng)力的分布規(guī)律。

梁橫截面上的正應(yīng)力

矩形截面模型梁如圖6-2(ａ)所示，實驗前在其表面畫一些與梁軸平行的縱線和與縱線垂直的橫線。然后，在梁的兩端施加一對力偶，梁將發(fā)生純彎曲變形，如圖6-2(ｂ)所示。這時將觀察到如下的一些現(xiàn)象：①所有縱線都彎成曲線，靠近底面(凸邊)的縱線伸長了，而靠近頂面(凹邊)的縱線縮短了；②所有橫線仍保持為直線，只是相互傾斜了一個角度，但仍與彎曲的縱線垂直；③矩形截面的上部變寬，下部變窄。根據(jù)上面所觀察到的現(xiàn)象，推測梁的內(nèi)部變形，可作出如下的假設(shè)和推斷：(1)平面假設(shè)。在純彎曲時，梁的橫截面在梁彎曲后仍保持為平面，且仍垂直于彎曲后的梁軸線。(2)單向受力假設(shè)。將梁看成由無數(shù)根縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。由平面假設(shè)可知，梁變形后各橫截面仍保持與縱線正交，所以剪應(yīng)變?yōu)榱?。由?yīng)力與應(yīng)變的相應(yīng)關(guān)系知，純彎曲梁橫截面上無剪應(yīng)力存在。上部的縱線縮短，截面變寬，表示上部各根纖維受壓縮；下部的縱線伸長，截面變窄，表示下部各根纖維受拉伸。從上部各層纖維縮短到下部各層纖維伸長的連續(xù)變化中，中間必有一層長度不變的過渡層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，見圖6-2(ｃ)。中性軸將橫截面分為受壓和受拉兩個區(qū)域。

彎曲的強度和剛度計算三、正應(yīng)力公式的使用條件(1)由正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo)過程知，它的適用條件是：①純彎曲梁；②梁的最大正應(yīng)力不超過材料的比例極限。(2)橫力彎曲是平面彎曲中最常見的情況。在這種情況下，梁橫截面上不僅有正應(yīng)力，而且有剪應(yīng)力。梁受載后，橫截面將發(fā)生翹曲，平面假設(shè)不成立。但當梁跨度與橫截面高度之比ｌ/ｈ大于5時，剪應(yīng)力的存在對正應(yīng)力的影響甚小，可以忽略不計。所以，式(6-1)在一般情況下也可用于橫力彎曲時橫截面正應(yīng)力的計算。(3)式(6-1)雖然是由矩形截面推導(dǎo)出來的，但對于橫截面為其他對稱形狀的梁，如圓形、圓環(huán)形、工字形和Ｔ形截面等，在發(fā)生平面彎曲時，均適用。【例6-1】簡支梁受均布荷載q作用，如圖6-7所示。試求：①截面D上a、b、c三點處正應(yīng)力；②此截面上的最大正應(yīng)力σmax；③畫出截面D上的正應(yīng)力分布圖。

解：（1）作梁受力圖,求支座約束力。取整個梁為對象，作受力圖,如圖6-7(b)所示。由平衡方程求得支座約束力為

FA=FB=5.25(kN)（2）求截面D的彎矩。M=FA×1－q×1×1/2=5.25×1－3.5×1×1/2=3.5(kN·m)（3）計算截面D上a、b、c三點的正應(yīng)力。截面對中性軸的慣性矩為Iz=bh3/12=1/12×120×1803=58.3×106(mm4)a、b、c三點的坐標分別為ya=－70(mm),yb=0,yc=50(mm)由公式求三點處的正應(yīng)力分別為σa=Mya/Iz=3.5×106×(－70)/58.3×106=－4.2(MPa)σb=Myb/Iz=3.5×106×0/58.3×106=0σc=Myc/Iz=3.5×106×50/58.3×106=3(MPa)（4）計算截面D上的最大正應(yīng)力。梁截面是以中性軸為對稱軸，所以最大拉應(yīng)力值等于最大壓應(yīng)力值。因截面D處為正彎矩，所以梁截面上部邊緣為最大壓應(yīng)力位置，下邊緣為最大拉應(yīng)力位置?？箯澖孛嫦禂?shù)為Wz=bh2/6=1/6×120×1802=6.48×105(mm3)由公式求最大正應(yīng)力，即σmax=M/Wz=3.5×106/6.48×105=5.4(MPa)（5）畫截面D上彎曲正應(yīng)力分布圖。截面D上彎曲正應(yīng)力分布圖如圖6-7(c)所示。

彎曲的強度和剛度計算二、正應(yīng)力計算公式純彎曲梁橫截面上任一點處正應(yīng)力的計算公式為：σ＝Ｍｚｙ/Ｉｚ(6-1)式(6-1)表明：梁橫截面上任一點的正應(yīng)力σ與該截面上的彎矩Ｍｚ和該點到中性軸ｚ的距離ｙ