黑龍江省大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)

大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二年級(jí)寒假開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項(xiàng)符合要求）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.下列所給四個(gè)命題中，不是真命題的為A.兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的模相等 B.C. D.3.已知命題p：，是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.4.已知向量，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.5.已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式中成立是（）A. B.C. D.6.已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則=（）A. B.C. D.7.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小值是2B.函數(shù)的最小值等于4C.若，，則的最小值2D.函數(shù)最小值是28.雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題（共4小題，每題5分，共20分.全部選對(duì)5分，部分選對(duì)2分，有選錯(cuò)0分）9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法不正確是（

）A.任意一條直線都有傾斜角和斜率B.直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C.若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或10.已知數(shù)列中，，則能使的可以為（）A.2021 B.2022 C.2023 D.202411.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則可以為12.如圖所示，棱長(zhǎng)為3的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與所成的角可能是C.是定值 D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為2三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，則=____.14.若圓與圓有且僅有一條公切線，則_________.15.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,的面積為,則_________.16.已知正三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為____________．四、解答題（共6道大題，共70分）17.已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過(guò)去時(shí)代中最杰出的人們（書籍的作者）一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流，閱讀會(huì)讓精神世界閃光”.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本每天閱讀時(shí)間的第75百分位數(shù)；（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有2人每天閱讀時(shí)間位于的概率.19.已知函數(shù)的最小正周期為2，的一個(gè)零點(diǎn)是．（1）求解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.（1）求證：面；（2）點(diǎn)在棱上，設(shè)，若二面角余弦值為，求.22.如圖所示：已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).記的面積為.（1）若離心率，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）的條件下①求證：為定值；②求的取值范圍；大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二年級(jí)寒假開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項(xiàng)符合要求）1.已知集合，集合，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】分析】解不等式確定集合A、B后再求并集即可.【詳解】∵，，∴.故選:A.2.下列所給的四個(gè)命題中，不是真命題的為A.兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的模相等 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)已知中的條件，將代入，解關(guān)于，的方程，求出滿足條件的，的值，可以判斷出，，為真命題，舉出反例說(shuō)明，也可能不成立，即可判斷錯(cuò)誤，進(jìn)而得到答案．【詳解】對(duì)于，設(shè)，其共軛復(fù)數(shù)為，兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的模相等，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，例如，，滿足但不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，其共軛復(fù)數(shù)為，此時(shí)，，故正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)的基本概念，其中根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算方法及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則，設(shè)復(fù)數(shù)為代入各個(gè)選項(xiàng)，判斷命題的真假是解答本題的關(guān)鍵．3.已知命題p：，是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由命題p的否定“，”為真命題求解．【詳解】解：由題意，命題p的否定“，”為真命題．當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，．故選：A．4.已知向量，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】由.因?yàn)椋裕蔬x:A.5.已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，及特殊值，逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，不成立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)得，其在是減函數(shù)，，，所以B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：冪函數(shù)在單調(diào)遞減，而，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題.6.已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則=（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由函數(shù)的奇偶性可得，解之即可求解.【詳解】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：D7.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小值是2B.函數(shù)的最小值等于4C.若，，則的最小值2D.函數(shù)的最小值是2【答案】D【解析】【分析】選項(xiàng)AC可以取特殊值舉反例；選項(xiàng)B不符合取等號(hào)的條件；選項(xiàng)D用基本不等式求得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，不符合余弦函數(shù)的最值，故取不到等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故D正確；故選：D8.雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出，進(jìn)而利用勾股定理可得的關(guān)系，從而可求出結(jié)果.詳解】由題意知延長(zhǎng)則必過(guò)點(diǎn),如圖：由雙曲線的定義知，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因此，從而由得，所以，則，，，又因?yàn)?，所以，即，即，故選：B.二、多選題（共4小題，每題5分，共20分.全部選對(duì)5分，部分選對(duì)2分，有選錯(cuò)0分）9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法不正確的是（

）A.任意一條直線都有傾斜角和斜率B.直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C.若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或【答案】ABC【解析】【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率的定義，逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線沒有斜率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，斜率為，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，斜率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的傾斜角是，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的傾斜角是，即與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或，故D正確.故選：ABC.10.已知數(shù)列中，，則能使的可以為（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】AD【解析】【分析】證明數(shù)列的周期，然后算第一個(gè)周期中等于的項(xiàng).【詳解】又是以為周期的周期數(shù)列.又因?yàn)?，所以，故時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)AD都符合.故選：AD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則可以為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用輔助角公式和周期公式即可判斷；對(duì)于B，求出后利用對(duì)稱中心點(diǎn)的計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，利用偶函數(shù)的判斷標(biāo)準(zhǔn)判斷即可；對(duì)于D，根據(jù)三角函數(shù)變換法則進(jìn)行變換后，利用關(guān)于軸對(duì)稱進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，即，，當(dāng)時(shí)，，故D正確．故選：ABD12.如圖所示，棱長(zhǎng)為3的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與所成的角可能是C.是定值 D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為2【答案】AC【解析】【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助數(shù)量積公式與點(diǎn)平面距離公式逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、、則，，，，，設(shè)，，則，，故，即，故A正確；若與所成的角可能為，則存在，使得成立，即，化簡(jiǎn)得，即，由，故舍去，即與所成的角故可能是，故B錯(cuò)誤；，故，故C正確；當(dāng)時(shí)，有，故，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，則點(diǎn)到平面距離，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，則=____.【答案】##【解析】【分析】由余弦定理代入求解即可.【詳解】由余弦定理，則，又，所以，故答案為：.14.若圓與圓有且僅有一條公切線，則_________.【答案】【解析】【分析】由兩圓有且僅有一條公切線，故兩圓內(nèi)切，故兩圓圓心距離為半徑之差，計(jì)算即可得.【詳解】由兩圓有且僅有一條公切線，故兩圓內(nèi)切，由可得，即該圓以為圓心，為半徑，圓，圓心為，故有且，解得.故答案為：.15.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,的面積為,則_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：有得所以雙曲線的漸近線為又拋物線的準(zhǔn)線方程為聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準(zhǔn)線方程得在中，到的距離為..考點(diǎn)：雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì).16.已知正三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為____________．【答案】##【解析】【分析】據(jù)題意，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證得面，進(jìn)而證明面，由此可得到兩兩垂直，將三棱錐補(bǔ)形成正方體，即可求出外接圓半徑.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面中心為點(diǎn)，連接，則面，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)榈酌媸钦切?，則為的中點(diǎn)，，，又，面，面，所以面，又因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故面，又因?yàn)槊?，所以面，因?yàn)槊?，面，所以，因?yàn)槿忮F是正三棱錐，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以兩兩垂直，且，將其補(bǔ)形成棱長(zhǎng)為正方體，如圖：所以正三棱錐外接球的半徑為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求幾何體外接球半徑或體積（表面積），常用方法有：補(bǔ)形法，利用射影定理，建立空間直角坐標(biāo)系.四、解答題（共6道大題，共70分）17.已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，可知為等比數(shù)列，利用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）成等比數(shù)列，，即，，解得：，.（2）由（1）得：，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項(xiàng)公式證得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而采用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.18.法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過(guò)去時(shí)代中最杰出的人們（書籍的作者）一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流，閱讀會(huì)讓精神世界閃光”.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本每天閱讀時(shí)間的第75百分位數(shù)；（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有2人每天閱讀時(shí)間位于的概率.【答案】（1）（2）84分鐘（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1列出方程即可求解.（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義先確定第75百分位數(shù)的位置；再列出方程即可求解.（3）先根據(jù)分層抽樣的方法確定位于分組，和的年輕人的人數(shù)；再利用古典概型的概率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槌煽?jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，所以第75百分位數(shù)落在.設(shè)第75百分位數(shù)為m，由，解得，故第75百分位數(shù)為84，所以估計(jì)該地年輕人閱讀時(shí)間的第75百分位數(shù)約為84分鐘.【小問(wèn)3詳解】由題意，閱讀時(shí)間位于的人數(shù)為，閱讀時(shí)間位于的人數(shù)為，閱讀時(shí)間位于的人數(shù)為，所以在這三組中按照分層抽樣抽取5人的抽樣比例為，則抽取的5人中位于區(qū)間有1人，設(shè)為a，位于區(qū)間有3人，設(shè)為，，，位于區(qū)間有1人，設(shè)為.則從5人中任取3人，樣本空間共含有10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件A為“恰有2人每天閱讀時(shí)間在”，，含有6個(gè)樣本點(diǎn).所以，所以恰好有2人每天閱讀時(shí)間位于的概率為.19.已知函數(shù)的最小正周期為2，的一個(gè)零點(diǎn)是．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中周期求得，再由零點(diǎn)條件可求，即得函數(shù)解析式；（2）由的范圍求出整體角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，依題意須使，解之即得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題知，所以．又因?yàn)?，所以，，即：，又，則，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，令，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，如圖，可知須使，解得，所以的取值范圍是．20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系式易得關(guān)于通項(xiàng)的遞推式，根據(jù)等比特征求出通項(xiàng)，代入的通項(xiàng)可求出；（2）因?qū)儆凇安畋葦?shù)列”，運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得，由恒成立，即恒成立，利用數(shù)列的函數(shù)思想，求函數(shù)的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，故．又，故．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋寓?，②，①②?．所以．不等式對(duì)一切恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立．令，單調(diào)遞減，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.（1）求證：面；（2）點(diǎn)在棱上，設(shè)，若二面角余弦值為，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形為平行四邊形可得，知，由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可得，結(jié)合可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可