安徽省安慶市桐城第二中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

年安徽省安慶市桐城二中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋物線的圖象上兩點、、，當時，對應(yīng)的函數(shù)值為(

)A. B.3 C.0 D.無法確定2.已知二次函數(shù)，下列說法錯誤的是(

)A.當時，y隨x的增大而減小

B.若圖象與x軸有交點，則

C.當時，觀察圖象知不等式的解集為

D.若將圖象向上平移1個單位，再向左平移3個單位后過，則3.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為(

)

A.

B.

C.

D.4.二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸為直線，若關(guān)于x的一元二次方程為實數(shù)在的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是(

)

A. B. C. D.5.下列各組中的四條線段成比例的是(

)A.，，，

B.，，，

C.，，，

D.，，，6.已知線段a、b，如果a：：2，那么下列各式中一定正確的是(

)A. B. C. D.7.如圖，在?ABCD中，E、F分別是邊BC上兩個三等分點，B、D分別交AE、AF、AC于P、Q、R，則BP：PQ：(

)

A.3：2：1 B.5：3：2 C.6：5：4 D.5：4：38.如圖，在中，點D、E分別在邊AB、AC上，，，那么下列判斷中，不正確的是(

)

A.∽ B.∽

C.∽ D.∽9.如圖，曲線AB是頂點為B與y軸交于點A的拋物線的部分，曲線BC是雙曲線的一部分，由點C開始不斷重復(fù)“”的過程，形成一組波浪線，點與點均在該波浪線上，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂是為M，N，連PQ，則四邊形PMNQ的面積為(

)A.72 B.36 C.16 D.910.如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD與BE、AE分別交于點P，M，給出下列結(jié)論：①∽；②；③；

其中所有正確的結(jié)論序號為(

)A.① B.①② C.①②③ D.②③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。11.如圖，已知，CD和BE相交于點O，：：9，則AE：______.

12.飛機著陸后滑行的距離單位：關(guān)于滑行時間單位：的函數(shù)解析式是在飛機著陸滑行中，最后4s滑行的距離是______13.如圖，D是等邊邊AB上的點，，現(xiàn)將折疊，使得點C與點D重合，折痕為EF，且點E、F分別在邊AC和BC上，則______.

14.在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為等值點.例如點，…，都是等值點.已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個等值點，且當時，函數(shù)的最小值為，最大值為，則m的取值范圍是______.三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題8分

若一個函數(shù)的解析式等于另兩個函數(shù)解析式的和，則這個函數(shù)稱為另兩個函數(shù)的“生成函數(shù)”．現(xiàn)有關(guān)于x的兩個二次函數(shù)，，且，，的“生成函數(shù)”為：；當時，；二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為

求m的值；

求二次函數(shù)，的解析式．16.本小題8分

如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，已知三個頂點分別為、、

畫出關(guān)于x軸對稱的；

以原點O為位似中心，在x軸的上方畫出，使與位似，且位似比為2，并求出的面積．17.本小題8分

如圖，AD是的中線，E是AD上一點，BE的延長線交AC于F，的面積與的面積之比為1：3，且，求FC的長.18.本小題8分

如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點，延長AO交反比例函數(shù)圖象于點C，連接

求k和b的值；

直接寫出一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍；

在y軸上是否存在一點P，使？若存在請求出點P坐標，若不存在請說明理由．19.本小題8分

如圖，①已知D、E分別為邊AB、AC上一點，，連CD、BE、CD、BE相交于點F，連AF并延長分別交DE、BC于點H，

求證：G為BC中點；

如圖②，只用一把無刻度的直尺畫出矩形ABCD的一條對稱軸.20.本小題8分

如圖，在中，點D在邊BC上，連接AD，，DE交邊AC于點E，DE交BA延長線于點F，且

求證：∽；

求證：21.本小題8分

如圖，小華和同伴在春游期間，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡的點E處有一棵盛開的桃花的小桃樹，他想利用平面鏡測量的方式計算一下小桃樹到山腳下的距離，即DE的長度，小華站在點B的位置，讓同伴移動平面鏡至點C處，此時小華在平面鏡內(nèi)可以看到點E，且米，米，，已知小華的身高為米，請你利用以上的數(shù)據(jù)求出DE的長度．結(jié)果保留根號22.本小題8分

隨著新冠肺炎的爆發(fā)，市場對口罩的需求量急劇增大．某口罩生產(chǎn)商自二月份以來，一直積極恢復(fù)產(chǎn)能，每日口罩生產(chǎn)量百萬個與天數(shù)且x為整數(shù)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，而該生產(chǎn)商對口供應(yīng)市場對口罩的需求量百萬個與天數(shù)x呈拋物線型，第1天市場口罩缺口需求量與供應(yīng)量差就達到百萬個，之后若干天，市場口罩需求量不斷上升，在第10天需求量達到最高峰百萬個

求出y與x的函數(shù)解析式；

當市場供應(yīng)量不小于需求量時，市民買口罩才無需提前預(yù)約，那么在整個二月份，市民無需預(yù)約即可購買口罩的天數(shù)共有多少天？23.本小題8分

如圖，已知中，，，動點P沿CA方向從點C向點A運動，同時，動點Q沿CB方向從點C向點B運動，速度都為每秒1個單位長度，P、Q中任意一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．過點P作，交AB邊于點D，連接設(shè)P、Q的運動時間為

直接寫出BD的長；用含t的代數(shù)式表示

若，求當t為何值時，與相似；

是否存在某個a的值，使P、Q在運動過程中，存在：：：4：4的時刻，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：令，則，

或，

、n的值為1，，

當時，，

當時，對應(yīng)的函數(shù)值為

故選：

令，可得m、n的值，將代入即可求解．

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.【答案】C

【解析】解：，

，函數(shù)對稱軸為，

當時，y隨x的增大而減小，

當時，y隨x的增大而減小，

故A正確，不符合題意；

若圖象與x軸有交點，

則方程有實數(shù)根，

，

解得，

故B正確，不符合題意；

當時，二次函數(shù)變?yōu)椋?/p>

令，則，

解得，，

拋物線與x軸的交點為，

拋物線開口向上，

不等式的解集為或，

故C錯誤，符合題意；

將圖象向上平移1個單位，再向左平移3個單位后的解析式為，

平移后的圖象過，

，

解得，

故D正確，不符合題意．

故選：

求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)拋物線開口方向和函數(shù)的性質(zhì)判斷A；根據(jù)圖象與x軸有交點，得出，解不等式即可判斷B；把代入解析式，令解方程求出二次函數(shù)圖象與x軸的交點，結(jié)合函數(shù)圖象判斷C；根據(jù)平移的性質(zhì)，得到平移后的解析式，再把代入平移后解析式即可求出a的值，進而判斷

本題考查的是二次函數(shù)與不等式組，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的幾何變換等知識，理解二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．3.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)的關(guān)系，同學(xué)們要細心解答.

本題根據(jù)需要拋物線的位置，反饋數(shù)據(jù)的信息，即，b，的符號，從而確定反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置.

【解答】

解：由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即在第四象限，因此；

雙曲線的圖象在第二、四象限，

由于拋物線圖象開口向上，所以，

對稱軸直線是，所以，

拋物線與x軸有兩個交點，故，

直線經(jīng)過第一、二、四象限.

故選：4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查拋物線與x軸的交點、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖象法解決問題，畫出圖象是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．

如圖，關(guān)于x的一元二次方程的解就是拋物線與直線的交點的橫坐標，利用圖象法即可解決問題．

【解答】

解：如圖，關(guān)于x的一元二次方程的解就是拋物線與直線的交點的橫坐標，

根據(jù)對稱軸為直線，可知，

所以解析式為，

當時，，

時，，

當時，，

由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程為實數(shù)在的范圍內(nèi)有解，

直線在直線和直線之間包括直線，

故選5.【答案】B

【解析】解：A、，四條線段不成比例，故本選項錯誤；

B、，四條線段成比例，故本選項正確；

C、，四條線段不成比例，故本選項錯誤；

D、，四條線段不成比例，故本選項錯誤．

故選：

根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．

此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，比較簡單．根據(jù)比例的性質(zhì)進行判斷即可．

【解答】

解：A、當，時，a：：2，但是，故本選項錯誤；

B、由a：：2，得，故本選項錯誤；

C、由a：：2，得，故本選項正確；

D、由a：：2，得，故本選項錯誤．

故選：7.【答案】B

【解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形，

，，，

、F分別是邊BC上兩個三等分點，

，

，

∽，

，

，

∽，

，

，

，，

：PQ：：3：2，

故選：

由四邊形ABCD是平行四邊形，得，，，則，，再由∽，得，則，由∽，得，則，即可推導(dǎo)出，，于是求得BP：PQ：：3：

此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例分別求得BP、PQ、QR等于BD的幾分之幾是解題的關(guān)鍵．8.【答案】D

【解析】解：點D、E分別在邊AB、AC上，，

∽

故A正確；

，

∽

故B正確；

，，

∽，

∽，

故C正確；

與不一定相似，

故D不正確；

本題選擇不正確的，

故選：

若是兩個三角形中兩組角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，根據(jù)此判定作判斷即可．

本題考查相似三角形的判定定理，要熟記這些判定定理才能靈活運用．9.【答案】B

【解析】解：如圖，過點B作x軸的垂線交于，取DE的中點，過點作x軸的垂線交于，

，

，

把代入中得：，

反比例函數(shù)解析式為，

由圖可知，每經(jīng)過6為一次循環(huán)，

，，

點P離x軸的距離與點B離x軸的距離相同，點Q離x軸距離與點離x軸距離相同，

令代入中得：，

，，，

故選：

A，C之間的距離為6，點Q與點P的水平距離為8，拋物線的頂點B的坐標為，進而得到A，B之間的水平距離為6，且，根據(jù)四邊形的面積為36，即可得到四邊形PMNQ的面積為

本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時注意：二次函數(shù)的頂點坐標是，對稱軸直線；四邊形PMNQ為梯形，依據(jù)梯形的面積公式即可得到其面積．10.【答案】C

【解析】解：，是等腰直角三角形，

，，

，，

∽，

故①正確；

∽，

，

，

，

，

故②正確；

，

，

由②得，

，

又，

∽，

，

即，

，

，

故③正確，

故選：

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，得∽，可說明①正確；由∽，得，再利用三角形內(nèi)角和定理可說明②正確；由，，得∽，可說③正確．

本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明∽是解題的關(guān)鍵．11.【答案】2：1

【解析】解：，

∽，

，

，

，

，

∽，

，

：：1，

故答案為：2：

由，證明∽，則，得，再由∽，得，即可求得AE：：

此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，由：：9，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求得是解題的關(guān)鍵．12.【答案】24

【解析】解：當y取得最大值時，飛機停下來，

則，

此時，飛機著陸后滑行600米才能停下來．

因此t的取值范圍是；

即當時，，

所以米，

故答案是：

由于飛機著陸，不會倒著跑，所以當y取得最大值時，t也取得最大值，求得t的取值范圍即可，結(jié)合取值范圍求得最后4s滑行的距離．

本題考查二次函數(shù)的實際運用，運用二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法是解題關(guān)鍵．13.【答案】

【解析】解：是等邊三角形，

，，

由折疊的性質(zhì)可知，，，，

，

∽，

，

，

故答案為：

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比計算即可．

本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】

【解析】解：令，即，

由題意，，即，

又方程的根為，

解得，

故函數(shù)，

如圖，該函數(shù)圖象頂點為，

由于函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，

且當時，函數(shù)的最小值為，最大值為，

，

故答案為：

根據(jù)等值點的概念令，即，由題意，，即，方程的根為，從而求得，，所以函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．

本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．15.【答案】解：，，的“生成函數(shù)”為：；

，

當時，，

，

解得：，不合題意舍去；

由得：，

二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為

，

解得：，

，

【解析】根據(jù)已知新定義和當時，得出，求出即可；

把m的值代入函數(shù)，根據(jù)頂點的橫坐標即可求出a，再把a的值代入求出即可．

本題考查了新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，有一定的難度．16.【答案】解：如圖所示，就是所求三角形.

如圖所示，就是所求三角形，

，，，與位似，且位似比為2，

，，，

【解析】本題考查作圖-位似變換，軸對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解位似變換、軸對稱變換的定義，屬于中考常考題型．

畫出A、B、C關(guān)于x軸的對稱點、、即可解決問題；

連接OB延長OB到，使得，同法可得、，就是所求三角形；再根據(jù)圖形，利用矩形面積減去周圍直角三角形的面積，求解即可.17.【答案】解：過點D作交AC于點H，

是的中線，

，

，

，

的面積與的面積之比為1：3，

，

，

，

，

【解析】過點D作交AC于點H，由推出，根據(jù)的面積與的面積之比為1：3得出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，于是得出，進而得出答案．

本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形的面積等知識，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：將分別代入和

得：，，解得：，；

由知，，，

直線的表達式為：，反比例函數(shù)的表達式為：

由，解得：或，

，

由圖象知，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍為：或，

過A作軸，過B作軸，

，

，

，

過A作軸，過C作軸，設(shè)，

，

解得：，，

或

【解析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，三角形的面積的計算，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

由待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；

聯(lián)立兩解析式，求出B點坐標，根據(jù)圖象中的信息即可得到結(jié)論；

過A作軸，過B作軸，根據(jù)求出的面積，由已知條件得到，過A作軸，過C作軸，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．19.【答案】證明：，

∽，

，

同理：，

；

∽

，

同理：，

，

，

由得：，

，

，即點G是BC的中點；

解：如圖②所示，直線即為所求．

【解析】①由，得到∽和∽，即可得到結(jié)論；

②易證∽，∽，則依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，可以證得，得到即可；

①連接AC，BD，兩線交于點②在矩形ABCD外任取一點E，連接EC，EB，分別交DA于點G，H，③連接CG，BH，兩線交于點④作直線，交BC于點⑤作直線直線就是矩形ABCD的一條對稱軸．

本題考查作圖-軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．20.【答案】證明：，

，

，

∽，

，

又，

，

即，

∽；

證明：∽，

，

，

，

∽，

，

，

，

【解析】本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)．

根據(jù)相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的性質(zhì)得出，進而證明∽即可；

由得出，進而證明，由，得到，即可解答．21.【答案】解：過E作，

，

，

設(shè)EF為x，，

，

，

∽，

，

即，

解得：，

，

答：DE的長度為

【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

此題考查相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形