2023-2024學(xué)年天津薊州區(qū)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷附答案解析

2023-2024學(xué)年天津薊州區(qū)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷

(試卷滿分為150分，時間為120分鐘)

一.選擇題(共12小題，每題5分，共60分)

1.直線x+6y-i=°的傾斜角為

A.30。B.60°c.120°D.150。

2.已知直線4：x+“y_i=o與4：2x_y+i=o平行，則4與4的距離為()

1.3

A.4B.5c.5D.5

3.過直線x+y-3=°和2x-y=°的交點，且與直線2》+丫-5=°垂直的直線方程是()

A4x+2y-3=()B4x-2y+3=()cx+2y-3=0口x-2y+3=0

4.設(shè)aGR,則“a=-2”是“直線11：ax+2y—1=0與直線12：x+(a+1)y+4=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.平行六面體(底面是平行四邊形的棱柱)A3CQ-AGG"中，===

4B=AD=AA|=1y|[j4G=()

述

A."B.6C.3D.2

6.點尸在直線3x+y”=°上，且點尸到直線x-y-l=°的距離為亞，則p點坐標(biāo)為()

A.(L2)B.(21)

C(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-2,1)

7.已知直線/的方程為丫=3》+3,則點24,5)關(guān)于/的對稱點的坐標(biāo)為()

A.(-4,1)B,(-2,7)c(-1,7)D(-3,1)

8.過點AQ，2)且與原點距離最大的直線方程是()

Ax+2y-5=0B2x+y-4=()Qx+3y-l=0p3x+y-5=0

9.已知43，T),僅5,-2),點p在直線x+y=°上，若使I上|+1必|取最小值，則點尸的坐標(biāo)是

1

A.(L-1)B.(TDC.(-2,2)

10.設(shè)A（—2,2）,3（1,1）,若直線以+y+l=°與線段A3有交點，則”的取值范圍是（）

(-co,-2]u^-,+co^-2,-1

32,+QO)

A.B.2兒|_27D,L2」

11.直線R4分別過點伐-2,-2）,Q（L3）它們分別繞點p和Q旋轉(zhuǎn)，但保持平行，那么，它們之間的

距離d的取值范圍是（）

A.（°，后］B.（°,+8）C.（南,+8）D.［扃'+8）

12.已知點P,Q分別在直線4"+>+2=0與直線4：x+y-l=。上，且PQM,點A（T-3）,U,

則IM+IP0+3的最小值為.

A.FB.'3+亍c,岳D,3亞

二、填空題（每小題5分，共30分）

13.已知直線6+4>—2=°與2x—5y+Z>=°互相垂直，垂足為（l,c）,則a+b+c的值是

14.經(jīng)過點尸（2,3）,且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線1的方程為

15.已知”，〃，a，beR,且滿足3m+4〃=6,6a+8b=l,則河丁^^7的最小值為.

16.已知A（-2,-4）,8（1,5）兩點到直線/:“》+丫+1=°的距離相等，則實數(shù)a的值為

1+1

17.已知">°，"°,若直線（%T?+2y-l=°與直線犬+處-2=0垂直，則qb的最小值為

18.設(shè)mcR,過定點A的動直線x+my=°和過定點3的動直線爾-yr”+3=0交于點P（x,y）,則

IPAI+I尸5|的取值范圍是

三、解答題（每小題15分，共60分）

19.已知平面內(nèi)兩點A（8,-6）,B（2,2）.

（1）求AB的中垂線方程；

（2）求過點P（2,—3）且與直線AB平行的直線1的方程；

（3）一束光線從B點射向（2）中的直線1,若反射光線過點A,求反射光線所在直線的方程.

20.如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，ZBAC=90°,AB=AC=4,A1A=A1B1=2,側(cè)棱A1AJ_平

面ABC,點D是棱CC1的中點.

2

Ai

⑴證明:BB1_L平面ABIC；

⑵求點Bl到平面ABD的距離；

(3)求平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值.

21.已知直線方程為(2一辦+(2根+乃+3加+4=0

(1)證明：直線恒過定點；

(2)“為何值時，點QB4到直線的距離最大，最大值為多少？

(3)若直線分別與*軸，丫軸的負(fù)半軸交于AB兩點，求A。?面積的最小值及此時直線的方程.

22.如圖所示，正方形所在平面與梯形AB腦V所在平面垂直，MB//AN,NA=AB=2,BM=4,

CN=26

⑴證明：ON〃平面BCM；

(2)求直線AC與平面CDM所成角的正弦值；

外CE

(3)在線段CM上是否存在一點E，使得平面BEN與平面BMN的夾角的余弦值為H,若存在求出筋的

值，若不存在，請說明理由.

1.D

【分析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系，即可求解.

［詳解］X+J3,T=0化為3'3,

直線的斜率為3,傾斜角為150°.

故選:D.

3

【點睛】本題考查直線方程一般式化為斜截式，求直線的斜率、傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【分析】由兩直線平行的充要條件先求出參數(shù)。，即可求出直線《的方程，然后由兩平行線之間的距離

公式即可求解.

[詳解】由題意直線4：X+毆-1=°與4：2x-y+1=°平行，

因此1x(7)—2X4=0,解得”一5,

所以""一5)'一1=°即為2x-y-2=0,

〃k2一1|產(chǎn)

由兩平行線之間的距離可知人與,2的距離為百+(-1)-5.

故選：D.

3.D

【分析】首先求出兩條直線的交點，根據(jù)垂直求出直線斜率，再用點斜式即可求出直線方程.

【詳解】由題意得：

Jx+y-3=0

[2x-y=0

Jx=l

解得Im.

直線2x+y-5=0的斜率是_2,

故其垂線的斜率是：2,

y_2=*T)

???所求方程是:

即x-2y+3=o

故選：D

【點睛】本題主要考查兩條直線的交點坐標(biāo)，以及兩直線垂直的應(yīng)用，屬于簡單題.

4.A

【分析】由“直線11：ax+2y—1=0與直線12：x+(a+1)y+4=0平行”得到a=-2或a=l,即得解.

【詳解】解：若a=—2,則直線11：—2x+2y—1=0與直線12：x—y+4=0平行；

若“直線11：ax+2y-l=0與直線12：x+(a+1)y+4=0平行”，“(4+1)-2=°,解得a=-2或a

=1,

；.“a=-2”是“直線11：ax+2y—l=0與直線12：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要條件.

故選：A

5.A

4

【分析】利用空間向量運算法則得到AG=A8+4）+4A,再利用數(shù)量積公式進(jìn)行運算得到

AC：=(AB+AD+AA)2=6,從而求出kG|=AG=^

【詳解】由空間向量可得：AC^AH+AD+AA,

2222

AC,=^AB+AD+AAi)=AB+AD+AAy'+2ABAD+2ADAAt+2AAlAB

=l+l+l+2|AB|-|AD|cosZBAZ)+2|AD|-|A4l|cosZ4IAD+2|A41|-|AB|cos2S41AB

=3+2cos600+2cos60°+2cos60°=6,

所以陷=AG=6

故選：A

6.C

【分析】設(shè)點尸的坐標(biāo)，再代入點到直線的距離公式，即可得答案.

［詳解］...點p在直線3x+y_5=0上，.?.設(shè)尸（x,—3x+5）.

=\x+3x-5-\\

利用點到直線的距離公式得：6，解得：》=1或x=2,

.,.點P的坐標(biāo)為&2）或Q,-D.

故選：C.

【點睛】本題考查點到直線的距離公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【詳解】分析：設(shè)點@見"）是尸（45）關(guān)于/的對稱點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)建立關(guān)于北〃的方程組，解出

〃?=-2且〃=7,即可得到點24,5）關(guān)于的對稱點坐標(biāo).

詳解:設(shè)Q（'%"）是尸（4,5）關(guān)于/的對稱點,

5—m=——1

4一加3

。4+m5+〃r八

3-----------------+3=0

則有22,解得加=一2且〃=7,

5

所以。坐標(biāo)為（-2,7）,即為所求的點的坐標(biāo)（一2,7）,故選B.

點睛：本題主要考查了點關(guān)于定直線的對稱點的坐標(biāo)，著重考查了直線的基本量與基本形式、軸對稱的

性質(zhì)等知識，以及學(xué)生的推理與運算能力.

8.A

【分析】首先根據(jù)題意得到過點A（L2）且與04垂直的直線為所求直線，再求直線方程即可.

【詳解】由題知：過點A（L2）且與原點距離最大的直線為過點A（L2）且與04垂直的直線

因為初=2,故所求直線為即x+2y-5=0

故選：A

【點睛】本題主要考查直線方程的求解，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.

9.C

【詳解】分析：設(shè)A關(guān)于直線/：x+>=°的對稱點為C,則尸為BC與直線/的交點時，盧4|+歸回取最小

值，進(jìn)而得到結(jié)果.

點A（3T）關(guān)于直線，：>+N=0的對稱點為COT,

x-1_y+3

由BC的方程為丁―一「，

g|jx—4y—l3=0

但,

與x+y=°聯(lián)立可得直線BC與直線/的交點坐標(biāo)為【55人

所以|E4|+|PB|=|PC|+|P5],由圖可知

內(nèi),士]

當(dāng)P點坐標(biāo)為（55）時，

附+閥最小，故選c.

點睛：解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾

何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選

用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法解答.

6

10.c

【分析】直線6+y+「°恒過定點P(°，T),若直線奴+y+i=°與線段A3有交點，畫圖圖形，求出臨

界時直線P4的斜率與直線總的斜率，即可得解.

［詳解］由6+y+i=o得y=一奴T,

因此直線/："+y+l=()過定點戶(0,-1),且斜率八一“，

如圖所示，當(dāng)直線/由直線必按順時針方向旋轉(zhuǎn)到直線尸B的位置時，符合題意.

.'-(-I)0.2-(-1)3

kpR=----------=2kpA=-----------=-----

易得1-0,一2-02.

,3、3

?-a<——八a>—

結(jié)合圖形知一或2,解得。4-2或2,

「3、

(-<x),-2］u—,+8

G”的取值范圍是L2人

故選：C

11.A

【分析】通過作圖分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線尸。與直線4,〃均垂直的時候，它們之間的距離田月即為，

d的最大值，通過分析可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)是連續(xù)變化的，且R12可以無限接近直線P°,因此d>o,且d可

以無限接近于0.

當(dāng)直線尸。與直線R4均不垂直的時候，它們之間的距離即為日用,

7

當(dāng)直線PQ與直線乙，4均垂直的時候，它們之間的距離即為血”,

所以當(dāng)且僅當(dāng)°R與QP重合時，d有最大值人標(biāo)=卜2-1)2+(-2-3)-=V34,

可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)到一定程度時直線PQ與直線4,&均無限接近的時候，

d無限趨于0,但注意到直線4,4平行，且直線是連續(xù)旋轉(zhuǎn)的,

4之間的距離d的取值范圍是(°'后］.

因此直線4,

故選：A.

12.B

(33、30

【分析】設(shè)15’成，則四邊形"'8為平行四邊形，故而河+閘+如就是^。什三十網(wǎng)的

|/0」2一(-1)|k3.

因為PQ_L/"4,故O2,

a，=1,故AA'M,所以AYPQ,

又一2,所以|4V|=|P。，故四邊形裕'Q?為平行四邊形，

\AP\+\PQ\+\QB\=140+乎+\QB\

因為|陽+幽平回=舊，當(dāng)且僅當(dāng)A,Q,8三點共線時等號成立，

后?3近

|陰+四+|。卸的最小值為2,選B.

【點睛】本題考查坐標(biāo)平面中線段和的最值，注意利用幾何性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化為一個動點(在直線上)與

8

兩個定點之間的連線段的和的最值，這類問題屬于中檔題.

13.-4

【分析】由兩直線垂直，可求出a的值，又垂足(LC)為兩直線交點，列方程組求解可得b,c的值，從

而即可得答案.

【詳解】因為兩直線互相垂直，所以2a+4x(-5)=0,解得。=10,

又垂足(Lc)既在前一條直線上，也在后一條直線上，

110+4c-2=0p=-12

所以12-5C+6=0,解得jc=-2,

所以a+b+c=10+(―12)+(—2)=—4

故答案為：-4.

143x-2y=0或x+2y-8=0

【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況求解即可.

【詳解】設(shè)直線1在y軸上的截距為a,則在x軸上的截距為2a.

當(dāng)。=0時，直線1過點(°，。)，

3-03

又直線1過點「(2,3),故直線1的斜率=5,

3

y—0=一(x—0)ao八

故直線1的方程為.2,即3x-2y=°；

xy1

----1—=]

當(dāng)ax0時，直線1的方程為2aa,即x+2y-2a=°,

二直線1過點尸(2,3),

.?.2+2x3-2。=0,

???〃=4,

直線1的方程為x+2y-8=°

綜上可知，直線1的方程為3x-2y=0或x+2y-8=0.

故答案為：3x-2y=0或x+2y-8=0

11

15.10

【分析】設(shè)點4見〃),B(a,b)

【詳解】設(shè)點4也〃)，B(a,b),直線《:3x+4y-6=0,直線y"—'一『。

9

由題意可知4加,〃)點在直線點3x+4y-6=0上，點B(a,萬)在直線“：標(biāo)+--鼻=。上

所以|=yj(m-a)2+(n-b)2

由題意可知4與4平行，故A、B之間的最小距離即為兩平行線之間的距離

—6一(—)

'211

:.d==10

11

故答案為：1°

16.一3或3

【分析】方法一，利用點到直線的距離公式列方程求解可得；方法二，結(jié)合圖形分析直線的位置可解.

|-26f-4+l||tz+5+l|

【詳解】解：方法一由題意得正幣,即I2a+3|=|a+6］,所以2a+3=a+6或

2a+3+。+6=0,解得。=3或-3.

5+4

方法二因為A,B兩點到直線1的距離相等，則直線A8〃/或AB的中點在直線1上，則1+2-”或

11,八

—a-\---1-1=0

22，得”=-3或3.

【分析】兩直線斜率存在且互相垂直，由斜率乘積為-1求得等式2(。+切=1,把目標(biāo)式子化成

2(2+-*學(xué)，運用基本不等式求得最小值.

a

k2a—1

［詳解］設(shè)直線(為T?+2y-i=0的斜率為牝"|_一一廠

k二

直線X+力-2=0的斜率為2一%,

兩條直線垂直，-l2h),整理得：2(〃+〃)=1

10

+-)2(?+ft)=2(2+-+-)>8

ababab,

111

a=bf=——+一八

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)4,ab的最小值為8.

【點睛】利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化成可用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

18[710,275]

【分析】根據(jù)直線方程確定48的坐標(biāo)及直線的位置關(guān)系，易得戶的軌跡是以AB為直徑的圓，結(jié)合圓

上點到直徑端點距離求\PA\+\PB\的范圍

【詳解】由直線方程易知：40,0),8(1,3),且兩動直線垂直，

；.尸的軌跡是以4B為直徑的圓，而|A8|=M,

.?.當(dāng)小姑8為等腰直角三角形時，1%|+|戶5|最大；當(dāng)尸與A或B重合時，|PA|+|P8|最??；

.V10<|PA|+|PB|<275

??

故答案為：石]

19.⑴版-4y-23=0

(2)4%+3y+1=0

(3)llx+27y+74=0

【分析】(1)利用中點坐標(biāo)公式求得AB的中點坐標(biāo)，再利用兩直線垂直其斜率間的關(guān)系求得AB的中

垂線的斜率，再由直線的點斜式方程求得答案；

(2)根據(jù)平行得出斜率，從而由點斜式求出直線方程；

(3)求得點B關(guān)于直線1的對稱點B，的坐標(biāo)，然后求出斜率，再由點斜式求出直線方程.

8+2§-6+2.2

【詳解】(1)解：因為丁-2,所以AB的中點坐標(biāo)為(5,-2),

k-6-243

又.一五萬一一寫'所以AB的中垂線的斜率為工，

3

y+2=—(x-5)々4”八

故AB的中垂線的方程為.4,即3x-4y-23=0；

.=44

kAtf~,y+3=—(x—2)

(2)解：由(1)得3所以直線1的方程為.3,即4x+3y+l=0；

n-2_3

<m—24

,m+2/n+2,八

4x--------F3x------1-1=0

(3)解：設(shè)B(2,2)關(guān)于直線1的對稱點B，(m,n),I22,

11

工8

-6+-

k-111

814

n=——一+27

解得I55

y+6=-----（x-8）

由點斜式可得反射光線所在直線的方程為'27'\整理得llx+27y+74=0.

20.（1）證明見解析

3而同

（2）5（3）15

【分析】（1）建系，將線面垂直的證明轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線；

（2）將點面距轉(zhuǎn)化為直線的方向向量在平面的法向量上的投影的絕對值，再利用向量的數(shù)量積即可求解;

（3）將面面角轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量所成角，再利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意可得A（°Q°）,8（4，。，。），C（0,4,0）,4（2,0,2）,C,（0,2,2）,以0,3,1）

UULU

則期=（-2,0,2）,AC=（0,4,0）,做=（2,0,2）,

設(shè)平面ABC的一個法向量為r=（"，eJ）,

r-AC=4e=0

則［rAB］=2d+2/=0,取/*=（1,0,-1）

則網(wǎng)=—2r,

所以J.平面AB,C

（2）由⑴知一=（4，°，°）,池=（°，3，1）

設(shè)平面的一個法向量為"

n-AB=4。=0

則［rAD=3Hc=0,取〃3）,

12

A耳舛63M

|AB1|-|cos(>4B1,n)|

|/i|Jl+95

所以點Bl到平面ABD的距離為

(3)由⑴知，BC=(<4,0),CD=(O,-l,l),

設(shè)平面SCO的一個法向量為機(jī)=(x，％z),

BC=-4x+4y=0

*

則［:“,C￡)=-y+z=0,取機(jī)=(1,1,1),

設(shè)平面BCD與平面ABD的夾角為6,

則。。，"同切葉三府二嚕,

4

21.(1)證明見解析；(2)時，距離最大，最大值為2可；(3)面積的最小值為4,此

時直線方程為2x+)'+4=0.

【分析】(1)整理直線方程可得方程組，解方程組可求得定點坐標(biāo)；

(2)易知當(dāng)定點尸與°連線垂直時，點Q到直線距離最大；求出P。方程后，利用直線垂直關(guān)系可構(gòu)造

方程求得機(jī)；利用兩點間距離公式可求得最大值；

(3)利用直線方程可AB坐標(biāo)，并確定機(jī)的取值范圍，利用附表示出S，，。明可得一個分式型的函數(shù)，

&_19

AOB~2X_5025_

通過換元法可表示出廠t,由二次函數(shù)最值的求解方法可求得所求面積最小值，并求

得加的值，由此可得直線方程.

【詳解】⑴由直線方程整理可得：(-x+2y+3)加+2x+y+4=o,

J-x+2y+3=0J.r=-1

由卜+>+4=。得：b=-2.???直線恒過定點尸㈠廠2)；

(2)由(1)知：直線恒過定點P(T'-2),

則當(dāng)與直線垂直時，點Q到直線距離最大，

y+2_x+1

又所在直線方程為：4+2-3+1,即3x-2y-l=0,

_4

???當(dāng)P°與直線垂直時,3(2-%)-2(2加+1)=0,解得O

則最大值閩M+3).(-2-盯=2呵

(3)由題意知：直線斜率存在且不為零,

13

3m+4

令x=0得：-2〃?+1,即I2m+1).

…S/產(chǎn)，0]

令尸0得：2-m,即I2-m).

3m+4八

-------＜0

,I2/w+1

3m+41

＜?！紮C(jī)＜2

又A，B位于x,y軸的負(fù)半軸，I2-m,解得：2

仁13m+43機(jī)+41(3m+4『

S=—x-----x------=—x----------——

Anfi22-m2//7+12-2tn~+3/n+2,

5i八t—4

—＜/＜10/.m-----

令3m+4=，，則2,3,

22

c_1t_19t_19

B=XX=X

-^2(t-^.r-4/2-2r+25r-5025025

I3J3tt

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則當(dāng)[4,即加=0時、I廠t九＞x8,?''(5AOflLn=4,

此時直線的方程為：2x+y+4=0.

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22.（1）證明見解析（2）5（3）存在，~EM=2.

【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)定理，即可得證.

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可證BC工平面ABMN,BCLBN,即可求得BN長，根據(jù)勾股定理，

可證他，3"，如圖建系，求得各點坐標(biāo)，即可ACCRC/坐標(biāo)，進(jìn)而可求得平面CDM的法向量〃，

根據(jù)線面角的向量求法，即可得答案.

（3）設(shè)點￡（兌以2），。￡='°何，即可求得￡點坐標(biāo)，進(jìn)而可求得平面BEN的法向量加，由（1）可得BC1

平面ABNN,所以8C即