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文檔簡(jiǎn)介
10導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類:不等式證明歸類(2)
目錄
【題型一】不等式證明6:凸凹翻轉(zhuǎn)型.......................................................1
【題型二】不等式證明7:三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)型.................................................4
【題型三】不等式證明8:極值點(diǎn)偏移(不含參)............................................6
【題型四】不等式證明9:極值點(diǎn)偏移(含參)..............................................9
【題型五】不等式證明10:三個(gè)“極值點(diǎn)”(零點(diǎn))型........................................12
【題型六】不等式證明11:比值代換(整體代換等)型......................................15
【題型七】不等式證明11:非對(duì)稱型(零點(diǎn)值xl與x2系數(shù)不一致)..........................18
【題型八】不等式證明12:韋達(dá)定理型.....................................................21
【題型九】不等式證明13:利用第一問構(gòu)造(包括泰勒展開)................................23
【題型十】不等式證明14:含ex和Inx型...................................................26
【題型十一】不等式證明15:先放縮再證明型..............................................28
【題型十二】不等式證明16:切線放縮證明“兩根差”型....................................31
【題型十三】不等式證明17:條件不等式證明..............................................34
【題型十四】綜合證明:xl與x2綜合......................................................37
【題型一】不等式證明6:凹凸翻轉(zhuǎn)型
【典例分析】
已知/(x)=xlnx,+ax-3.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對(duì)一切x?0,yo),2〃x)2g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
12
(3)證明:對(duì)一切xe(0,+<?),都有In尤〉二一一成立.
''exex
【答案】(1)函數(shù)”X)在上單調(diào)遞減,在B,+J上單調(diào)遞增(2)(-雙4](3)證
明見解析
【分析】
(1)求出/a)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)小于0,可求得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)大于0,可
求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)把/(x)與g(尤)解析式代入已知不等式,整理后設(shè)g)=21nx+x+2(x>0),求出,(x)的
x
導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性,進(jìn)而求出版X)的最小值,即可確定”的范圍;
Y2
(3)所證不等式兩邊乘以心左邊為了。),右邊設(shè)為雙x)=W-三(xe(0,+8)),求出左邊的
ee
最小值及右邊的最大值,比較即可得證.
(1)
解:因?yàn)?(%)=xln%,所以/V)=lnx+l(x>0),
當(dāng)f(x)<0,當(dāng)x£(g,+oo],f\x)>0,
所以函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞減,在1%+8)上單調(diào)遞增;
(2)
a
解:原不等式等價(jià)于2h皿...-/+ax-3,即④21nx+x+-對(duì)一切xe(0,+oo)恒成立,
設(shè)〃(%)=21nx+x+—(x>0),貝U//(%)=+_12,
xx
當(dāng)工£(0,1)時(shí),h\x)<0,為(九)單調(diào)遞減,當(dāng)%£(L+8)時(shí),hr(x)>0,力。)單調(diào)遞增,
所以④,(%)欣〃="(1)=4,
所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為(-雙4];
丫2
(3)證明:原問題等價(jià)于證明%lm>=——(%£(0,+^)),
ee
由(1)可知f(%)=Hm*£(。,+°°))的最小值是一L當(dāng)且僅當(dāng)九二1時(shí)取到,
ee
x21—x
設(shè)m(x)=—一一(%£(0,+co)),則mr(x)=——,
exee
當(dāng)X£(O,1)時(shí),加(%)>0,皿%)單調(diào)遞增,當(dāng)無£(1,+00)時(shí),加(%)<0,小(x)單調(diào)遞減,
所以相(尤)小=m(l)當(dāng)且僅當(dāng)%=1時(shí)取到,
e
19
所以對(duì)一切%£(0,+°0),都有Inx〉-7-二成立.
eex
【提分秘籍】
基本規(guī)律
類型特征:
(1)特殊技巧;
(2)分開為兩個(gè)函數(shù),各自研究,甚至用上放縮法
【變式演練】
1.已知〃x)=xlnx.
(1)求函數(shù)〃x)的極值;
%+,11--
(2)證明:對(duì)一切xe(O,e),都有足尤上成立.
x+i--ex
xee
【答案】(1)極小值為二,無極大值(2)證明見解析
e
【分析】
(1)求導(dǎo),令/(x)=0,解得x=(,分另I」討論和+時(shí),/(X)的正負(fù),可得f(x)
X+]—
的單調(diào)區(qū)間,即可得答案.(2)問題等價(jià)于證明Hn%>e_2,xe(0,+oo).設(shè)
x+i--e
ee
%+]--
g^=______e_2,利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值,分析即可得答案.
X+1--e
e
解(1)由/(x)=xlnx,x>0,得/(x)=lnx+l,令/(%)=0,得
當(dāng)元曰時(shí),/(x)<0,/)單調(diào)遞減;
當(dāng)x/L+co]時(shí),f(x)>0,兀0單調(diào)遞增.
所以人勸的極小值為無極大值.
1I
X+1n(1
(2)證明:?jiǎn)栴}等價(jià)于證明Wnx2_____e_2,xe(0,+oo).由(1)可知/(工焉=/一
-e
x+i-le<
ee
x£(0,+oo),
111/、
x+1—o—x(1A
設(shè)g(%)=_____^二,貝ljg,(x)=?---,當(dāng)問0,一時(shí),g'(x)〉0,g(x)單調(diào)遞增;
'x+1--ex+i--\e7
eeee
當(dāng)無eg,+,|時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.易知g(x)2=ggj=-]當(dāng)且僅當(dāng)x=(時(shí)
取到.
,1
元+191
從而對(duì)一切x£(0,+oo),xinx>_____—4成立,當(dāng)且僅當(dāng)%=—時(shí)等號(hào)成立.
-
x+i-lee
ee
11
%+1--
即對(duì)一切xe(0,+oo),都有inx2-----成立.
x+i」ex
xee
2.已知函數(shù)f(%)=lnx-%.
(1)討論函數(shù)g(x)=f(.x)--(a^0,aeR)的單調(diào)性;
(2)證明:|/(x)|>^+1.
【答案】(1)答案見解析.(2)證明見解析
【分析】(1)g'(x)=X+^+a,令m(x)=_》2+無+a=_[x_g)+。+;,分別討論a=C-;,
-1<a<0,a>0,解不等式機(jī)(x)>0或m(x)<0即可得單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間,進(jìn)而可得單
調(diào)性.
(2)設(shè)g(x)=¥+g分別求/‘(X),g'(x)利用導(dǎo)數(shù)判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性以及最值,求
出g(x)a<V(X)L即可求證?
解(1)因?yàn)?(%)=ln%—x,所以@(%)=/(%)-@=山工-%-色,x>0,
Xx
2
/(x)=g_l+?=—X+%+。
2
+6Z+—,當(dāng)aW-L時(shí),
令m(x)=-x2+x+a=-X-1g'(x)W0恒成立,此時(shí)g(x)在(0,+8)
44
上單調(diào)遞減,
|+〃+工>0可得:1-Jl+4a1+J1+44
當(dāng)-時(shí),解不等式一---------<x<---------,
匕匚I、[/、入(八1-Jl+4a1—Jl+4a1+Jl+4a
所以g(x)在0,---------上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在
2
72}
1+Jl+4〃
I2,+00上單調(diào)遞減,
7
’11-Jl+4〃_1+J1+4”
當(dāng)。>0時(shí),解不等式+a4—>0可得:---------<0<x<----------
422
LLrtzXC1+Jl+4a1+Jl+4a、
所以g(x)在0,---------上單調(diào)遞增,在,+8上單調(diào)遞減,
2
I)7
綜上所述:當(dāng)aW-;時(shí),g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減,
當(dāng)-J_<a<0時(shí),g(x)在(0,三學(xué)和(1+上單調(diào)遞減,
4I2JI2J
1—\/1+4〃1+J1+4〃]L,品、由、油4?吊
在——-——,——-——上單倜遞增,
I22)
當(dāng)。>0時(shí),g(x)在0,1±2乎近上單調(diào)遞增,在l+V^,+8上單調(diào)遞減,
I1—x
(2)由/'(x)=lnx—x可得:(尤)=L-1=—,由TOO可得0<x<l,由/(無)<0可得
XX
X>1,
所以〃尤)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1收)上單調(diào)遞減,
所以/(初山=〃1)=1皿-1=-1,所以|/(尤晨=1,設(shè)g(x)=F+g,貝U
由/(%)>。即1—lnx>0可得0<x<e;由g'(x)<0即1—ln%<0可得%>e,
所以g(x)=?+;在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+a))上單調(diào)遞減,所以
g(x)=^(e)=+-=-+—<1,
v7maxv7e2e2
所以g("max所以|/W|>F+1對(duì)任意的(。,+s)恒成立?
【題型二】不等式證明7:三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式
【典例分析】
已知函數(shù)〃x)=e*-av-cosx,g(x)=/(x)-x,aeR.
(1)若在[0,+功上單調(diào)遞增,求a的最大值;
(2)當(dāng)a取(1)中所求的最大值時(shí),討論g(x)在衣上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明g(x)>一夜.
【答案】(1)1;(2)2個(gè),證明見解析.
【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù),(尤)=e,-a+sinx2。在[0,+◎上恒成立,再
求導(dǎo)求其最小值即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在X40,尤>0上的單調(diào)性,根據(jù)兩點(diǎn)的存在性
定理可確定出2個(gè)零點(diǎn),再由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,求出最小值的范圍即可得證.
解(1)由題意可知,/'(x)=e*-a+sinxW。在[0,+oo)上恒成立,
因?yàn)?'"(x)=ex+cosx>l+cosx>0,所以/1(x)單調(diào)遞增,
所以尸(0)=1-此0,解得這1,所以。的最大值為1.
(2)
易知a=l,所以g(x)=e*—2x-cosx,
當(dāng)立0時(shí),g,(x)=e*-2+sinxW-l+sinx40,所以g(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>0時(shí),g'(無)=e*-2+sin無,則g"(x)=e*+cosxN1+cos尤20,所以g'(x)單調(diào)遞增,
因?yàn)間'(0)=T<0,g'(l)=e-2+sinl>0,所以存在尤。e(0,1),使得g'(x°)=0,
g(x)在(-℃,%)上單調(diào)遞減,在(%,+<?)上單調(diào)遞增,
又g(0)=0,所以g(x0)<。,
因?yàn)間(2)=e?-4-cos2>0,所以存在&e(%,2),使得g(xJ=0,
所以g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),又因?yàn)閑*。-2+sinx。=0,
所以g(x)min=g(Xo)=*-2Xo-COSXo=2-2Xo-SinXo-COSXo,因?yàn)椴?lt;1,
所以gQo)>-sin無o-cos無0=-A/^sin(無o+?)N-0,故g(x)>-0成立.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.證明思路和普通不等式一樣。
2.充分利用正余弦的有界性
【變式演練】
1.設(shè)函數(shù)〃x)=xln(l—x).
(1)求y=/(x)的極值點(diǎn);
(2)設(shè)函數(shù)/("=京+:-$也彳.證明:F(X)<2.
【答案】(1)x=0;(2)證明過程見解析.
【分析】(1)利用二次求導(dǎo)法,結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可;
(2)利用構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行證明即可.
解⑴函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)?
由/(x)=xln(1-x)n/(x)=ln(l-,設(shè)g(x)=ln(l-x)-ng'(x)=,
因?yàn)閤e(-oo,l),所以g'(x)<0,g(x)是單調(diào)遞減函數(shù),
因此當(dāng)l>x>0時(shí),g(x)<g(0)=0=>/'(%)<0,/(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x<0時(shí),g(x)>g(0)=0nf\x)>0,/(%)單調(diào)遞增,
因此當(dāng)x=。時(shí),函數(shù)y=/(x)有極大值,極大值為"0)=0;
X111
(2)函數(shù)/((=?1+--sinx的定義域?yàn)?(_*0)J(0,l),gpF(x)=-—-+—sinx,
f[x)xIn(l-x)X
要想證明/(x)<2,只需證明+:<2+sinx,
ln(l-X)x
構(gòu)造函數(shù)—:+__]J+ma」),由(1)可知當(dāng)xe(—8,l)時(shí),函數(shù)
ln(l-x)xxln(l-x)
y=/(力的極大值為/(o)=o,
即〃%)=%皿1一x)W0,當(dāng)了£(-8,0)(0,1)時(shí),xln(l-x)<0,
t(x)=x+ln(l-x)-xln(l-x),XG(-(X),1),/(x)=-ln(l-x),
當(dāng)1>%>0時(shí),/(x)>0,t(x)單調(diào)遞增,即有t(x)>t(0)=0,
因此此時(shí)有人(x)<0成立,
當(dāng)%<0時(shí),i(x)<0/(%)單調(diào)遞減,即有t(x)>t(0)=0,
因此此時(shí)有。(%)<0成立,
所以當(dāng)(—8,0)(0,1)時(shí),/?(%)=-/+--1<0,即/?(%)=」/
ln(l-X)xln(l-x)x
設(shè)機(jī)(%)=2+sinx,當(dāng)(-oo,0)(0,1)時(shí),顯然有—iWsinxWl,
因止匕有l(wèi)W2+sinxV3,即血而7z(%)vl,
所以當(dāng)(-8,0)(01)時(shí),不等式丁」[+,<2+sinx成立,即尸(力<2成立.
ln(l-X)x
2.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=er-e^
⑴若*g(x)</(a)成立,求實(shí)數(shù)”的取值范圍;
(2)證明:/7(月=/。)+$皿,工有且只有一個(gè)零點(diǎn)%,且g卜in$]<|'.
【答案】(1)?>1(2)證明見解析.
【分析】
(1)把已知條件轉(zhuǎn)化成大于g(x)在[0』上的最小值即可解決;
(2)先求導(dǎo)函數(shù),判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,圖像走勢(shì),再判斷函數(shù)零點(diǎn),隱零點(diǎn)問題重在
轉(zhuǎn)化.
解(1)由g(x)=e,—/得g'(x)=eX+eT>0,則g(x)在[0(上單調(diào)遞增,g(x)在[0,1]上
最小值為g(0)=e°—e°=0
若玉目0,1],g(x)</(a)成立,則必有〃叫>0由〃a)=lna>0,得0>1故實(shí)數(shù)。的取值
范圍為〃〉1
(2)/(x)=lnx,在(e,+8)上單調(diào)遞增,且人元)>1恒成立,y=sin(兀最小正周期
T--4en
冗,在(e,+8)上最小值為-1由此可知〃(x)=/(尤)+sin歹X在(e,+co)恒為正值,沒
2ee
有零點(diǎn).
下面看M尤)=/(x)+sin*x在(0,e]上的零點(diǎn)情況〃(x)=lnx+sinfx,xe(0,e],則
兀/r\兀
——XG(0,—
2e2_
/?(%)=—+—cos=%>0即/z(%)=In冗+sinC%在(0,e]單調(diào)遞增,
x2e2e2e
/z(1)=In1+sin^-=sin>0,
i1711.7t1.萬(wàn)八
=In—j=+sin---T==---1-sin---產(chǎn)<---1-sin—<0
Ve2e\/e22eve26
故//(x)=In%+sin/尤在(0,e]上有唯一零點(diǎn).綜上可知,g)=/(%)+sin(兀在(0,+oo)上有
且只有一個(gè)零點(diǎn).
令I(lǐng)n/+sin二/=0,則sin—x0=-lnx0o
2e22e
(兀Xc、sin2e2e,]
gsin-=e-e-e^=—-x0
k2e;x0
令"(%)=,一羽x£([,l),貝ij〃(x)=--?--l<0o即〃。)=」一%在(±1)上單調(diào)遞減,
x2xxe
心)=——x<n(-)=2--=-
x222
故有g(shù)(sin皆
【題型三】不等式證明8:極值點(diǎn)偏移之不含參型
【典例分析】
.已知函數(shù)〃x)=xlnx.
(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)。了⑴)處的切線方程;
(2)設(shè)再,9為兩個(gè)不相等的正數(shù),且/&)=/(%),證明:-<x}+x2<1.
【答案】(1)X—y—1=0;(2)證明見解析.
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求;
(2)①對(duì)不等式右側(cè)可以采用切線放縮來進(jìn)行證明;②不等式左側(cè)變形轉(zhuǎn)化為證明
解(1)切點(diǎn)為(1,0),/'(x)=lnx+l,左="1)=1,切線方程為y=x-l,即x一廠1=0;
(2)/'(x)=lnx+l,令f(x)=0=>x=J,且當(dāng)0<x<1時(shí),/(%)<0,〃x)單調(diào)遞減;
當(dāng)尤>:時(shí),/''(“>。,/'(X)單調(diào)遞增.:/&)=/(&),不妨設(shè)西<三,,。<玉<〉<龍2<1,
對(duì)不等式右側(cè)可以采用切線放縮來進(jìn)行證明.
注意到玉In%=々In/>%2,而不In再<一玉=>一玉>%xx+x2<l.
22121
再證左邊:要證:玉+工2>—,只需證明:%>——*?*0<——玉>一.
eeeee
又???馬>」,當(dāng)時(shí),/(x)單調(diào)遞增,故只需證明一看].
eeveJ
=—玉],構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)—/R-x],工403,
F(x)=xlnx-^—
Fr(x)=lnx+l+ln--x\+l=]n+2<ln4+2=0
e
—X)在(o,£|上單調(diào)遞減,尸⑺>U=0,
F(A-1)>0^>/(X1)=/(X2)>/|--Xj|^>x2>--Xj,:.-<x1+x2<l.
<eJee
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.求出函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)X。;
2.構(gòu)造一元差函數(shù)/(X)=/(/+x)—/(%—x);
3.確定函數(shù)B(x)的單調(diào)性;
4.結(jié)合口(0)=°,判斷/(幻的符號(hào),從而確定"/+x)、"%—?的大小關(guān)系
【變式演練】
1.已知函數(shù)/(%)=e"+COSX—a(QGR).
(1)當(dāng)。=1時(shí),判斷“%)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=e時(shí),若石e(0,萬(wàn))(百彳%),/(石)=/(々),且,⑴的極值在了=%處取得,證
明:xt+x2<2x0.
【答案】(1)/(x)在(0,+到上是增函數(shù).(2)證明見解析.
【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)/(X),設(shè)g(x)=/'(無),再求導(dǎo)g'(x),由g'(x)>0恒成立得,(x)
單調(diào)遞增,得/(無)>/'(。)=。,從而得〃x)的單調(diào)性;
(2)利用導(dǎo)數(shù)得出了。)的極小值點(diǎn)看,注意((尤。)=。,題設(shè)中/(占)=/(%),滿足
0<x1<x0<x2<7T,考慮到2%-X1>尤0,引入新函數(shù)力(x)=/(x)-/(2%-x),0<x<x0,
利用導(dǎo)數(shù)確定力(X)是單調(diào)增函數(shù),得以功<以%)=0,即得〃占)<定(2尤。一再),再利用占三
的關(guān)系,及函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
解(1)xe(0,+oo),a=l時(shí),/(%)=e'+cosx-x,/\x)=e'-sinx-1,
設(shè)g(x)=e*-sinx-I,則g'(x)=e*+cosx>0,尤>0時(shí),g'(x)>0恒成立,
所以g(x),即/(x)在(0,+電)上單調(diào)遞增,又((0)=0,所以x>0時(shí),((0)>0恒成立,
所以f(x)在(0,+co)上是增函數(shù).
(2)a=e,f(x)=e%+cosx-ex,f'(x)=eT-sinx-e,由(1)知/''(x)在(0,+℃)上是增
函數(shù),
/,(l)=-sinl<0,-O)=e"-e>0,所以/''(x)在(L兀),即在(0,萬(wàn))上存在唯一零點(diǎn)吃,
f'(.x0)=e&—sinx0-e=0,
0<了<尤0時(shí),f\x)<0,/(尤)遞減,Xo<x<"時(shí),f\x)>0,/(x)遞增.
%是函數(shù)/(x)的唯一極小值點(diǎn).若%,馬€(0,萬(wàn))(外H%),/(石)=/(馬),貝I]
0<<XQ<x2<7Tf
h(x)=f(x)-f(2xQ-x),0<x<x0,
x2xx
h(x)—f(x)—f(2x0—x)=e+cosx—ex—e0~—cos(2x0—x)—e(2x0—x)
x2x-x
=e—e°+cosx—cos(x-2x0)—2ex0,
r2xx
h(x)=e*+e°~—sinx+sin(x—2x0)
A
>2je".e2L-sinx+sin(冗-2x0)=2e%—sinx+sin(x-2x0)
由/'(%o)=e殉-sinx0-e=0得e*=sinx0+e,所以/(%)>2e+2sinx0-sinx+sin(x-2x0),
由0<%<工0<?,得Ovsin/Kl,0<sinx<l,又TWsin(x—2xo)(1,
所以hf(x)>2e+0-l+(-l)>0,所以h(x)是增函數(shù),
當(dāng)。<玉<%o時(shí),h(xl)<h(x0)=0,
所以/(%)—/(2/一玉)<。,/(x1)</(2x0-x1),又于(x"f(x”fQxo-xJ,
。<玉</<%2,所以2%0-%>%0,又%2>/,/(%)在(%,+8)上單調(diào)遞增,
所以%2<2%—%,所以為+%2<2%O.
2.已知函數(shù)"x)=lnx-g依2+1.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)。=1時(shí),設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為七,馬,試證明:xx+x2>2.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增;當(dāng)。>0時(shí),/(x)在,上單調(diào)
遞增,在(逅,+s]上單調(diào)遞減;(2)證明見解析.
【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)尸(無)無,討論。的取值范圍,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的
X
關(guān)系即可求解.
(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值,由零點(diǎn)存在性定理可得兩零點(diǎn)所在的區(qū)間,不妨設(shè)xax2,
則有0<%<1<9,構(gòu)造函數(shù)"x)=〃x)—/(2—x),xe(0,l),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)遞
增,從而可得〃不)<〃2-玉),再由〃玉)=/仁)=。即可求解.
解:(1)易得函數(shù)的定義域?yàn)?。,+s).對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得:f\x)=--ax.
X
當(dāng)時(shí),/(%)>0恒成立,即可知/(%)在(。,+e)上單調(diào)遞增;
當(dāng)〃>0時(shí),當(dāng)——時(shí),/((%)>0,當(dāng)xe,+00時(shí),/,(x)<0.
Ia)
7
故f(x)在|0,上單調(diào)遞增,在,+QO上單調(diào)遞減.
\7\7
11I—丫2
(2)當(dāng)4=1時(shí),f(x)=\nx—x2+l,尸(x)=L-x=匕匚,此時(shí)“X)在(0,1)上單調(diào)遞
2xx
增,在(1,+8)上單調(diào)遞減.
極大值=〃1)=3>°,又/<0,/(e)<0,不妨設(shè)&<三,則有。<不<1<三,
令尸(x)=y(x)-/(2-x),xe(o,l),
1-x2l-(2-x)\2(1-X)2
F(x)=/'(x)+—)=
x2—xx(2-尤)
當(dāng)xe(O,l)時(shí),F(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增,^£(0,1),.'.F(^)=/(A1)-/(2-X1)<F(1)=0,
又Q/(%)=/(w)=O,.?"(w)</(2f),
■.1x2>1,2->1,在(l,+8)上單調(diào)遞減,,%>2-項(xiàng),即為+3>2.
【題型四】不等式證明9:極值點(diǎn)偏移之含參型
【典例分析】
1
已知函數(shù)〃x)=—+—Inx-l(meR)的兩個(gè)零點(diǎn)為冷羽(不<樂).(1)求實(shí)數(shù)m的取
值范圍,”
4112
(3)求證:一+—>—.
玉/e
【答案】(I)[o,掾](2)見解析
【詳解】(i)y(x)=—彳+工=土孚,當(dāng)加(0時(shí),/'(力>0,
x2x2x
/(%)在(0,收)上單調(diào)遞增,不可能有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)相>0時(shí),由/'(尤)>0可解得尤>2w,由/'(尤)<0可解得0<%<2m,
所以/(%)在(0,2m)上單調(diào)遞減,在(2加,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增,所以
2m+ln2mL
/Wmin=/()=^1-
要使得〃尤)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn),則g+gln2m—1<0,解得0<m,
則m的取值范圍為
(2)令/=工,則/(x)=加工-gln
=,由題意知方程
xx2
皿-匕皿-1=0有兩個(gè)根,
2
即方程加=螞土2有兩個(gè)根,不妨設(shè)%=工,h=-1令/?(>)=則±2,
2t%%2t
則當(dāng)卜寸,力⑺單調(diào)遞增,卜寸,丸⑺單調(diào)遞減,綜上可知,
八〉一〉,2>0,
112221(2
要證---1--->—,即證%,即%〉----即證(
+L>—Z2>—,/Z/J</Z-----t2
xix2eeeeIe
(P⑺=/z(x)+/z
故原不等式成立.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決;
2.以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).
【變式演練】
1..已知函數(shù)/(x)=lnx.
(1)設(shè)函數(shù)g(x)=;-lnMfeR),且g(x)4〃”恒成立,求實(shí)數(shù),的取值范圍;
1o
(2)求證:/(x)>4--;
eex
(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)-依-'(acR)的兩個(gè)零點(diǎn)尤i、馬,求證:再%>2/.
,2
【答案】(1)t<—(2)證明見解析(3)證明見解析
e
【分析】(1)利用變量分離法得出Y2xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/<x)=2xlnx的最小值,
即可得出實(shí)數(shù)/的取值范圍;
x2
(2)證明出xlnx>土-*,即可證得結(jié)論成立;
(3)分析可得In(須々)-I%+%)=迤,證得土土三In三>2,利用基本不等式可
玉%2々一玉玉/一玉再
得出In/高-薪丁>1,構(gòu)造函數(shù)Q(x)=lnx-彳,分析看可知函數(shù)0(x)在(0,+功上為增
函數(shù),分析得出9(斥)>0(、&),結(jié)合函數(shù)0(x)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
解:(1)由g(x)4/(x)可得上-卜天4Inx,可得Y2xlnx,令=2xlnx,其中x>0,
X
貝i"/(x)=2(l+lnx),
當(dāng)0<x<』時(shí),//(x)<0,此時(shí)函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),//(x)>0,此時(shí)函數(shù)〃(%)
單調(diào)遞增,
所以,MM1nm=(:)=~|,所以,芯-1;
(2)解:要證f(x)>—---,即證xlnX>——,由(1)可知,xlnx>—,當(dāng)且僅當(dāng)x=—
eexeeee
時(shí),等號(hào)成立,令機(jī)(x)=W-2,其中x>o,貝IJN(X)=L^,當(dāng)Ovxvl時(shí),m(%)>0,
eee
此時(shí)函數(shù)加(%)單調(diào)遞增,
當(dāng)x>l時(shí),m(A:)<0,此時(shí)函數(shù)機(jī)(%)單調(diào)遞減,所以,m(x)max=m(l)=—,
因?yàn)閖dnx之一,和相(%)V取等的條件不同,故xlnx>W—2,即〃X)>二一2;
eeeeeex
11
(3)解:由題知In%—-=咐①,lnx2---=%②,①+②得
國(guó)X2
X,+x
In(玉馬)-2=。(占+9)③,
再入2
X(龍2-玉)④.③+④得心(內(nèi)尤2)—"'+')='+x;ln衛(wèi),
②-①得In?2—不—a
百毛XrX2%2一再再
不妨設(shè)。<玉〈尤2,記/=上>1.令*f)=ln"丑二則
玉t+1
/⑺=>4(I)一
>0,
(f+1廠
所以尸⑺在。,+8)上單調(diào)遞增,所以尸⑺>/⑴=0,則lnr>^^,即In三>2(。一占)
r+1玉%+%
2(%+%)=%七三]n強(qiáng)>2.因?yàn)?/p>
所以足優(yōu)馬)-
%泡
也(*2)_2(%+/)<4
'一‘%超7^
2212
所以21nJ%%/>2,即MJ%%-I--->1.令0(x)=ln%一一,^(x)=-+—>0,貝(J
,百%2[玉X2XXX
°(%)在(0,+e)上單調(diào)遞增.
r\1
—<1,所以In^^--^=>l>ln(>/2)2
又In(缶)--^=-ln2+l-e存即
')yjle2Y人1人2
夕(瓜京)>°(缶),所以占馬
2.已知函數(shù)/(%)=卜一4一工+。,?!晔?(1)若/(I)=2,求。的值;
(2)若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)玉,々,滿足/(%)=〃/),證明:
①2<%+/<2a;②生■<a?+1.
%
【答案】(1)2;(2)證明過程見解析.
【分析】(1)代入/(1)=2即可求出a的值;(2)①分情況討論,得到x<。時(shí)滿足題意,
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,不妨設(shè)0VAi構(gòu)造差函數(shù),證明極值點(diǎn)偏移問題;②在第一
問的基礎(chǔ)上進(jìn)行放縮即可證明..
解(1)由=l+a=2,化簡(jiǎn)得:[1—4=3一即兩邊平方,解得:a=2.
(2)不妨令石<乙,
①當(dāng)x>a時(shí),"x)=x-a-L+a=x一!在(0,+e)上單調(diào)遞增,故不能使得存在兩個(gè)不相等
XX
的正實(shí)數(shù)七,三,滿足/(占)=/(9),舍去;
當(dāng)尤=。時(shí),f(x)=a-L為定值,不合題意;
a
當(dāng)尤<a時(shí),/'(x)=2a-[x+:j,由對(duì)勾函數(shù)知識(shí)可知:當(dāng)aW1時(shí),/(x)=+在(0,a)
上單調(diào)遞增,/(勸=尤-:在(。,y)上單調(diào)遞增,兩個(gè)分段函數(shù)在x=a處函數(shù)值相同,故函
數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)為多,滿足了(再)=Ax?),
舍去;
當(dāng)時(shí),函數(shù)“X)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,。)上單調(diào)遞減,在(。,+8)上單調(diào)遞增,且
/(a)=2a-|?+即分段函數(shù)在x=a處函數(shù)值相等,要想存在兩個(gè)不相等的正實(shí)
數(shù)占,三,滿足/(%)=/(尤2),則不,三有三種類型,第一種:。<玉<1<無2<。,顯然玉+工2<2。,
4A(x)=/(x)-/(2-x),則硝)=0,當(dāng)xe(O,l)時(shí),
1192
hf(x)=f(x]+f(2-x]=-2+—+------>-2+———->-2+----------=0/、
LL'V(2-x)2x(2-x)廣+2-xj,即蛆)在
xw(O,l)單調(diào)遞增,所以=BP/(x)</(2-x),由于所以
/(^)</(2-^),乂因?yàn)?(%)=/(9),所以/(9)</(2-因?yàn)椋?gt;1,2-玉>1,而
在(L+CO)上單調(diào)遞減,所以即%+々>2,綜上:2<+%2<2a;第二種
情況:顯然滿足占+%>2,
接下來證明%+々<2a,令g(x)=/(%)—〃2。一力,則g(a)=0,當(dāng)xe(l,a)時(shí),
112
,,,
g(x)=/(.x)+/(2a-x)=-l+-7+l+-J=-7>0,即g(x)=/(x)-/(2a-x)^xe(l,a)
單調(diào)遞增,所以g(x)=/(x)—/(2a—x)<g(a)=0,又所以石)</(2。一%),
又f?)=f(xj,所以,因?yàn)?>“,2a-x,>a,在(a,+oo)上單調(diào)
遞增,所以9<2。-玉,即%+無2<2a,綜上:2<xx+x2<2a■第三種情況:。<尤]<1<a<W,
由第一種情況可知滿足玉+%>2,由第二種情況可知:x,+x2<2a,則2<X]+X2<2a,
綜上:2<^+x2<2a,證畢.
②由①可知:當(dāng)0<x<尤2<°時(shí),由/(網(wǎng))=/(無2)得:2a—IH—|=2a—Ix2-i|,整理
得:即強(qiáng)=生<二<1+42;
玉x2%1+玉1+玉
1(C11
當(dāng)。<F<Q<%2時(shí),x2---=2a—玉H—,整理得:x+x=2a-\,整理得:
%(占J12%玉
個(gè)+修嘰1+
——=—%2—%入2+2txX2+1=「+1+包2。),因?yàn)?<玉<。,所
玉44
以Ji-24<1+/,綜上:三</+i,證畢.
4%
【題型五】不等式證明10:三個(gè)“極值點(diǎn)(零點(diǎn))”不等式
【典例分析】
已知函數(shù)/'(幻二分班+人在匕?處的切線方程為2x-y-e=0.
(1)求函數(shù)“X)的解析式;
(2)當(dāng)0<相<:時(shí),若函數(shù)G(x)=%等的3個(gè)極值點(diǎn)分別為再,%,尤3(%<Z<鼻),
2八%)
求證:0<2X1<X2<1<X3.
【答案】(1)〃x)=xlnx(
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