高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第29講 8.4.1 平面（教師版）

第06講8.4.1平面課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解平面的表示方法，點、直線與平面的位置關(guān)系。②掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實。③會用符號表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系。1.認識新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)；2.讓學(xué)生經(jīng)歷將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言的過程；3.讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上形成三個基本事實和三個推論，初步體會歐幾里得公理化體系；知識點01：平面的概念與畫法（1）平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.平面是絕對平的；平面是無限延展的，不可度量；平面沒有厚度.（2）平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成,且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如圖(1).②如果一個平面被另一個平面遮擋住,為了增強它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖(2).（3）平面的表示平面通常用希臘字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面、平面等.知識點02：點、直線、平面之間的位置關(guān)系（是點，、是直線，、是平面）文字語言表達圖形語言表達符號語言表達點在直線上點在直線外點在平面內(nèi)點在平面外直線在平面內(nèi)直線在平面外平面,相交于知識點03：平面的基本性質(zhì)（1）基本事實1①過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面；②圖形語言：③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個平面是否重合；證明點線共面.④說明：對于基本事實1中的“有且只有一個”，這里的“有”是說圖形存在,“只有一個”是說圖形唯一,本公理強調(diào)的是存在性和唯一性兩個方面,因此“有且只有一個”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個”來代替“有且只有一個”.否則就沒有表達存在性.確定一個平面中的“確定”是“有且只有一個”的同義詞,也就是存在性和唯一性這兩個方面的,這個術(shù)語今后學(xué)習(xí)中會經(jīng)常出現(xiàn).（2）基本事實2①如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)；②符號語言和圖形語言符號語言：，，且，③應(yīng)用：判斷直線或點是否在平面內(nèi)的依據(jù).④說明：基本事實2表明，可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”.如圖,由基本事實勝于雄辯,給定不共線的三點,它們可以確定一個平面;連接,,,由基本事實2.這三條直線都在平面內(nèi)，進而連接這三條直線上任意兩點所得直線也都在平面內(nèi),所有這些直線可以編織成一個“直線網(wǎng)”，這個“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面.組成“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”.（3）基本事實3①如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線②符號語言和圖形語言，且③應(yīng)用：判斷兩平面是否相交及確定交線的依據(jù)；證明三點共線；證明三線共點；作兩平面的交線.④說明：基本事實3告訴我們，如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交于過這個公共點的一條直線.兩個平面相交成一條直線的事實，使我們進一步認識了平面的“平”和“無限延展”.知識點04：基本事實1和基本事實2的三個推論（1）推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面（2）推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面（3）推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面【即學(xué)即練1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）有下列四個判斷：①兩條相交直線確定一個平面；②兩條平行直線確定一個平面；③三個點確定一個平面；④一條直線和一點確定一個平面.正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】兩條相交直線確定一個平面，兩條平行直線確定一個平面，①②正確.在同一直線上的三個點不能確定一個平面，③錯誤.直線和直線上一點不能確定一個平面，④錯誤.所以正確的個數(shù)為個.故選：B題型01文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【詳解】由題意用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，即，，故選：A【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，點，線，面之間的數(shù)學(xué)符號語言關(guān)系為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】由圖可知：，故選：B【典例3】（2023下·高一課時練習(xí)）已知，為不重合的兩個平面，A，B，M，N為空間中不同的四個點，a為直線，則下列推理正確的是.（填序號）①，，，；②，，，；③，.【答案】①②【詳解】對于①，，，，，由基本事實：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，可知，故①正確；對于②，由，，可知，同理，，所以，故②正確；對于③，若，，則，由基本事實：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，可知是經(jīng)過點A的一條直線而不是點A，故③不正確.故答案為：①②【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如果A點在直線上，而直線在平面內(nèi)，點在內(nèi)，可以用集合語言和符號表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【詳解】A點在直線上，而直線在平面內(nèi)，點B在內(nèi)，表示為：，，．故選：B.【變式2】（2023上·新疆阿克蘇·高二校考階段練習(xí)）用集合符號表示下列語句：(1)點在直線上，點不在直線上；(2)平面與平面相交于過點的直線．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）點在直線上，點不在直線上可表示為：（2）平面與平面相交于過點的直線可表示為：題型02平面性質(zhì)基本事實及推論的應(yīng)用【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【詳解】

如圖，取AB的中點G，連接GE，，．因為E為BC的中點，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長為．故選：A．【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的正方體中，是棱上的一點，試說明、、三點確定的平面與平面相交，并畫出這兩個平面的交線.【答案】答案見解析【詳解】解：延長、交于點，連接交于點，則平面與平面的交線為，證明如下：因為，平面，則平面，，平面，平面，又因為為平面和平面的公共點，則平面與平面的交線為.【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)平面與平面相交于直線,直線，直線,,則M（用符號表示）．【答案】【詳解】因為，直線，直線，所以，又平面與平面相交于直線，所以點在直線上，即.故答案為：.【變式2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在長方體，P為棱的中點，畫出由，，P三點所確定的平面與長方體表面的交線．

【答案】畫圖見解析【詳解】如圖，由于P是上的點，所以平面，且平面，所以平面平面=，同理，平面平面=，平面平面=，所以平面與長方體表面的交線是，，.作法：連接，，，它們就是平面與長方體表面的交線（如圖）．

題型03四點共面問題【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在正方體中，、、、分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中、、、四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于選項，如下圖，點、、、確定一個平面，該平面與底面交于，而點不在平面上，故、、、四點不共面；對于選項，連結(jié)底面對角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點共面對于選項C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點不在該平面內(nèi)，故、、、四點不共面；對于選項D，如圖，取部分棱的中點，順次連接，得一個正六邊形，即點、、確定的平面，該平面與正方體正面的交線為，而點不在直線上，故、、、四點不共面．故選：B【典例2】（多選）（2023上·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體中，為的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點共線 B．四點共面C．四點共面 D．四點共面【答案】ABC【詳解】

連接，，，因為為的中點，所以，平面平面，因為平面，平面，所以點是平面和平面的交點，所以，，，三點共線，故A正確；因為，，三點共線，所以，，，四點共面，，，，四點共面，故BC正確；取中點，連接交于點，由題意得，，所以，即為的三等分點，因為，，不共線，平面，平面，為的中點，所以點平面，，，，四點不共面，故D錯.故選：ABC.【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在長方體中，點為正方形的中心，點為的中點，點為的中點，則（

）A．、、、四點共面，且與平行B．、、、四點共面，且與相交C．、、、四點共面，且與平行D．、、、四點不共面【答案】C【詳解】連接，因為為正方形的中心，則為的中點，因為，為的中點，故、、、四點共面，且與相交，連接、，因為、分別為、的中點，則，故選：C.【變式2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點，E、F分別是AB、BC邊上的點，且.求證：E、F、G、H四點共面；【答案】證明見解析【詳解】連接，因為H、G分別是AD、CD的中點，所以，又，所以，所以，所以E、F、G、H四點共面.【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四面體中，分別是，的中點，分別是，上的點，且.求證：（1）四點共面；【詳解】（1）連接，，分別是的中點，.又，，，四點共面.題型04三點共線問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點．求證：P，Q，R三點在同一直線上．【答案】證明見解析【詳解】由，可知點，且平面ABC，可知點平面ABC，又，所以點P在平面ABC與平面的交線上，同理可得：點Q，R均在平面ABC與平面的交線上，所以P，Q，R三點共線．【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且．設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．【答案】證明見解析【詳解】因為，所以．由已知可得，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC．同理，平面ADC，平面ADC．所以為平面ABC與平面ADC的一個公共點．又平面平面，所以，所以P，A，C三點共線．【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在正方體中，棱長，M，N，P分別是，，的中點．(1)直線交PN于點E，直線交平面MNP于點F，求證：M，E，F(xiàn)三點共線．(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：，，，則平面，平面MPN又，平面，又平面PMN，平面平面，平面，平面PMN，平面，點F在直線ME上，則M，E，F(xiàn)三點共線．（2）解：，又，【變式2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.【答案】證明見解析【詳解】證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P，Q，R三點共線.法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點共線.題型05三線共點問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．

(1)求證：直線、、交于一點；(2)若，求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接、，因為、分別為、的中點，所以且．因為是直四棱柱，且底面是正方形，所以，且，即四邊形是平行四邊形，所以且，所以，且，所以四邊形為梯形，所以與交于一點，記為，即，且平面，平面，所以平面，平面，又因為平面平面，則直線，所以直線、、交于一點.（2）連接，由題意可得：.

【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在正四棱臺中，．(1)求正四棱臺的體積；(2)若分別為棱的中點，證明：相交于一點．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）連接，取分別為和的中點，因為為正四棱臺，所以，且為的高，因為，所以，所以正四棱臺的體積為；（2）因為分別為棱的中點，所以，，所以，所以為梯形，則與必相交，設(shè)，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面，又平面平面，所以，所以交于一點.【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點．【答案】證明見解析【詳解】證明連接GE，HF.因為E，G分別為BC，AB中點，所以.因為DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.從而GE∥HF且，故G，E，F(xiàn)，H四點共面且四邊形為梯形，因為EF與GH不能平行，設(shè)EF∩GH＝O，則O∈平面ABD，O∈平面BCD.而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一點．【變式2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，不共面的四邊形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求證：三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點．【答案】證明見解析【詳解】因為在梯形ABB'A'中，A'B'∥AB，所以AA'，BB'在同一平面A'B內(nèi)．設(shè)直線AA'，BB'相交于點P，如圖所示．同理BB'，CC'同在平面BC'內(nèi)，CC'，AA'同在平面A'C內(nèi)．因為P∈AA'，AA'?平面A'C，所以P∈平面A'C．同理點P∈平面BC'，所以點P在平面A'C與平面BC'的交線上，而平面A'C∩平面BC'=CC'，故點P∈直線CC'，即三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國·高二專題練習(xí)）三個平面不可能將空間分成（

）個部分A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】分三個平面互相平行，三個平面有兩個平行，第三個平面與其它兩個平面相交，三個平面交于一條直線，三個平面兩兩相交且三條交線平行，三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，五種情況討論即可.【詳解】若三個平面互相平行，則可將空間分為4個部分；若三個平面有兩個平行，第三個平面與其它兩個平面相交，則可將空間分為6個部分；若三個平面交于一條直線，則可將空間分為6個部分；若三個平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分為7部分；若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，則可將空間分為8部分故n的取值為4，6，7，8，所以n不可能是5.故選：A.2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）下列各圖符合立體幾何作圖規(guī)范要求的是（）A．直線在平面內(nèi) B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面【答案】D【分析】直接根據(jù)立體幾何作圖規(guī)范要求依次判斷即可.【詳解】若直線在平面內(nèi)，應(yīng)將直線畫在平面內(nèi)，A錯誤；平面與平面相交時，兩個平面相交于直線，而不是點，B錯誤；直線與平面相交，看不到的部分應(yīng)當(dāng)畫虛線，C錯誤；兩直線異面滿足作圖規(guī)范.故選：D3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】按照畫法原則進行判斷即可.【詳解】對于A，圖中沒有畫出平面與平面的交線，故A不正確；對B，C，圖中的虛實線沒有按照畫法原則去畫，故B，C不正確；對D，符合畫法原則，故D正確，故選：D4．（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）若點A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根據(jù)點線面的關(guān)系結(jié)合元素和集合、集合與集合的關(guān)系直接寫出即可.【詳解】因為直線和平面都是由點形成的，所以根據(jù)元素與集合的關(guān)系知，點A在平面內(nèi)表示為，點A不在直線l上表示為，根據(jù)集合與集合的關(guān)系知，直線l在平面內(nèi)可表示為.故選：B5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下面表述與結(jié)論都正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)點在線上，；線在平面內(nèi)，；點在平面內(nèi)，，和公理1依次判斷可得答案．【詳解】解：對，，，所以直線在平面內(nèi)，即，故錯誤；對，直線在平面內(nèi)，應(yīng)為，故錯誤；對，，，，故正確；對，，，有可能，故錯誤．故選：．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合B．若四點不共面，則其中任意三點不共線C．空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)D．三個不重合的平面最多可將空間分成七個部分【答案】B【分析】A.這兩個平面可能相交或重合，所以該選項錯誤；B.該選項正確；C.空間中，相交于同一點的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，所以該選項錯誤；D.三個不重合的平面最多可將空間分成八個部分，所以該選項錯誤.【詳解】A.如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面可能相交或重合，所以該選項錯誤；B.若四點不共面，則其中任意三點不共線，所以該選項正確；C.空間中，相交于同一點的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，如三棱錐,相交于同一點的三條直線不在同一平面內(nèi)，所以該選項錯誤；D.三個不重合的平面最多可將空間分成八個部分，所以該選項錯誤.故選：B二、多選題7．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面一定是矩形B．三個平面至多將空間分為3個部分C．圓臺可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成D．任意五棱錐都可以分成3個三棱錐【答案】CD【分析】利用斜棱柱的側(cè)面可判斷A選項；取三個兩兩相互垂直的平面可判斷B選項；利用圓臺的形成可判斷C選項；利用五棱錐的結(jié)構(gòu)特征可判斷D選項.【詳解】對于A選項，斜棱柱的側(cè)面不一定是矩形，A錯；對于B選項，若三個平面兩兩垂直，則這三個平面可將空間分為個部分，B錯；對于C選項，圓臺可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成，C對；對于D選項，一個五邊形可分為三個三角形，所以，任意五棱錐都可以分成個三棱錐，D對.故選：CD.8．（2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）下面四個命題中，正確的為（

）A．相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)．B．在平面外，其三邊延長線分別和交于P，Q，R，則P，Q，R一定共線C．一個角的兩邊所在直線分別平行于另一個角的兩邊所在直線，則這兩角相等D．在三維空間中，三個平面最多把空間分成八部分．【答案】BD【分析】舉例說明判斷A；利用平面基本事實判斷B；利用等角定理判斷C；求出三個平面分空間所成部分數(shù)的最大值判斷D作答.【詳解】對于A，三棱錐的三條側(cè)棱所在直線交于同一點，而這三條直線不共面，A錯誤；對于B，所在平面與平面相交，由平面基本事實知，公共點都在交線上，B正確；對于C，一個角的兩邊所在直線分別平行于另一個角的兩邊所在直線，則這兩角相等或互補，C錯誤；對于D，當(dāng)三個平面互相平行時，三個平面分空間成4部分；當(dāng)兩個平面平行，與第三個都相交或三個平面相交于一條直線時，三個平面分空間成6部分；當(dāng)三個平面兩兩相交，有3條交線，且3條交線平行時，三個平面分空間成7部分；當(dāng)三個平面兩兩相交，有3條交線，且3條交線交于一點時，三個平面分空間成8部分，所以三個平面最多把空間分成8部分，D正確.故選：BD三、填空題9．（2023·全國·高三對口高考）一個平面把空間分為部分；兩個平面把空間分為部分；三個平面把空間分為部分．【答案】或或或或【分析】根據(jù)空間中平面與平面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】一個平面把空間分為部分；兩個平行平面將空間分成部分，兩個相交平面可以將空間分成部分，故兩個平面將空間分成或部分；當(dāng)三個平面互相平行時，將空間分成部分，如圖1所示；當(dāng)有兩個平面平行，第三個平面與這兩個面都相交，此時將空間分成部分，如圖2所示；當(dāng)三個平面兩兩相交于一條直線時，可以把空間分成部分，如圖3所示；當(dāng)三個平面兩兩相交，且三條直線互相平行時，將空間分成部分，如圖4所示；當(dāng)兩個平面豎著相交，第三個平面與這兩個平面相交，即三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點時，此時可將空間分成部分，如圖5所示；綜上可得三個平面把空間分為或或或部分.

故答案為：；或；或或或10．（2023上·高二課時練習(xí)）空間不共線的四點，可能確定個平面．【答案】或【詳解】空間四點中，任意三點都不共線時，可確定個平面，當(dāng)四點共面時，可確定個平面，故空間不共線四點，可確定個或個平面．四、解答題11．（2023下·黑龍江大慶·高一校考期中）（1）直線和兩條異面直線都相交，畫出每兩條相交直線所確定的平面，并標(biāo)上字母；（2）如圖，已知是空間四點，且點在同一直線上，點不在直線上．求證：直線在同一平面內(nèi)．

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意直接畫圖即可，（2）根據(jù)平面基本性質(zhì)結(jié)合題意證明即可.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫出的圖形如圖所示：

直線和直線所確定的平面為，直線直線所確定的平面為．（2）證明：因為點在同一直線上，點不在直線上，所以點確定唯一的一個平面，設(shè)為，所以，因為，所以，所以，所以，即直線在同一平面內(nèi)．

12．（2023下·高一單元測試）如圖，P是所在平面外一點，分別是和的中點，試過點做平行于的平面，要求：

(1)畫出平面分別與平面，平面，平面的交線；(2)試對你的畫法給出證明．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析分析】（1）分別過點作交于E，過M點作交于F，連結(jié)，即為平面與平面，平面，平面的交線．（2）首先證明直線與共面，然后證明平面即為所求的平面．【詳解】（1）

過點作交于E，過M點作交于F，連結(jié)，則平面為平行于的平面，分別是平面與平面，平面，平面的交線．（2），．直線與共面，分別是平面與平面，平面，平面的交線．平面，平面，平面．∴平面為所求的平面．B能力提升1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【分析】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.【詳解】

如圖，取AB的中點G，連接GE，，．因為E為BC的中點，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長為．故選：A．2．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過點作于點，結(jié)合已知得，由棱臺體積公式得，由勾股定理得，再求出的長，最終根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得解.【詳解】如圖所示，過點作于點，因為，所以，則四棱臺的高為，則四棱臺的體積為，解得，所以側(cè)棱長為.如圖所示：過于點，于點，連接，由對稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點，使得，易得，所以截面多邊形的周長為.故選：D.3．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，M為底面的中心，，，N為線段AQ的中點，則（

）

A．CN與QM共面B．三棱錐的體積跟的取