2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第48煉 多變量表達(dá)式范圍數(shù)形結(jié)合含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第48煉多變量表達(dá)式范圍數(shù)形結(jié)合第48煉多變量表達(dá)式的范圍——數(shù)形結(jié)合一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、數(shù)形結(jié)合的適用范圍：（1）題目條件中含有多個(gè)不等關(guān)系，經(jīng)過分析后可得到關(guān)于兩個(gè)變量的不等式組（2）所求的表達(dá)式具備一定的幾何意義（截距，斜率，距離等）2、如果滿足以上情況，則可以考慮利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決3、高中知識(shí)中的“線性規(guī)劃”即為數(shù)形結(jié)合求多變量表達(dá)式范圍的一種特殊情形，其條件與所求為雙變量的一次表達(dá)式4、有些利用數(shù)形結(jié)合解決的題目也可以使用放縮消元的方式進(jìn)行處理，這要看所給的不等條件（尤其是不等號(hào)方向）是否有利于進(jìn)行放縮。二、典型例題例1：三次函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：先由減函數(shù)的條件得到的關(guān)系，，所以時(shí)，恒成立，通過二次函數(shù)圖像可知：，由關(guān)于的不等式組可想到利用線性規(guī)劃求得的取值范圍，通過作圖可得答案：D例2：設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的都有恒成立，如果實(shí)數(shù)滿足不等式組，那么的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：首先考慮變形，若想得到的關(guān)系，那么需要利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)變?yōu)槔ㄌ?hào)內(nèi)式子的大小。由可得：，所以關(guān)于中心對(duì)稱，即，所以：，利用單調(diào)遞增可得：，所以滿足的條件為①，所求可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，考慮數(shù)形結(jié)合。將①作出可行域，為以為圓心，半徑為的圓的右邊部分（內(nèi)部），觀察圖像可得該右半圓距離原點(diǎn)的距離范圍是，所以答案：C例3：已知函數(shù)是上的減函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若實(shí)數(shù)滿足不等式，且，則的取值范圍是_____思路：從所求出發(fā)可聯(lián)想到與連線的斜率，先分析已知條件，由對(duì)稱性可知為奇函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)遞減的性質(zhì)可將所解不等式進(jìn)行變形：，即，所以有。再結(jié)合可作出可行域（如圖），數(shù)形結(jié)合可知的范圍是答案：例4：已知是三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：由極值點(diǎn)可想到方程的根，，依題意可得：的兩根分別在中，由二次函數(shù)圖像可知：，且所求可視為與定點(diǎn)連線的斜率，所以想到線性規(guī)劃，通過作出可行域，數(shù)形結(jié)合可知的范圍是答案：A例5：已知實(shí)系數(shù)方程的三個(gè)根可以作為一橢圓，一雙曲線，一拋物線的離心率，則的取值范圍是_________思路：以拋物線離心率為突破口可得是方程的根，設(shè)，則，從而，進(jìn)而因式分解可知，所以橢圓與雙曲線的離心率滿足方程，設(shè)，則由橢圓與雙曲線離心率的范圍可知一根在，一根在，所以，由不等式組想到利用線性規(guī)劃求的范圍，即可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的范圍。通過作圖即可得到答案：例6：已知三個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是______思路：考慮將條件向與有關(guān)的式子進(jìn)行變形，從而找到關(guān)于的條件：，可發(fā)現(xiàn)不等式組只與相關(guān)，不妨設(shè)，則不等式組轉(zhuǎn)化為：即，所求恰好為的范圍，作出可行域即可得到的范圍為答案：例7：設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量，，若，則的最大值為（）A．4B．3C．5D．6思路：本題的變量較多，首先要確定核心的變量。題目所求為的表達(dá)式。所以可視其為核心變量，若要求得的最值，條件需要關(guān)于的不等式組。所以考慮利用與的關(guān)系將原先關(guān)于的不等式組替換為關(guān)于的等式組即可解：設(shè)，代入到約束條件中可得：，作出可行域即可解出的最大值為答案：A例8：若實(shí)數(shù)滿足條件，則的取值范圍是_________思路：考慮所求式子中可變?yōu)椋栽阶冃螢椋?，可視為關(guān)于的二次函數(shù)，設(shè)，其幾何含義為與連線的斜率，則由雙曲線性質(zhì)可知該斜率的絕對(duì)值小于漸近線的斜率，即，則答案：小煉有話說：本題也可以考慮利用三角換元。設(shè)，從而原式轉(zhuǎn)化為：，由可知的范圍為例9：（2016，天津六校聯(lián)考）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是________思路：由，可建立直角坐標(biāo)系，建立圓模型：，則圓上的點(diǎn)為，所求分式可聯(lián)想到斜率，即可視為兩點(diǎn)連線的斜率。數(shù)形結(jié)合可得：過的直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)斜率的取值范圍，設(shè)，即，解得：答案：例10：（2012江蘇）已知正數(shù)滿足：，則的取值范圍是________思路：可先將所給不等式進(jìn)行變形：，，從而將所給不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系，為了視覺效果可設(shè)，則已知條件為：，而所求為，即可行域中的點(diǎn)與連線的斜率。數(shù)形結(jié)合即可得到斜率的范圍是，其中為與原點(diǎn)連線的斜率，為過原點(diǎn)且與曲線相切的切線斜率答案：小煉有話說：本題也可以用放縮的方法求得最值，過程如下：因?yàn)榱硪环矫妫海O(shè)，則可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即，令，則有綜上所述：第49煉等差數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、定義：數(shù)列若從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，則稱是等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為的公差，通常用表示2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，此通項(xiàng)公式存在以下幾種變形：（1），其中：已知數(shù)列中的某項(xiàng)和公差即可求出通項(xiàng)公式（2）：已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)即可求出公差，即項(xiàng)的差除以對(duì)應(yīng)序數(shù)的差（3）：已知首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差即可計(jì)算出項(xiàng)數(shù)3、等差中項(xiàng)：如果成等差數(shù)列，則稱為的等差中項(xiàng)（1）等差中項(xiàng)的性質(zhì)：若為的等差中項(xiàng)，則有即（2）如果為等差數(shù)列，則，均為的等差中項(xiàng)（3）如果為等差數(shù)列，則注：①一般情況下，等式左右所參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)可以是多個(gè)，但要求兩邊參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)相等。比如，則不一定成立②利用這個(gè)性質(zhì)可利用序數(shù)和與項(xiàng)數(shù)的特點(diǎn)求出某項(xiàng)。例如：，可得，即可得到，這種做法可稱為“多項(xiàng)合一”4、等差數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系：，所以該通項(xiàng)公式可看作關(guān)于的一次函數(shù)，從而可通過函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的性質(zhì)。例如：，遞增；，遞減。5、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：，此公式可有以下變形：（1）由可得：，作用：在求等差數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，不一定必須已知，只需已知序數(shù)和為的兩項(xiàng)即可（2）由通項(xiàng)公式可得：作用：①這個(gè)公式也是計(jì)算等差數(shù)列前項(xiàng)和的主流公式②，即是關(guān)于項(xiàng)數(shù)的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)，可記為的形式。從而可將的變化規(guī)律圖像化。（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎堑闹虚g項(xiàng)，所以此公式體現(xiàn)了奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的聯(lián)系當(dāng)時(shí)，即偶數(shù)項(xiàng)和與中間兩項(xiàng)和的聯(lián)系6、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題：此類問題可從兩個(gè)角度分析，一個(gè)角度是從數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)分析，另一個(gè)角度是從前項(xiàng)和公式入手分析（1）從項(xiàng)的特點(diǎn)看最值產(chǎn)生的條件，以4個(gè)等差數(shù)列為例：通過觀察可得：為遞增數(shù)列，且，所以所有的項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和只有最小值，即，同理中的項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所以前項(xiàng)和只有最大值，即。而雖然是遞減數(shù)列，但因?yàn)?，所以直到，從而?項(xiàng)和最大，同理，的前5項(xiàng)和最小。由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對(duì)于等差數(shù)列，當(dāng)首項(xiàng)與公差異號(hào)時(shí)，前項(xiàng)和的最值會(huì)出現(xiàn)在項(xiàng)的符號(hào)分界處。（2）從的角度：通過配方可得，要注意，則可通過圖像判斷出的最值7、由等差數(shù)列生成的新等差數(shù)列（1）在等差數(shù)列中，等間距的抽出一些項(xiàng)所組成的新數(shù)列依然為等差數(shù)列例如在，以3為間隔抽出的項(xiàng)仍為等差數(shù)列。如何判定等間距：序數(shù)成等差數(shù)列，則項(xiàng)之間等間距（2）已知等差數(shù)列，設(shè)，，則相鄰項(xiàng)和成等差數(shù)列（3）已知為等差數(shù)列，則有：①為等差數(shù)列，其中為常數(shù)②為等差數(shù)列，其中為常數(shù)③為等差數(shù)列①②③可歸納為也為等差數(shù)列8、等差數(shù)列的判定：設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為（1）定義（遞推公式）：（2）通項(xiàng)公式：（關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)）（3）前項(xiàng)和公式：注：若，則從第二項(xiàng)開始呈現(xiàn)等差關(guān)系（4）對(duì)于，，即從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)二、典型例題：例1：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則_________思路：由可得：，即。而，所以不是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，考慮，所以答案：小煉有話說：關(guān)于等差數(shù)列錢前項(xiàng)和還有這樣兩個(gè)結(jié)論：（1）若，則（本題也可用此結(jié)論：，從而利用奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系可得）（2）若，則有例2：已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則_______思路：條件與所求都是“”的形式，由為等差數(shù)列可得也為等差數(shù)列，所以為的等差中項(xiàng)，從而可求出的值解：為等差數(shù)列也為等差數(shù)列答案：例3：設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.B.C.D.思路一：已知等差數(shù)列兩個(gè)條件即可嘗試求通項(xiàng)公式，只需將已知等式寫成關(guān)于的方程，解出后即可確定通項(xiàng)公式或者數(shù)列中的項(xiàng)解：思路二：本題還可抓住條件間的聯(lián)系簡(jiǎn)化運(yùn)算。已知，從而聯(lián)想到可用表示，即，所以等式變?yōu)椋?，所以可得。答案：A小煉有話說：思路一為傳統(tǒng)手段，通常將已知兩個(gè)等式變形為的二元方程，便可求解。但如果能夠觀察出條件間的聯(lián)系，往往能通過巧妙的變形簡(jiǎn)化計(jì)算過程。在平時(shí)的練習(xí)中建議大家多嘗試思路二的想法，努力找到條件間的聯(lián)系，靈活利用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行變形。而思路一可作為“預(yù)備隊(duì)”使用。例4：在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于（）A.B.C.D.思路：由觀察到的特點(diǎn)，所以考慮數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列前項(xiàng)和特征可得，從而可判定為等差數(shù)列，且可得公差，所以，所以，即答案：B例5：已知為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，若，則_____思路：，所求可發(fā)現(xiàn)分子分母的項(xiàng)序數(shù)相同，結(jié)合條件所給的是前項(xiàng)和的比值。考慮利用中間項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，有：，將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的比值，從而代入即可求值：答案：小煉有話說：等差數(shù)列中的項(xiàng)與以該項(xiàng)為中間項(xiàng)的前項(xiàng)和可搭建橋梁：，這個(gè)橋梁往往可以完成條件中有關(guān)數(shù)列和與項(xiàng)之間的相互轉(zhuǎn)化。例6：已知等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項(xiàng)和等于（）A.B.C.D.思路：求前30項(xiàng)和，聯(lián)想到公式，則只需。由條件可得：，所以，所以答案：D例7：已知等差數(shù)列中，，則的值為___________思路：條件為相鄰4項(xiàng)和，從而考慮作差能解出數(shù)列的公差：，可得：，解得，考慮，所以答案：小煉有話說：本題在解題過程中突出一個(gè)“整體”的思想，將每一個(gè)四項(xiàng)和都視為整體，同時(shí)在等差數(shù)列中相鄰項(xiàng)和的差與公差相關(guān)，從而解出公差并求出表達(dá)式的值例8：等差數(shù)列有兩項(xiàng)，滿足，則該數(shù)列前項(xiàng)之和為（）A.B.C.D.思路：可根據(jù)已知兩項(xiàng)求出公差，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行求和即可解：答案：C例9：在等差數(shù)列中，，若其前項(xiàng)和為，且，那么當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（）A.B.C.D.思路一：考慮從的項(xiàng)出發(fā)，由可得，可得，因?yàn)?，所以，從而最大思路二：也可從的圖像出發(fā)，由可得圖像中是對(duì)稱軸，再由與可判斷數(shù)列的公差，所以為開口向下的拋物線，所以在處取得最大值答案：D例10：設(shè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的取值范圍是___________思路：將用進(jìn)行表示，從而方程變形為含的方程。而的取值只需讓關(guān)于的方程有解即可，所以通過求出的范圍解：所以關(guān)于的方程應(yīng)該有解解得或答案：或第50煉等比數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：數(shù)列從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為數(shù)列的公比注：非零常數(shù)列既可視為等差數(shù)列，也可視為的等比數(shù)列，而常數(shù)列只是等差數(shù)列2、等比數(shù)列通項(xiàng)公式：，也可以為：3、等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則稱為的等比中項(xiàng)（1）若為的等比中項(xiàng)，則有（2）若為等比數(shù)列，則，均為的等比中項(xiàng)（3）若為等比數(shù)列，則有4、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，則為常數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，則可變形為：，設(shè)，可得：5、由等比數(shù)列生成的新等比數(shù)列（1）在等比數(shù)列中，等間距的抽取一些項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列（2）已知等比數(shù)列，則有①數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列②數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列，特別的，當(dāng)時(shí)，即為等比數(shù)列③數(shù)列為等比數(shù)列④數(shù)列為等比數(shù)列6、相鄰項(xiàng)和的比值與公比相關(guān)：設(shè)，則有：特別的：若，則成等比數(shù)列7、等比數(shù)列的判定：（假設(shè)不是常數(shù)列）（1）定義法（遞推公式）：（2）通項(xiàng)公式：（指數(shù)類函數(shù)）（3）前項(xiàng)和公式：注：若，則是從第二項(xiàng)開始成等比關(guān)系（4）等比中項(xiàng)：對(duì)于，均有8、非常數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的關(guān)系，因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以有例1：已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則________思路：因?yàn)?，代入條件可得：，因?yàn)椋?，所以答案：?：已知為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.思路一：由可求出公比：，可得，所以思路二：可聯(lián)想到等比中項(xiàng)性質(zhì)，可得，則，由等比數(shù)列特征可得奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以答案：D小煉有話說：思路二的解法盡管簡(jiǎn)單，但是要注意雙解時(shí)要驗(yàn)證項(xiàng)是否符合等比數(shù)列特征。例3：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.思路：由等比數(shù)列的結(jié)論可知：非常數(shù)列的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為的形式，所以，即答案：A例4：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，則（）A.B.C.D.思路：由可得：，可發(fā)現(xiàn)只有分子中的指數(shù)冪不同，所以作商消去后即可解出，進(jìn)而可計(jì)算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.B.C.D.思路：與條件聯(lián)系，可將所求表達(dá)式向靠攏，從而，即所求表達(dá)式的值為答案：C例6：已知等比數(shù)列中，則其前5項(xiàng)的和的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：條件中僅有，所以考慮其他項(xiàng)向靠攏，所以有，再求出其值域即可解：，設(shè)，所以答案：A例7：已知數(shù)列是首項(xiàng)不為零的等比數(shù)列，且公比大于0，那么“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：在等比數(shù)列中，數(shù)列的增減受到的符號(hào)，與的影響。所以在考慮反例時(shí)可從這兩點(diǎn)入手。將條件轉(zhuǎn)為命題：“若，則數(shù)列是遞增數(shù)列”，如果，則是遞減數(shù)列，所以命題不成立；再看“若數(shù)列是遞增數(shù)列，則”，同理，如果，則要求，所以命題也不成立。綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件答案：D例8：在等比數(shù)列中，若，則（）A.B.C.D.解：條件與結(jié)論分別是的前項(xiàng)和與倒數(shù)和，所以考慮設(shè)，則所以答案：B例9：已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則（）A.B.C.D.思路：所求分式中的分子和分母為相鄰4項(xiàng)和，則兩式的比值與相關(guān)，所以需要求出。由條件，將等式中的項(xiàng)均用即可求出。從而解得表達(dá)式的值解：成等差數(shù)列將代入等式可得：，而為正項(xiàng)數(shù)列，所以不符題意，舍去答案：C例10：在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則滿足的最大正整數(shù)的值為____________思路：從已知條件入手可求得通項(xiàng)公式：，從而所滿足的不等式可變形為關(guān)于的不等式：，由的指數(shù)冪特點(diǎn)可得：，所以只需，從而解出的最大值解：設(shè)的公比為，則有解得：（舍）或所以所解不等式為：可解得：的最大值為答案：三、歷年好題精選（等差等比數(shù)列綜合）1、已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.2、已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.B.C.D.3、（2016，內(nèi)江四模）若成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)：①②③，必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.34、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A.B.C.D.5、（2016，新余一中模擬）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，若，為數(shù)列前項(xiàng)和，則的最小值為（）A.B.C.D.6、（2015，北京）設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則7、（2015，廣東）在等差數(shù)列中，若，則______8、（2014，北京）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)______時(shí)，的前項(xiàng)和最大9、（2015，福建）若是函數(shù)的兩不同零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A.B.C.D.10、已知是等差數(shù)列，公差，其前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.11、（2014，廣東）若等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則12、（2014，安徽）數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則_______13、（2014，新課標(biāo)全國卷I）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，其中為常數(shù)（1）證明：（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由14、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.B.C.D.15、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則中最大的項(xiàng)為（）A.B.C.D.16、（2014，湖北）已知等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由習(xí)題答案：1、答案：C解析：