2023-2024學(xué)年湖南高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年湖南高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知直線/nx—2y+l=0,12：x-(m—\)y—\=0,則“m=2"是"http://平行于/z”的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得加，再結(jié)合充分必要條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由直線"平行于/2得一，〃("?-1)="(-2),得用=2或加=-1,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)機(jī)=一

1時(shí)，直線-與/2重合,舍去，所以“冽=2”是*平行于/2”的充要條件,

故選C.

本題考查兩直線平行的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎(chǔ)題

2.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有這樣一道題目：把100個(gè)面

包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的,是較小的兩份之和，則

7

最小的一份為()

510511

A.-B.—C.-D.—

3366

【正確答案】A

【分析】設(shè)5?人分到的面包數(shù)量從小到大記為{%},設(shè)公差為d,可得

/+%+%=7(q+。2)，$5=100,求出。3,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于d關(guān)

系式，即可求出結(jié)論.

【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為{4},設(shè)公差為d,

依題意可得，S5=5(4+"￡)=5/=100,

2

/.a3=20g+%+牝=7(q+a2),

.?.60+34=7(40—3d),解得d=&

6

―…555

q—ciy-2u—20——二-

故選:A.

本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性

質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

3.某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余4家企業(yè)各有1人

到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為

A.14B.16C.20D.48

【正確答案】B

【詳解】由間接法得C；-C1C：=20-4=16,故選B.

4.某一電子集成塊有三個(gè)元件a,b,c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有故障相互獨(dú)立.已知至

4

少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行.若每個(gè)元件能正常工作的概率均為/，則

在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障的概率為（）.

,12481616

A.—B.---C.—D.---

3112525125

【正確答案】A

【分析】記事件A為該集成塊能夠正常工作，事件8為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，進(jìn)而結(jié)合對(duì)

124

立事件的概率公式得P（/）=m，再根據(jù)條件概率公式求解即可.

【詳解】解：記事件A為該集成塊能夠正常工作，事件8為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，

則A為該集成塊不能正常工作,

1_48

所以P（N）=1-P(B)=C

5-?25

P(AB)4812

所以尸（同4）=

P(J)-124-31

故選：A

5.設(shè)函數(shù)'=》$吊》+8$》的圖象上點(diǎn)P（f,兒）處的切線斜率為k,則函數(shù)A=g⑺的大致圖

象為（）

【正確答案】B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率的函數(shù)的解析式，然后判斷函數(shù)的圖象即可.

【詳解】丁=xsinx+cosx可得：/=sinx+xcosA--sinx=xcosx.

可得：g(t)=tcost,

由于g(V)=-g?)，函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C；

當(dāng)fe(0,$時(shí)，g(/)〉0,排除選項(xiàng)D.

故選：B

6.已知圓C:(x—3)2+(y—4)2=1和兩點(diǎn)/(—加,0),(m>0).若圓。上存在

點(diǎn)P,使得/APB=90°,則m的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

【正確答案】D

【分析】由乙4P8=90。，知?jiǎng)狱c(diǎn)尸的軌跡是以Z8為直徑的圓。，又點(diǎn)尸在圓C上，故

點(diǎn)尸是圓。與圓。的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交.由兩圓的位置關(guān)系可以

得到代數(shù)關(guān)系，從而求出機(jī)的取值范圍，進(jìn)而找到用的最小值.

【詳解】

解：?.?乙408=90。，.??點(diǎn)尸的軌跡是以Z8為直徑的圓。，

又點(diǎn)尸在圓C上，故點(diǎn)尸是圓O與圓。的交點(diǎn)，

因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交，即帆-1|〈爐不〈加+1,

解得：4<m<6.

,切的最小值為4.

故選：D.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵通過化歸與轉(zhuǎn)化思想，確定點(diǎn)?

的軌跡是以48為直徑的圓。與圓。有交點(diǎn)，從而可求出考查了學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)

化思想，數(shù)形結(jié)合的解題思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.已知拋物線C:/=4%的焦點(diǎn)/，準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，。是直線尸產(chǎn)與。的交點(diǎn),

若四=4|聞,則歸Q|=()

53一53

A.4B.—C.一或一D.一

2222

【正確答案】C

【分析】結(jié)合拋物線的定義以及忻尸卜4怩。求得怛的值.

【詳解】依題意p=2,5=1,

當(dāng)尸。=4/0時(shí)，過。作。交/于4,

根據(jù)拋物線的定\QF義\得\Q〒H\=尸\P=Q骨\=3御I°I目3=.=13

當(dāng)所=4/時(shí)，過。作?！ǎ?/,交/于，，

\QF\\QH\\PQ\5“I55

根據(jù)拋物線的定義得區(qū)」=需=了,Q7=了0=不

ppm442

35

綜上所述，產(chǎn)。|的值為2或1

故選：C

8.已知函數(shù)f(x)-ex~'-Inx-ax+a(aeR),當(dāng)xe[l,+oo)0^,若/(x)Nl恒成立，貝!

的取值范圍為()

A.(-oo,0]B.(-8,0)C.(-1,0]D.[0,+8)

【正確答案】A

【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)后可知導(dǎo)函數(shù)為[1,+8)上的增函數(shù)，根據(jù)a分類討論，求/(X)的最小

值即可求解.

(詳解】:/(%)=ex~'-Inx-ax+a(ae7?),

X

當(dāng)xe[l,+8)時(shí)，f\x)=ex-'---a單調(diào)遞增，

(1)若aWO時(shí)，f\x}>0,

所以〃x)在xe[1,+力)時(shí)單調(diào)遞增，/(x)>/(1)=1恒成立，

(2)若。>0時(shí)，/'(1)=-。<0,由/(X)單調(diào)遞增知，存在%>1，使得/'(Xo)=O,

故xw[l,Xo)時(shí)，f\x)<0,當(dāng)xe(Xo，+oo)時(shí)，f\x)>0,

所以/(x)在xw[1,/)時(shí)單調(diào)遞減,

所以/(Xo)</(1)=1,即在Xe[1,+8)上存在X。>1使得f(x0)<1,

所以avO時(shí)不滿足題意.

綜上，a<0,

故選：A

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)a分類討論，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求最小值，根據(jù)最

值是否滿足不小1,判斷“所取范圍，屬于中檔題.

二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知>0)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則展開式中()

A.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B.第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.存在常數(shù)項(xiàng)D.有理項(xiàng)共有6項(xiàng)

【正確答案】BCD

【分析】令x=l即可求出。的值，再寫出展開式的通項(xiàng)，再一一判斷.

【詳解】解：令x=l,得(a+l)'°=1024,則a=l或〃=一3(舍去).

的展開式的通項(xiàng)4+1

*"。+…+明小2~12,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于A,

對(duì)于B,由題設(shè)展開式共11項(xiàng)，第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故B正確;

對(duì)于C,令5-3廠=0,解得廠=2,故存在常數(shù)項(xiàng)為第三項(xiàng)，故C正確；

2

對(duì)于D,當(dāng)尸=0,2,4,6,8,10時(shí)，為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)共有6項(xiàng)，故D正確.

故選：BCD.

10.設(shè)｛4｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，g是其公比，北是其前〃項(xiàng)的積，且"<如

7；=I>7；,則下列結(jié)論正確的是（）

A.q>1B.?8=1C.Ti0>T6D.[與

（均為刀,的最大值

【正確答案】BD

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)即可.

【詳解】由題意知，

A：由7；<7；得%>1，由（=4得%=圣=1，

所以5=g<l,又q>0,所以0<4<1,故A錯(cuò)誤；

%

B：由得4=1=1，故B正確；

C：因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，qe（0,1）,

有q>%>???>。7>%=1>〃9>〃io>

所以爭8a*10=（。8a9>=W<1,

所以7；o<7；,故C錯(cuò)誤；

D：T]<T2<Tj<T9>T9>TW>,

則7；與（均為7；的最大值，故。正確.

故選：BD

11.在矩形/BCD中，AB=2,AD=2向，沿對(duì)角線ZC將矩形折成一個(gè)大小為。的二面角

B-AC-D,若cos6=,，則下列各選項(xiàng)正確的是（）

3

A.四面體力88外接球的表面積為16乃

B.點(diǎn)B與點(diǎn)、D之間的距離為2G

C.四面體力88的體積為勺但

3

D.異面直線4c與60所成的角為45°

【正確答案】ACD

【分析】求出2R=4C=4,即可判定A正確；分別作垂足為E,

F,利用向量法求出?訪卜2拒，即可判定B錯(cuò)誤；證明CD，平面48。，求出么=半，

故C正確；利用向量法求出（就,訪）=45。，所以異面直線ZC與8。所成的角為45。，

故D正確，

【詳解】解：如圖，因?yàn)楹虯4OC都是以ZC為斜邊的直角三角形，則4c為四面

體力外接球的直徑.

因?yàn)榱?=2,8。=2百，則2R=4C=4，

所以四面體力38外接球的表面積為S=4開&=167，故A正確;

分別作垂足為E,F,則。=（法,局））.

由已知可得,EB—FD—y[3,AE—CF=\^EF—2?因?yàn)锽D=BE+J^F+FD，則

-->~—>->—>—>->2_>2_>_>

|BD|2=BD=(BE+EF+FD)2=BE+EF+FD+2BEFD

=3+4+3+2^3-V3COS(TT-0)=8,所以|訪|=2五，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?=12=BC?,

則CL>_L8。.同理又CZ），Z。，u平面,

11

-X-X2x2V2X2=.故C正確;

則CDJ_平面所以K3AAIBRDnxCD=32

3

由已知可得，ZCAD=30°,ZCAB=60°,

--I->—>—>—>—>―>—>—>—>p-J-I

則/O8。=ZC(/D-Z8)=/C-一ZGZ8=4X2Geos30°-4x2cos600=8，則

cos(AC,BD)=AC-BD_8=與，得(A,訪)=45°,

\AC\\BD\4x2近

所以異面直線ZC與8。所成的角為45°,故D正確，

故選：ACD.

22

12.已知橢圓。：?+卓=1（“>6>0）的焦距為6,焦點(diǎn)為大、鳥，長軸的端點(diǎn)為4、4,

點(diǎn)M是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，橢圓C的離心率為6則下列說法正確的是（）

A.若△岫月的周長為16,則橢圓的方程為『卷=1

若△孫凡的面積最大時(shí)，/耳此=120°,則6=巫

B.

2

若橢圓C上存在點(diǎn)“使麗?麗=0,貝隆e[o,孝

C.

D.以M耳為直徑的圓與以44為直徑的圓內(nèi)切

【正確答案】ABD

【分析】利用橢圓的定義求出橢圓的方程，可判斷A選項(xiàng)的正誤；確定點(diǎn)”的位置，利用

橢圓的離心率公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)〃（賴，九），由麗?近=0求得

由君化簡求得橢圓。的離心率的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)的正

誤；利用橢圓的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，△”可巴的周長為2a+2c=2a+6=16,則。=5,

b—Na2-\2—4，

即橢圓的方程為三+仁=1,所以A正確；

2516

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)△孫月的面積最大時(shí)，點(diǎn)M在短軸頂點(diǎn)處，

又/月初冗=120",所以在△上陰。中，sin60°=區(qū)"=￡=e=4m,所以B正確;

\MF^\a2

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)"(々,八)，MFX=(-c-x0,-^0),MF2=(c-x0,-^0),

MF\.MF]=(-C-X°)(C-/)+(-%)2=x；+y；-c2=0，

Y-p-b~x~

因?yàn)辄c(diǎn)A1在橢圓。上，則與+q=1,可得說=從一幺9，

a2b2.°a2

^2222

所以，xl+yl-c2=xl+h2-^-c2=^4-(a2-c2)-c2=0,得

aQ—、7

由于一aVXo?a，可得x；=?(\")?"，所以，,24/42,2,即在，

c2

可得在《e<l.

2

因此，橢圓的離心率的取值范圍是rv一2』1，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

cL2)C

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)〃4的中點(diǎn)為N,設(shè)圓N與圓O的半徑分別為4、G，則4=4,

則兩圓的連心線的距離為|ON|=J九/|!(勿—|吟|)=a-；孫|=々—外，

所以兩圓內(nèi)切，D正確.

故選：ABD.

結(jié)論點(diǎn)睛：圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓G與圓G的半徑長分別為4和勺

（1）若|￡G|<k—』，則圓￡與圓。2內(nèi)含；

（2）若|。02|=卜一弓I，則圓G與圓G內(nèi)切；

（3）若卜一目<|￡。2|<（+4，則圓C與圓G相交；

⑷若|?！陓=4+'則圓G與圓G外切；

⑸若《。2|〉4+4，則圓G與圓。2外離.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名

候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為.

【正確答案】—

165

【分析】利用古典概型的概率公式直接計(jì)算.

【詳解】從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，有C1種選法；

12人中有2名人來自甲班，有C；C；種選法.

2x3x4x756

所以甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為p=-^=-———=—.

C1211x9x5165

故答案為.—

165

14.直線y=與雙曲線W-q=l（a>0）相交于8兩點(diǎn)，且4,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

積為一9,則離心率0=.

【正確答案】

33

【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橫坐標(biāo)之積求出坐標(biāo)，代入雙曲線方程求出°,進(jìn)一步求出離

心率

【詳解】由/,8兩點(diǎn)在直線丁=上，設(shè)/（Xo，gx0}/>0）,

因?yàn)锳,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以,

由42兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為-9得x°x(—/)=—9,解得%=3,所以2(3,2),

94廠

代入雙曲線方程得二一二=1,所以〃=指，

a8

所以。=叱而=后，所以離心率為￡=半=叵?

15.已知函數(shù)/(x)=xlnx+/ne'有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【正確答案】(-！，0)

e

【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)/(x)=xlnx+me*有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于-加=早三有兩

個(gè)根，等價(jià)于函數(shù)丁=1羋與^=一加的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的

e

圖象.由圖可求得實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?(x)=xlnx+〃?e',所以/[x)=l+lnx+楊e”,令/'(x)=0,得

_加=1+?x,要使函數(shù)/(x)=xlnx+〃?e'有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需一加=匕?土有兩個(gè)不

ee

同根，從而函數(shù)g(x)=L詈與y=一”的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，二JT味令

ex

人⑴=4一1一欣，則//(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減且力⑴=0,.?.當(dāng)xe(0,1)時(shí)，A(x)>0,

X

即g'(x)20,g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增；當(dāng)XE(1,+8)時(shí)，A(x)<0,即g'(x)<0,g(x)

在(1,+00)上單調(diào)遞減，故g(x)=g(l)=,，令g(x)=1也'=0得X=L，當(dāng)0cx

‘max''eeAee

時(shí)，l+lnr<0,g(x)<0,當(dāng)x>L時(shí)，l+lnx>0.gM>0,若/(*)有兩極值點(diǎn)，只

e

要歹=一加和g(x)的圖象在(0,+8)上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<一加<,，故實(shí)數(shù)加的取值

e

范圍是一1<m<0.

e

故答案為.［一］,0）

16.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)q=3,且對(duì)任意正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)機(jī),

使得%+4+…+?！?，則這樣的數(shù)列｛a?｝的個(gè)數(shù)為.

【正確答案】3

【分析】由條件知%+4=%，得到d=3，又由等差數(shù)列的求和公式，求得

K-2

/、〃（〃一1）

---（〃-1）（4—2）H-----------------d,得出4+%■*----〃為等差數(shù)列

｛4｝中的項(xiàng)，進(jìn)而利用eN*）為整數(shù)，即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,

由條件知q+々=4（左是某個(gè)正整數(shù)），則2q+d=q+（左一l）d,

即（左-2）4=4，因此必有女工2,且6=%.3（左eN*）,

k-2k-2、'

而對(duì)任意正整數(shù)〃，可得%+…+*=〃％+〃\1E

n（n-1）/、〃（〃-1）

=%+（〃-l）q+-------d=ax+（〃-1）（攵-2）+-------d,

22

即%+%+…+對(duì)的表示式滿足等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)，

又〃，〃一1為一奇一偶，即（〃_1）（左_2）+〃（；.為整數(shù)，所以+…+4為等差數(shù)

列｛%｝中的項(xiàng),

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，

所以只要d=且左/2）為整數(shù)，那么4+（H-1）（^-2）+Vd就是

k-22

｛4｝中的一項(xiàng)，

易知：左一2可取±1,3,即無e｛3,1,5｝,對(duì)應(yīng)可得到3個(gè)滿足條件的等差數(shù)歹U.

故答案為:3.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是把等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式形式，

以及合理應(yīng)用整除的性質(zhì)求解，著重考查了分析問題和轉(zhuǎn)化化歸的能力.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知函數(shù)/'（X）="？+61nx,aeR.

（1）求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若。=一3,求函數(shù)/（x）的極值.

【正確答案】（1）答案見解析

（2）極大值為-3,無極小值

【分析】⑴求導(dǎo)得到''（x）=2*+6,考慮。和兩種情況，得到單調(diào)區(qū)間.

（2）求導(dǎo)得到/'（同=6卜2—1）,計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到極值.

【小問1詳解】

f[x）=ax2+61nx,aeR,XG（0,+OO）,lax+—=+6

XX

當(dāng)a?0時(shí)，/'（x"0,所以/（x）在區(qū)間（0,+動(dòng)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，取仆）=2對(duì)+6=0,解得x=/I（舍去負(fù)值），

當(dāng)0<x<J13時(shí)，/心）>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，/'（"<0,函數(shù)單調(diào)遞減：

綜上所述:

當(dāng)a?0時(shí)，/（x）在（0,+e）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

當(dāng)。=一3時(shí)，/<x)=-6x+9=-6()一1),取/'(x)=0,解得x=l(舍去負(fù)值),

XX

當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)X>1時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

所以/(x)有極大值為/(1)=-3,無極小值.

18.有3臺(tái)機(jī)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率

均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的

25%,30%,45%.

(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；

(2)任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品的條件下，零件來自第一臺(tái)機(jī)床將損失1萬元,

來自第二臺(tái)機(jī)床將損失2萬元，來自第三臺(tái)機(jī)床將損失3萬元.設(shè)該工廠的損失為X萬元，

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【正確答案】(1)0.0525

(2)分布列見解析，期望為空

7

【分析】(1)由全概率公式求得次品率；

(2)X可能值是1,2,3,求出其概率得分布列，由期望公式計(jì)算期望.

【小問1詳解】

設(shè)8="任取一個(gè)零件為次品"，4="零件為第i臺(tái)車機(jī)床加工”，，=1,2,3,則

。=4u4uz3,且4,4，4兩兩互斥，

依題意得尸(4)=0.25,P⑷=0.3,P(4)=0.45,尸(314)=0.06,

P(B]4)=尸(814)=005.

由全概率公式，得P(B)=P⑷P(B14)+P(4)P(BI4)+P(4)P(814)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525.

【小問2詳解】

由題意得X的可能取值為1,2,3,

EC”，、0.25x0.062?叱、、0.3x0.052.、0.45x0.053

則尸(X=1)=---------=-,P(X=2)=--------=-,P(X=3)=----------=-

0.052570.052570.05257

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X123

223

P—

777

22315

所以數(shù)學(xué)期望E(X)=lx7+2x,+3x1=j.

19.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意的〃eN*，它的前〃項(xiàng)和S“滿足

并且4，%，%成等比數(shù)列.

623

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)％=(-1嚴(yán)a?-a?+l,T”為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，求耳.

【正確答案】(1)a?=3fi-2；(2)%=—18〃2-6〃.

【分析】

(1)利用q=S“->2)可得%-=3,再結(jié)合題意即可得出通項(xiàng)公式;

(2)利用并項(xiàng)求和的方法可以求出.

【詳解】(1)對(duì)任意”wN*，有S“=-a；+!①

623

111

?二當(dāng)〃二1時(shí)，有E=q=—7H—%4—，解得q=1或2.

1162,3

1,11

當(dāng)〃時(shí)，有②，

o23

①-②并整理得(4+-3)=0.

?-?數(shù)列｛??｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，.??a.一=3.

數(shù)列｛4｝是公差為3的等差數(shù)列，

當(dāng)q=l時(shí)，a“=1+3("-1)=3〃-2,此時(shí)成立；

當(dāng)q=2時(shí)，a”=2+3(〃-1)=3〃-1,此時(shí)a：=4。9不成立，舍去.

an=3n-2.

(2)=4+&+???+%=卅2-。2a3+%%-。4a5+??「的“*?

=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+...+a2?(*-a2n+l)=-6a2-6a4-...-6a2n

=-6(%+%+…+%,)=-6x"(4+_-L-6n.

思路點(diǎn)睛：利用凡和S“求通項(xiàng)的步驟：

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，利用q=，求出/；

(2)〃22時(shí)，將〃替換為n—l,得到關(guān)于的式子；

(3)將兩式相減，利用勺=S,-S,I得到關(guān)于｛4｝的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系;

(4)利用遞推關(guān)系求出數(shù)列通項(xiàng)公式；

(5)驗(yàn)證％是否滿足通項(xiàng)即可得出答案.

20.在如圖所示的幾何體中，四邊形力BCD是正方形四邊形NOPQ是梯形，

(1)求證：平面POC；

(2)求二面角C-P8-。的正弦值；

(3)已知點(diǎn)，在棱尸。上，且異面直線Z4與P8所成的夾角為。，求cos。的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵T

⑶冬c°se邛

【分析】（1）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以耳，DC，而的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正向建立

空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明；

（2）利用向量法計(jì)算出二面角。-尸8-。的余弦值，再求正弦值；

（3）利用向量法表示出cos。，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出cos。的取值范圍.

【小問1詳解】

?.?平面ADPQ±平面ABCD,平面ADPQn平面ABCD=AD,P。u平面ADPQ,

PD1.AD.

.?.直線產(chǎn)。，平面Z8CQ.

由題意，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以名，DC-麗的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正向建立如圖

空間直角坐標(biāo)系，則可得：。（0,0,0）,8（2,2,0）,C（0,2,0）,

2（200）,0（2,0,1）,尸（0,0,2）.

因?yàn)樗倪呅?88是正方形，所以

因?yàn)槭?。?￡）,PDcCD=D,PDu~^PDC,C￡>u面PDC,

所以/￡>_1面2。。.

所以而=（-2,0,0）是平面POC的一個(gè)法向量.

又QB='(0,2,—1),?*.QB-AD=0，

又?.?直線08(Z平面PDC,//平面POC.

【小問2詳解】

PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2).

設(shè)〃]=（X],凹，Z]）為平面P8C的法向量,

ny?PB=02xl+2y]-2z}=0

則〈2_即〈

%-PC=02必一2Z1=0

不妨設(shè)Z]=l,可得々=（0,1,1）.

設(shè)巧=（工2，J；2,zQ為平面尸80的法向量,

又???PB=(2,2,—2%尸0=(2,0,—1)

%?PB=0

則〈2_即《

〃2,PQ=。

不妨設(shè)Z2=2,可得鼠=（1,1,2）,

n-n0+1+2

.?.cos(ri],〃2]2

卜]|.同JO+1+1J1+1+42

二面角。一尸8-。的正弦值為

2

【小問3詳解】

設(shè)“（0,0,/?）（0<h<2）,則前=（一2,0,人），又麗=（2,2,-2）,

|-4-2/?||2+川2+h

又cos0=|cos(PB,AH)|，即cosG

4-2%

令，3=肅;2(°C),/(x)=

6(4+工2)/++2

所以/'（x）N0恒成立，所以/（x）在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,

所以冬/⑺當(dāng),

所以冬cosO邛

x

21.已知函數(shù)g（x）==+x+Inx.

（1）函數(shù)〃x）=g（x）-mx,若/（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

7

（2）設(shè)4，%（%<%）是（1）中函數(shù)/（X）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若mN/,求/（陽）

的最小值.

【正確答案】（1）用>3

（2）-21n2+—

8

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與原函數(shù)的單調(diào)性得到有關(guān)實(shí)數(shù)〃2不等式方程組

'曰〉0

<2進(jìn)行求解；

△=（1-加）~-4>0

（2）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合換元法、構(gòu)造新函數(shù)/（xj-f（x,）=1n±-；土-強(qiáng)

X

X22I\?

MO=ln-W（O</K；）再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?（'）=;/+（1-加）1+山，

LLt、l\14"（1—〃?）X+1

所以f（x）=x+l-加+—=---------------，

XX

又因?yàn)?'（工）<0在（0，+8）上有解,

令g(x)=J+(1-m)x+l，則g(0)=l>0,

竺二〉0

只需2

△=(1-加丫-4>0

m>Lm>1,m>L

即<或<由〈c得〃？〉3,

m>3,'m<-1,m>3,

m>1,

而不等式組的解集為空集,

m<-Lt

所以小〉3；

【小問2詳解】

由=二〃7k,令/?")=(),即》2+(1_機(jī))》+1=0,

%+超=m-1，

兩根分別為芭，乙，貝叫

X1%2二1，

又因?yàn)?(xJ_/(X2)=gx：+(l_m^x]+lnX]一；、；-(1-w)x2-lnx2

二；（才一用+（1—初）（玉一X2）+In±=；（x：-X；）-（X]2-X2）+ln—

(221(X]x\

=咤-；卜"）=ln^---=ln2-2

x2X2x

2l玉々25\)

令土=，，由于玉<匕，所以

X2

7j25

又因?yàn)樾?gt;—>7（演+工2）=（加-1）~>—,

即（X+W）=%+2+立,B|]/+2+->—,

x{x2x2x{t4

所以4『—17/+4N0，解得或/?!，即0<14,.

44

令人（。=1皿一為一力（0</4；）,

4卡「id

h'(t}=-——

、)t2

所以〃”）在（0,（上單調(diào)遞減,

h(t).=Af-l=ln---f--4>l=-21n2+—.

\Awn⑷42(4J8

所以/&)一/(》2)的最小值為一21n2+”

8

S〉o

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解實(shí)數(shù)〃?的取值范圍轉(zhuǎn)化成〈2是（1）的重點(diǎn)和易

A=（l-w）-4>0

錯(cuò)點(diǎn),將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/（芭）_/（》2）=出土是本體的難點(diǎn).方法點(diǎn)睛：運(yùn)用換

無法、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

22.已知橢圓C：—+^=1，4，4為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，耳，耳為左、右焦點(diǎn)，Q

43

為橢圓C上任意一點(diǎn).

（1）求直線和04的斜率之積:

（2）直線/交橢圓c于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)（/不過點(diǎn)4）,直線加72與直線附2的斜率分別是勺，

k2且女人=—（，直線4"和直線4N交于點(diǎn)P（%,人）.

①探究直線/是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由；

②證明：%為定值，并求出該定值.

3

【正確答案】（1）—；

4

（2）①是，（1,0）；②證明見解析，x0=4.

【分析】（1）根據(jù)斜率公式結(jié)合條件即得；

⑵①設(shè)點(diǎn)M（XQJ,N（X2,%）,直線/：x=my+t,聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理結(jié)合

￡”4苞1—21

條件表示出左他，進(jìn)而即得；②根據(jù)斜率公式結(jié)合條件可得#=」丁=7，即得；或

L