江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

準考證號__________姓名__________絕密★啟用前（在此卷上答題無效）萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度高三二?？荚囋嚲頂?shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準考證號?姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼條形碼的“準考證號?姓名?考試科目”與考生本人的準考證號?姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題日的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效，3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷?答題卡一并收回.第I卷一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，若的充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.的實部為12B.的虛部為C.D.3.已知隨機變量，且，則（）A.3B.2C.1D.04.已知，則向量與的夾角為（）A.B.C.D.5.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺內(nèi)接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為（）A.B.C.D.6.已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.7.點將一條線段分為兩段和，若，則稱點為線段的黃金分割點.已知直線與函數(shù)的圖象相交，為相鄰的三個交點，則（）A.當時，存在使點為線段的黃金分割點B.對于給定的常數(shù)，不存在使點為線段的黃金分割點C.對于任意的，存在使點為線段的黃金分割點D.對于任意的，存在使點為線段的黃金分割點8.如圖1，與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個三角形有三個旁心.如圖2，已知是雙曲線的左?右焦點，是雙曲線右支上一點，是的一個旁心.直線與軸交于點，若，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.為遞增數(shù)列D.為周期數(shù)列10.已知，則下列關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.11.設(shè)為坐標原點，直線過拋物線的焦點且與交于兩點，滿足與相交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.面積的最大值為1第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一種春節(jié)吉祥物為分布均勻的正十二面體模型（如圖），某興趣小組在十二個面分別雕刻了十二生肖的圖案.若其中的2個成員將該模型各隨機拋出一次，則恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上（即龍的圖案在最上面）的概率為__________.13.在中，點分別在邊上，，若交于點，則__________；當時，的面積為__________.14.正方體的棱長為為該正方體側(cè)面內(nèi)的動點（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.16.（本小題滿分15分）定義兩組數(shù)據(jù)的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量在該組數(shù)據(jù)中的排名和變量在該組數(shù)據(jù)中的排名的樣本相關(guān)系數(shù)，記為，其中.某校15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的排名與知識競賽成績的排名如下表：數(shù)學(xué)成績的排名123456789101112131415知識競賽成績的排名153498761021214131115（1）試求這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與知識競賽成績的“斯皮爾曼系數(shù)”；（2）已知在這15名學(xué)生中有10人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機抽取3人，抽到數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生有人，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.（本小題滿分15分）如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，為圓錐的頂點，是圓錐底面圓的圓心，是弧上一動點（不與重合），點在上，且，.（1）當時，證明：平面；（2）若四棱錐的體積大于等于.①求二面角的取值范圍；②記異面直線與所成的角為，求的最大值.18.（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為是上的不同兩點，且直線的斜率為-1，當直線過原點時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)，點都不在軸上，連接，分別交于兩點，求點到直線的距離的最大值.19.（本小題滿分17分）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù).當時，該表達式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運用于懸索橋?架空電纜?雙曲拱橋?拱壩等工程.已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：.定義雙曲正弦函數(shù)為.（1）寫出具有的類似于題中①?②?③的一個性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；（2）任意，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）正項數(shù)列滿足，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年度高三二模考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標準一?選擇題（8×5=40分）1-4BDCA5-8BCDD【7解析】若，則，即點為線段的黃金分割點；當時，，不存在使點為線段的黃金分割點，故選項錯誤；如下圖，當時，，當時，，則，則存在一個使得，故選項錯；對于選項，若與相交于相鄰的三點，其橫坐標分別為，則，將變換成后，點分別對應(yīng)到點，且滿足，故，即對比值無影響，故選項D正確.【8解析】因為是的一個旁心，則平分，則；又平分的外角，則，則，即，則，則，即雙曲線的漸近線方程為.二?多選題（3×6=18分）9.BCD10.AD11.ABD【說明：第9?11題全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分；第10題全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分.】【11解析】因為，則平分線段，又，則平分線段，則四邊形為平行四邊形，故對；因為四邊形為平行四邊形，所以，又，故，故B對；當軸時，根據(jù)對稱性，在軸上，此時，故C錯；設(shè)，因為過焦點，則，則，則，又，則，即為等腰三角形，且軸為的垂直平分線，故必在軸上.此外，，則，則，當與拋物線相切時，取得最大值1，即的最大值為1，故D對.三?填空題（3×5=15分）12.13.；14.【說明：第13題全部做對得5分，做對1空得3分.】四?解答題（共77分）15.（1），令，解得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）依題意，存在，使得，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故，因此.16.（1）；（2）的值可能為，，，則的分布列為：0123故的數(shù)學(xué)期望為.17.（1）由題知，在中，，求得，則，又，故平面，所以，平面；（2）①設(shè)，則二面角的平面角即為在上取點，使，連接，四棱錐的體積，其中表示四邊形的面積，則由，可得，則，故，解得，即二面角的取值范圍為；②以方向軸正方向，在內(nèi)垂直于的方向為軸正方向，方向為軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，即的最大值為.18.（1）依題意，則，因此，設(shè)，聯(lián)立與的方程得，又，即，故，即陏圓的標準方程為；（2）【解法1】設(shè)，可知的斜率存在，設(shè)為，則的方程為，聯(lián)立與的方程，整理得，，則，又，故，同理可得，易知的斜率不為0，設(shè)的方程為，則，又，則，對比的方程可知，直線恒過定點，設(shè)點到直線的距離為，則，當且僅當時，點到直線的距離取到最大值.（2）【解法2】設(shè)，則.……①又，即，作差整理得，結(jié)合①，解得.……②由①②，解得..……③同理可得，.……④可知的斜率不為0，設(shè)的方程為，結(jié)合①③④可得：，對比的方程可知，直線恒過定點，設(shè)點到直線的距離為，則，當且僅當時，點到直線的距離取到最大值.（2）【解法3】由題可設(shè)如下直線方程：，，則過四點的曲線系方程為：則項的系數(shù)為項的系數(shù)為，常數(shù)項為，又橢圓的方程可寫為：，對比系數(shù)可知：，解得，即，故直線恒過定點，設(shè)點到直線的距離為，則，當且僅當時，點到直線的距離取到最大值.19.（1）①導(dǎo)數(shù)：，證明如下：②二倍角公式：，證明如下：③平方關(guān)系：，證明如下：【說明：只需證到1個即給4分；證到其它性質(zhì)如：①；②；③也正確.】（2）令，①當時，由，又因為，故，等號不成立，所以，故為增函數(shù)，此時，故對任意恒成立，滿足題意；②當時，令，則，可知是增函數(shù)，由與可知，存在唯一，使得，故當時，，則在上為減函數(shù)，故對任意，不合題意；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（3）