信號流圖梅森公式市公開課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

控制系統(tǒng)信號流圖4/13/20241第1頁信號流圖能夠表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)一個(gè)數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)傳遞函數(shù)時(shí)較為方便。一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。見下列圖：信號流圖概念-+4/13/20242第2頁上圖中，二者都具相關(guān)系:。支路對節(jié)點(diǎn)來說是輸出支路，對節(jié)點(diǎn)y來說是輸入支路。節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)表示信號，輸入節(jié)點(diǎn)表示輸入信號，輸出節(jié)點(diǎn)表示輸出信號。支路：連接節(jié)點(diǎn)之間線段為支路。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭旁邊，稱支路傳輸。信號流圖概念4/13/20243第3頁信號流圖術(shù)語[幾個(gè)術(shù)語]：輸出節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))：只有輸入支路節(jié)點(diǎn)。如：X8。混合節(jié)點(diǎn)：現(xiàn)有輸入支路又有輸出支路節(jié)點(diǎn)。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7?；旌瞎?jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中信號相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。它上面信號是全部輸入支路引進(jìn)信號疊加。通路：沿支路箭頭方向穿過各個(gè)相連支路路線，起始點(diǎn)和終點(diǎn)都在節(jié)點(diǎn)上。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，且起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一節(jié)點(diǎn)稱為開通路。起點(diǎn)在源點(diǎn)，終點(diǎn)在阱點(diǎn)開通路叫前向通路。輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))：只有輸出支路節(jié)點(diǎn)。如：X1，X9。4/13/20244第4頁回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)通路稱為回路?；ゲ唤佑|回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖術(shù)語通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸乘積稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸乘積稱為前向通路傳輸或前向通路增益?；芈穫鬏?增益)：回路上各支路傳輸乘積稱為回路傳輸或回路增益。4/13/20245第5頁信號流圖等效變換串聯(lián)支路合并：并聯(lián)支路合并：回路消除：4/13/20246第6頁混合支路去除：自回路消除：信號流圖等效變換4/13/20247第7頁信號流圖性質(zhì)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)變量。普通，節(jié)點(diǎn)自左向右次序設(shè)置，每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志變量是全部流向該節(jié)點(diǎn)信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路信號均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果因果關(guān)系。對于給定系統(tǒng),節(jié)點(diǎn)變量設(shè)置是任意，所以信號流圖不是唯一。信號流圖性質(zhì)4/13/20248第8頁信號流圖繪制[信號流圖繪制]：依據(jù)結(jié)構(gòu)圖列出系統(tǒng)各步驟拉氏方程，按變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖所表示。然后畫出信號流圖以下列圖所表示。例1：速度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為：4/13/20249第9頁例2:已知結(jié)構(gòu)圖以下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖所表示。然后畫出信號流圖以下列圖所表示。4/13/202410第10頁信號流圖繪制例2:按微分方程拉氏變換后代數(shù)方程所表示變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對應(yīng)代數(shù)方程為:按方程可繪制信號流圖。4/13/202411第11頁梅遜公式用梅遜公式可無須簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表示式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)前向通道總數(shù)；第k個(gè)前向通道總傳輸；流圖特征式；其計(jì)算公式為：二、梅遜增益公式4/13/202412第12頁（正負(fù)號間隔）式中：流圖中全部不一樣回路回路傳輸之和；全部互不接觸回路中，每次取其中兩個(gè)回路傳輸乘積之和；全部互不接觸回路中，每次取其中三個(gè)回路傳輸乘積之和；

第k個(gè)前向通道特征余子式；其值為中除去與第k個(gè)前向通道接觸回路后剩下部分。梅遜公式4/13/202413第13頁梅遜公式||例2-13a[解]：前向通道有一條；有一個(gè)回路；例2-13a：求速度控制系統(tǒng)總傳輸。（不計(jì)擾動(dòng)）4/13/202414第14頁梅遜公式||例2-13[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，再依據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖以下：[例2-13]：繪出兩級串聯(lián)RC電路信號流圖并用Mason公式計(jì)算總傳遞函數(shù)。---4/13/202415第15頁圖中，有一個(gè)前向通道；有三個(gè)回路；有兩個(gè)互不接觸回路；（因?yàn)槿齻€(gè)回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：梅遜公式||例2-134/13/202416第16頁梅遜公式||例2-14例2-14：使用Mason公式計(jì)算下述結(jié)構(gòu)圖傳遞函數(shù)解：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖。然后畫出信號流圖，以下：++--4/13/202417第17頁回路有三，分別為：有兩個(gè)不接觸回路，所以：梅遜公式||例2-14求：前向通道有二，分別為:4/13/202418第18頁梅遜公式||例2-15例2-15：數(shù)數(shù)有幾個(gè)回路和前向通道。有四個(gè)回路，分別是：它們都是相互接觸。有九條前向通道，分別是：4/13/202419第19頁梅遜公式||例2-15對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖為：--+++++為節(jié)點(diǎn)注意：①信號流圖與結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)關(guān)系；②仔細(xì)確定前向通道和回路個(gè)數(shù)。4/13/202420第20頁小結(jié)信號流圖組成；術(shù)語；信號流圖繪制和等效變換；梅遜公式極其應(yīng)用；信號流圖和結(jié)構(gòu)圖之間關(guān)系。小結(jié)4/13/202421第21頁梅遜公式推導(dǎo)附錄：梅遜公式推導(dǎo)如前例已知信號流圖如圖所表示，所對應(yīng)代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成以下方程4/13/202422第22頁于是可求得該方程組系數(shù)行列式和

梅遜公式推導(dǎo)4/13/202423第23頁依據(jù)克萊姆法則得

于是傳遞函數(shù)為分析上式能夠看到，傳遞函數(shù)分子和分母取決于方程組系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著親密關(guān)系。從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)觀點(diǎn)，信號流圖主要特點(diǎn)取決于回路類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路主要類型有兩種：單獨(dú)回路和互不接觸回路。梅遜公式推導(dǎo)4/13/202424第24頁圖中所表示信號流圖共含有五個(gè)單獨(dú)回路和三對互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

全部單獨(dú)回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值恰好為

可見，傳遞函數(shù)分母△取決于信號流圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。

梅遜公式推導(dǎo)4/13/202425第25頁假如把△中與第k條前向通道相關(guān)回路去掉后，剩下部分叫做第k條前向通道余子式，并記為△k。由圖可得，從輸入到輸出前向通道和其增益以及響應(yīng)余子式以下表所表示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅遜公式推導(dǎo)4/13/202426第26頁故用信號流圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)術(shù)語，系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為

梅遜公式推導(dǎo)傳遞函數(shù)分子等