浙江省舟山市名校2023年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

浙江省舟山市名校2023年數(shù)學(xué)九上期末統(tǒng)考模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.一元二次方程一爐+6》一10=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

2.若兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2,則它們的面積比等于（）

A.1：0B.1：2C.1：3D.1：4

3.已知。4,08是圓。的半徑，點(diǎn)C,。在圓。上，且。4//BC,若NAZ）C=26。，則E>3的度數(shù)為（）

4.如圖，的半徑弦A3于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)E，連結(jié)EC.若A8=8,CD=2,則EC的

長(zhǎng)為（）

5.如圖，在ABC中，點(diǎn)。，E分別為A3,AC邊上的點(diǎn)，魚DEI/BC,CD、BE相較于點(diǎn)O,連接40并延長(zhǎng)交

DE于點(diǎn)G,交BC邊于點(diǎn)入則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A

AGAEODAEAGAC

C.=I).=

ABEC~GF~^DOCACAFEC

6.如圖，路燈距離地面8米，若身高1.6米的小明在距離路燈的底部（點(diǎn)O）20米的A處，則小明的影子AM的長(zhǎng)

為（）

C.6米D.4米

7.如圖，。。是ABC的外接圓，已知AZ）平分N8AC交。。于點(diǎn)￡）,交BC于點(diǎn)E,若AD=7,BD=2,則OE

的長(zhǎng)為（）

24

AD16

7-一

4949

8.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+JT萬(wàn)x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k>-3B.k2-3C.kNOD.k》l

9.關(guān)于x的一元二次方程2x+女=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則&的取值范圍在數(shù)軸上可以表示為（）

C?D.：i；；千；；

10.如圖所示，A,B是函數(shù)y=L的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，AC平行于y軸，BC平行于x軸，△ABC

的面積為S,則（）

A.S=1B.S=2C.1<S<2D.S>2

11.已知。O的半徑為5cm,圓心O到直線I的距離為5cm,則直線1與。O的位置關(guān)系為()

A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

12.如圖，已知為。0的直徑，點(diǎn)C,。在一。上，若NBCZ)=28°,則NAB￡)=()

A.72°B.56°C.62°D.52°

二、填空題(每題4分，共24分)

13.在一個(gè)不透明的盒子中裝有紅、白兩種除顏色外完全相同的球，其中有a個(gè)白球和4個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)?/p>

勻后，任意摸出1個(gè)球記下顏色再放回盒子.通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值

約為.

14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,若NBOD=140。，則NBCD=.

175

15.鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系為y=-五x2+§x+§,鉛球推出后最大高度是m,鉛球落

地時(shí)的水平距離是m.

16.如圖是拋物線y=ax?+bx+c(a#0)的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,

0)之間.則下列結(jié)論：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b?=4a(c-n)；④一元二次方程ax2+bx+c=nT有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論的是(只填序號(hào))

17.如圖，以點(diǎn)。為圓心，半徑為2的圓與y=A的圖像交于點(diǎn)AB,若NAOB=30°,則k的值為

18.拋物線y=/+8x+2的對(duì)稱軸為直線.

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A處測(cè)得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為31°，再向東繼

續(xù)航行30m到達(dá)8處，測(cè)得該燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為45°.根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算這座燈塔的高度CO（結(jié)果取整

數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：sin31°?0.52?cos31°?0.86>tan31°?0.60.

20.（8分）如圖，廣場(chǎng)上空有一個(gè)氣球A,地面上點(diǎn)反。間的距離BC=22〃?.在點(diǎn)5,C分別測(cè)得氣球A的仰角為30。,

63°,求氣球A離地面的高度.（精確到個(gè)位）

（參考值:sin63°a0.9,cos63°?0.5,tan63°?2.0,百。1.7）

21.（8分）甲、乙、丙三位同學(xué)在知識(shí)競(jìng)賽問答環(huán)節(jié)中，采用抽簽的方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序.求甲比乙先出場(chǎng)的概率.

22.（10分）（問題情境）

如圖1,四邊形48C。是正方形，M是8c邊上的一點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)，AE平分NZMM.

(探究展示)

(1)證明：AM=AD+MC；

(2)AM=OE+3M是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(拓展延伸)

(3)若四邊形A3CQ是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出

23.(10分)如圖方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是單位1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，結(jié)合所給的平面直角坐

標(biāo)系解答下列問題：

(1)將aABC向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，畫出平移后的△AiBiCi；

⑵寫出Ai,G的坐標(biāo)；

⑶將△AiBiG繞場(chǎng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B1C2,求線段BiCi在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積(結(jié)果保留死).

24.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線Jx-2與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=；*2+取+。的圖

象經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)兒

(1)直接寫出：b的值為；c的值為；點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

(2)點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。在直線8c下方的二次函數(shù)圖象上.設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

①如圖1,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M,求線段。M關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式，并求線段。M的最大值；

②若△CD/W為等腰直角三角形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

25.(12分)如圖，在直角三角形A8C中，ZC=90°,點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作交AB于點(diǎn)E,

14

若80=10,tanZABD=-,cosZDBC=-,求OC和A8的長(zhǎng).

25

26.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在RtZUBC中，AB=AC,。為8c邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)將線段40繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到4E,連接EC,則線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

(2)探究證明：如圖2,在RtZXABC與RtZiAOE中，AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在8c

的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接EC,寫出此時(shí)線段AO,BD,CD之間的等量關(guān)系，并證明；

(3)拓展延仲：如圖3,在四邊形A8CF1中，ZABC=ZACB=ZAFC=45a.若8尸=13,CF=5,請(qǐng)直接寫出A尸

的長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1,D

【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

【詳解】VA=62-4X(-1)x(-10)=36-40=-4<0,

???方程沒有實(shí)數(shù)根.

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查一元二次方程的根的判別式，解題關(guān)鍵在于掌握方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個(gè)相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)AV0,方程沒有實(shí)數(shù)根.

2、D

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可.

【詳解】解：???兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2,

...這兩個(gè)三角形們的面積比為1：4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解決此題的關(guān)鍵.

3、D

【分析】連接OC,根據(jù)圓周角定理求出NAOC,再根據(jù)平行得到NOCB,利用圓內(nèi)等腰三角形即可求解.

【詳解】連接CO,

VZADC=26°

：.ZAOC=2ZADC=52°

'：OA//BC

.,.ZOCB=ZAOC=52°

VOC=BO,

.,.DB=ZOCB=52°

故選D.

D

【點(diǎn)睛】

此題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟知圓的基本性質(zhì)及圓周角定理的內(nèi)容.

4、C

【分析】連接BE,設(shè)。O的半徑為r,然后由垂徑定理和勾股定理列方程求出半徑r,最后由勾股定理依次求BE和

EC的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖：連接BE

設(shè)OO的半徑為r,貝|JOA=OD=「，OC=r-2

VOD±AB,

:.ZACO=90°

AAC=BC=—AB=4,

2

在RtZkACO中，由勾股定理得：

1^-42=(r-2)2,解得：r=5

AAE=2r=10,

???AE為。O的直徑

:.ZABE=90°

由勾股定理得：BE=VA￡2-AB2=V102-82=6

在RtAECB中，EC=y/BE2+BC2=762+42=2萬(wàn)?

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形并利用勾股定理求解是解答本題

的關(guān)鍵.

5、C

【分析】由OE//BC可得到_OEOS_CBO,依據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.,：DE//BC,

黑=等，故不正確;

ABAC

B.VDE//BC,

羋="，故不正確;

GFEC

C.VDE//BC,

；?一ADEsAABC,4DEOs4CBO,

DEAEDEOD

,fiC-AC*BC-OC?

ODAE.

—————,故正確；

OCAC

D.；DE//BC,

.AGAE

..-'故不正確;

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵.

6、B

【分析】易得：AABMs^oCM,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得出小明的影子AM的長(zhǎng).

【詳解】如圖，根據(jù)題意，易得AMBAS/\MCO,

AM1.6AM

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知力;=即nn一=---------

OCOA+AM820+AM

解得AM=5m.

則小明的影子AM的長(zhǎng)為5米.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵.

7、A

【分析】先根據(jù)角平分線的定義、圓周角定理可得N￡AD=NEBD,再根據(jù)相似三角形的判定定理得出

N\BD~^BED,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】平分N8AC

:.ZBAD=ZCAD

，弧BD與弧CD相等

:.NBAD=NEBD

又ZADB=ZBDE

：.^ABD~^BED

ADBD72

---=----,即nn——----

BDDE2DE

4

解得。E=]

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的定義、圓周角定理、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，利用圓周角定理找到兩個(gè)相似三角形是解

題關(guān)鍵.

8、D

【解析】根據(jù)40且列式求解即可.

【詳解】由題意得

(yjk-l)2-4X1X(-1)>0且hl>0,

解之得

k》l.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程ai+bx+cR(aWO)的根的判別式公=加-4ac與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系

式解答本題的關(guān)鍵.當(dāng)A>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)A<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

9、B

【分析】利用根的判別式和題意得到△=(-2)2-4xlxZN0,求出不等式的解集，最后在數(shù)軸上表示出來(lái)，即可得出

選項(xiàng).

【詳解】解：關(guān)于X的方程d—2x+&=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

A=(-2)--4xlx^>0>

解得：k<l,

在數(shù)軸上表示為：一,

-J-Z-I11IZ3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程以2+公+。=()(。工0,a,b,C為

常數(shù))的根的判別式為△=〃-4改.當(dāng)△>()，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A

<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.特別注意：當(dāng)ANO時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，本題主要應(yīng)用此知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決.

10、B

【分析】設(shè)點(diǎn)A(m,-),則根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和垂直的特點(diǎn)，可以表示出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得出BC、AC

m

的長(zhǎng)，從而得出4ABC的面積.

【詳解】設(shè)點(diǎn)A(m,-)

m

,:A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

1

??B(-m,-----)

m

1

??C(m,-----)

m

2

/.AC=—,BC=2m

tn

12

:.S=—=2

ABC2m

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的求解，解題關(guān)鍵是表示出A、B、C的坐標(biāo)，從而得出△ABC的面積.

11、B

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離5等于圓的半徑5,即可判斷直線和圓相切.

【詳解】?.?圓心到直線的距離5cm=5cm,

...直線和圓相切，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能熟練根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系.若dVr,則直線與

圓相交；若d=r,則直線于圓相切；若d>r,則直線與圓相離.

12、C

【分析】連接AD,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，求NBAD的度數(shù)，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是9()。，利用內(nèi)角和求解.

【詳解】解：連接人口,貝!!411人。=/11?。=28°,

?；AB是直徑，

AZADB=90°,

AZABD=900-ZBAD=90°-28°=62°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理，運(yùn)用圓周角定理是解決圓中角問題的重要途徑，直徑所對(duì)的圓周角是90°是圓中構(gòu)造90°角的

重要手段.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、1

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在

20%左右得到比例關(guān)系，列出方程求解即可.

4

【詳解】解：由題意可得，——xl(M)%=20%,

4+。

解得，a=1,

經(jīng)檢驗(yàn)a=l是方程的根，

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是頻率和概率問題，此類問題是中考?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，所以掌握頻率和概率是解題的關(guān)鍵.

14、110°.

【分析】由圓周角定理，同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍.可求NA='NBOD=70。,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可得

2

ZC=180-ZA=110°

【詳解】VZBOD=140°

I

.*.ZA=-ZBOD=70°

2

.?.ZC=180°-ZA=110°,

故答案為：110。.

【點(diǎn)睛】

此題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵在于利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度.

15、310

【分析】利用配方法將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得鉛球行進(jìn)的最大高度；鉛球推出后落

地時(shí)，高度y=0,把實(shí)際問題可理解為當(dāng)y=0時(shí)，求得x的值就是鉛球落地時(shí)的水平距離.

125

【詳解】Vy=--x2+--,

123X+3

.,.y=------(x-4產(chǎn)+3

因?yàn)?---<0

12

所以當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值為3.

所以鉛球推出后最大高度是3m.

令y=0,即

0=------(x-4)2+3

12

解得XI=1O,X2=-2(舍去)

所以鉛球落地時(shí)的水平距離是10m.

故答案為3、10.

【點(diǎn)睛】

此題考查了函數(shù)式中自變量與函數(shù)表達(dá)的實(shí)際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解.正確解答

本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

16、①@@

【分析】利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(-2,0)和(-1,0)之間，則當(dāng)x=-l時(shí)，y>0,

b

于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-丁=1,即b=-2a,則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的頂點(diǎn)的縱

坐標(biāo)為n得到處二生=n,則可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于拋物線與直線y=n有一個(gè)公共點(diǎn)，則拋物線與直線y=n-l有2個(gè)

4a

公共點(diǎn)，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：I?拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,0)之間，而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=L

，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(-2,0)和(-1,0)之間.

.,.當(dāng)x=-l時(shí)，y>0,

即a-b+c>0,所以①正確；

b

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=--=l,即b=-2a,

2a

/.3a+b=3a-2a=a,所以②錯(cuò)誤；

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),

.4ac-b2

..----------=n,

4a

b2=4ac-4an=4a(c-n),所以③正確；

?.?拋物線與直線y=n有一個(gè)公共點(diǎn)，

...拋物線與直線y=n-l有2個(gè)公共點(diǎn)，

一元二次方程ax2+bx+c=n-l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

此題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.

17、乖)

【分析】過(guò)點(diǎn)B作BMLx軸，過(guò)點(diǎn)A作ANLy軸，先證△BOM^^AON,由此可求出NBOM的度數(shù)，再設(shè)B(a,

b),根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出a、b的值，即可求出答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BMJ_x軸，過(guò)點(diǎn)A作ANJ_y軸，

k

???點(diǎn)B、A均在反比例函數(shù)V=—的圖象上，OA=OB,

x

.**點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱，

AAN=BM,ON=OM,

.,.△BOM^AAON,

90°-ZAOB

ZBOM=ZAON=------------------

2

VZAOB=30

90°-ZAOB

二ZBOM=------------------=30°,

2

設(shè)B(a,b),貝!)OM=a=OB?cos300=2x@=G,BM=b=OBxsin30°=2x-=1,

22

??k=ab=\f3xl=y/3

故答案為百.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)綜合題反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)直角

三角函數(shù)求得B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

18、JC=Y

【分析】將題目中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可寫出該拋物線的對(duì)稱軸.

【詳解】:,拋物線y=x2+8x+2=（x+l）2-11,

???該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-l.

故答案為：x=-l.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

三、解答題（共78分）

19、這座燈塔的高度CO約為45m.

【分析】在R3ADC和R3BDC中，根據(jù)三角函數(shù)AD、BD就可以用CD表示出來(lái)，再根據(jù)A￡>=A6+就得到

一個(gè)關(guān)于DC的方程，解方程即可.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，ZC4D=31°?NCBD=45"，ZCDA=90°，AB=30.

CD

■:在RtAACZ）中，tanNCAZ）=-----,

AD

：.AD=也.

tan31

CD

???在RtABCZ）中，tanZCBD=——,

BD

:?BD=，C^D=CD.

tan45

又AD=AB+BD,

CD

=30+CD.

tan31°

.cc30xtan3130x0.60._

..CD=-----------?---------=45.

l-tan31%1--0.60

答：這座燈塔的高度CO約為45m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-一方向角的問題，列出關(guān)于CD的方程是解答本題的關(guān)鍵，結(jié)合航海中的實(shí)際問題,

將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想.

20>18.

【分析】作ADJJ,在RtZ\ACD和RtZ\ABD中，將BD,CD分別用AD表示出來(lái)，再根據(jù)BC=BD-CD列出關(guān)于AD

的等式求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作交8c延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,

An

RtAABD中，tanZ.ABD=---,

BD

.BD_AD一AD

tanZABDtan300'

An

同理可得：CD=-------,

tan630

AnAF)L1

:.。--^v=22即KA。一上4。=22.

tan30tan632

AD22+?22-1.2?18.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角是向上看的視線與水平線的夾角、俯角是向下看的視線與

水平線的夾角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

I

21一

2

【分析】首先根據(jù)題意用列舉法列出所有等可能的結(jié)果與甲比乙先出場(chǎng)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：甲、乙、丙三位同學(xué)采用抽簽的方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：

（甲，乙，丙）、（甲、丙、乙）（乙，甲，丙）、（乙，丙，甲）（丙，甲，乙）、（丙，乙，甲）

共有6種，它們出現(xiàn)的可能性相同.所有的結(jié)果中，滿足“甲比乙先出場(chǎng)”（記為事件A）的結(jié)果有3中，所以

【點(diǎn)睛】

本題考查了列舉法求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22、（1）證明見解析；（2）AM=DE+BM成立，證明見解析；（3）①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立；②結(jié)論AM=DE+BM不

成立.

【分析】（1）從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā)，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,易證AADE^^NCE,得至!!AD=CN,再證

明AM=NM即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF_LAE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

易證AABFgZkADE,從而證明AM=FM,即可得證；（3）AM=DE+BM需要四邊形ABCD是正方形，故不成立，

AM=AD+MC仍然成立.

【詳解】⑴延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1（1）,

???四邊形ABCD是正方形，AAD/ZBC.AZDAE=ZENC.

TAE平分NDAM,，NDAE=NMAE./.ZENC=ZMAE./.MA=MN.

'NDAE=NCNE

在^ADE和4NCE中，<ZAED=/NEC

DE=CE

：.△ADE^ANCE（AAS）.；.AD=NC./.MA=MN=NC+MC=AD+MC.

（2）AM=DE+BM成立.

證明：過(guò)點(diǎn)A作AF_LAE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖1（2）所示.

T四邊形ABCD是正方形，AZBAD=ZD=ZABC=90°,AB=AD,AB>7DC.

VAF±AE,/.ZFAE=90o.AZFAB=90°-ZBAE=ZDAE.

NFAB=NEAD

在AABF和△ADE中，＜ABAD

ZABF=ZD=90"

:.△ABF^AADE(ASA).

；.BF=DE,NF=NAED.

VAB/7DC,

/.ZAED=ZBAE.

VZFAB=ZEAD=ZEAM,

；.NAED=NBAE=NBAM+NEAM=NBAM+NFAB=NFAM.

:.NF=NFAM.

.*.AM=FM.

⑶①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.②結(jié)論AM=DE+BM不成立.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判斷與性質(zhì).

25

23、(1)圖形見解析(2)A.(5,7)；C.(9,4),(3)見解析，一萬(wàn)

4

【解析】(1)正確畫出平移后的圖形，如圖所示；

(3)正確畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示，根據(jù)線段BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為扇形，扇形半徑為5,圓心角為90°,

°Wx5225

則計(jì)算扇形面積:

24、(1)—;-1；(T,0)；(1)①A/Z)=(-/n'+4/n),DM最大值——;②(—，——)或(—，--).

2559999

【分析】（1）直線y=gx-l與x軸交于點(diǎn)5,與y軸交于點(diǎn)C,則點(diǎn)5、C的坐標(biāo)為：（4,0）、（0,-1）,即可求解;

(1)①"1-‘川+3機(jī)+1)=且(--+45)，即可求解；②分NC0M=9O、

52225

NMOC=90°、ZAfCD=90°三種情況，分別求解即可.

【詳解】（1）直線y=gx-1與x軸交于點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,

則點(diǎn)3、C的坐標(biāo)為：（4,0）、（0,-1）.

3

將點(diǎn)8、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b=--,c=-l.

2

1,3

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2--x-2-?,點(diǎn)A（-L0）.

22

3

故答案為：一大，T,（-1,0）；

2

（1）①如圖L過(guò)點(diǎn)。作y軸的平行線交6c于點(diǎn)”交x軸于點(diǎn)E.

、131

設(shè)點(diǎn)。Qm—ml---m-1),點(diǎn)HQm—m-l).

222

VZMDH+ZMHD=^°,ZOBC+ZBHE=9Q°,ZMHD=ZEHBf

:.NMDH=NOBC=a.

VOC=1,OB=4,

:,BC川=2逐，

cosZOBC-,則cosa=

55

MD=DHcosZ.MDH-,亞.(―/n-1——//P+—m+1)=(-ml+4m).

52225

-<0,故。M有最大值逑;

55

1i3

②設(shè)點(diǎn)Af、O的坐標(biāo)分別為：(s,—s-1),(m,n),n--m'~-m-1;分三種情況討論:

222

(I)當(dāng)NCIM/=90°時(shí)，如圖1,

過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)。與x軸的垂線于點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)E.

易證△MEC名△DFM,

：.ME=FD,MF=CE,

11

即nn一s-1-l=m-ss=-sT-

292

14

解得：$=大，或s=8（舍去）.

…14II

故點(diǎn)M（K，--）；

99

（H）當(dāng)NMDC=90°時(shí)，如圖3,過(guò)。作直線OE_Ly軸于E,于尸.

28

同理可得：s=k，或s=0（舍去）.

…284

故點(diǎn)加（豆，——）；

（HI）當(dāng)NMC〃=90°時(shí)，

則直線CD的表達(dá)式為：y=-lx-1…②，

[_123

解方程組：r22

y^-2x-2

x=0fx=-l

得：｛c（舍去）或〈八，

y=-2[y=o

故點(diǎn)。（-1,0）,不在線段5C的下方，舍去.

1411284

綜上所述：點(diǎn)〃坐標(biāo)為：（X，一大）或（入，

999