2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高中高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高中高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若全集U={-3,-2,l,2,4,5},A={l,2,5},3={-2,l,2},則集合{-3,4}=()

A.?(AnB)B.?(A∪B)C.(?A)∩BD.AU(?B)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意得AUB={-2,1,2,5},所以》(AUB)={-3,4}.

故選：B.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足z?(l+2i)T-3+4i∣,貝丘的虛部為()

A.-2iB.2iC.-2D.2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)Z,繼而得三，從而求得答案.

【詳解】由z?(l+2i)=卜3+4i∣可得Z=Wi型=工=笆二?=>2i,

l+2il+2i5

故z=l+2i,則Z的虛部為2,

故選：D

3.在「ABC中，點(diǎn)。在邊48上，A￡>=308.記CA=4,CO=8,則CB=()

41144114

A.—uA—bB.—ciH—bC.-Ci—bD.-UΛ—b

33333333

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量的共線定理表示即可求解.

【詳解】因為點(diǎn)。在邊AB上，AD=3DB,

所以Bo=JZM,即Co-CB=J(CA-C￡>),

33

14

所以C8=-與+3.

33

故選:B.

4.圖1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”,

圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正

三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的

高為5,底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為20,則其側(cè)面積為()

A.l(X)πB.600π

C.200πD.300π

【正確答案】A

【分析】由萊洛三角形是以正三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到

的，結(jié)合已知可得半徑為20,由弧長公式求得底面周長，進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】萊洛三角形由三段半徑為20,圓心角為T的圓弧構(gòu)成，所以該零件底面周長為

3××20=20π,故其側(cè)面積為20πX5=100萬.

故選：A.

5.若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且α=(q,α4),6=(附片)，a//b，則sin(2023ττ+%)=()

A.--B.—C.3D.一旦

2222

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量的平行可得^4-生能=0,結(jié)合等比數(shù)列通項公式求得4,利用三角函

數(shù)誘導(dǎo)公式即可求得答案.

【詳解】由題意數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且α=(01,%),6=(%5)，a∕∕b,

可得Iq-α√<l=0,即］α∣-αjV=O,所以“q，4=1,

i?sin(2023π+?)=sin(π+α6)=-sina6=-sin^=-^->

故選：D.

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，若S7=S9,56=12,則SK)=()

A.12B.10C.8D.6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的首項和公差，即可求得答案.

【詳解】由已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，57=59,

設(shè)數(shù)列公差為a可得出+%=2q+15"=O,

2

又￡,=12,即6q+154=12,解得4=3/=-丁

故Sn)=Ioχ3+等x(-∣)=12,

故選：A

7.設(shè)小6是雙曲線=Ig04>0)的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足

尸耳/6=-〃，則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.[0,+8)B.[λ∕3,+∞)C.[2,+∞)D.[3,+∞)

【正確答案】A

【分析】由題意，設(shè)？耳=嘰P舄=〃,/月?乙=夕，先由雙曲線的定義m-"=2”,再利用余

弦定理cose=zwJ^”二4C,由題意PB?PE=T?可得病+〃2=4。2_2〃，最后再用

2mn

m≥α+c,"≥c-a可得c、。的不等關(guān)系，可得離心率.

【詳解】由題，取點(diǎn)尸為右支上的點(diǎn)，設(shè)/JE=∕M,P6=",N-P^=0,

根據(jù)雙曲線的定義知：m-"=24,

在三角形耳尸尸中，由余弦定理可得：CoSo="+"IC-,

2mn

22222

又因為PFT?PF2=—4可得nmcosθ=—a,即+n=4c-2a,

又因為加≥α+c,"≥c—ɑ,^Vλ(c+a)2+(c-a)2≤4c2-2a2=>c2≥2a2

即e2≥2,.?.e≥√2?

故選.A

8.已知定義域為R的函數(shù)/(x)滿足/(3x+l)是奇函數(shù)，/(2x-l)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論

錯誤的是()

A./(x)的圖象關(guān)于直線戶-1對稱B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

C./(-3)=1D./(x)的一個周期為8

【正確答案】C

【分析】根據(jù)/(3x+l)是奇函數(shù)，可得/(x)+∕(-x+2)=0,判斷B;根據(jù)/(2XT)是偶函

數(shù)，推出/(—X—2)="x),判斷A;繼而可得/(x+4)=—/(x),可判斷D；利用賦值法求

得/⑴=O,根據(jù)對稱性可判斷C.

【詳解】由題意知/(3x+l)是奇函數(shù)，即/(—3x+l)=—/(3x+l),，/(—x+l)=-∕(x+l),

即y(τ+2)=-∕(x),即/(x)+∕(-x+2)=0,

故∕?(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，B結(jié)論正確；

又/(2x-l)是偶函數(shù)，l?∕(-2x-l)=∕(2x-l),.?.∕(-x-l)=∕(x-l),

即〃-x-2)="x),故/(x)的圖象關(guān)于直線尸一1對稱，A結(jié)論正確；

由以上可知/(x)=/(r—2)=-∕(r+2),即/(x-2)=-"x+2),

所以F(X+4)=-"x),則/(x+8)=-"x+4)=F(X),

故/(x)的一個周期為8,D結(jié)論正確；

由于f(-3x+l)=-∕(3x+l),令X=0,可得/(I)=-/。),，/")=。，

而f(x)的圖象關(guān)于直線尸-1對稱，故/(-3)=0,C結(jié)論錯誤，

故選：C

方法點(diǎn)睛：此類抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷問題，解答時一般要注意根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的定義

去解答，比如奇偶性，采用整體代換的方法，往往還要結(jié)合賦值法求得特殊值，進(jìn)行解決.

二、多選題

9.下列命題中是真命題的是()

A.命題p：事件A與事件B互為對立事件；命題0事件A與事件8互斥.則P是q的充

分不必要條件

B.若事件A,B,C兩兩獨(dú)立，則P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C.有一組樣本數(shù)據(jù)玉―，，毛這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1設(shè)%=2x,+l3=1,2,3,,〃)，則

這組新樣本數(shù)據(jù)力,必，…，y”的平均數(shù)為打

D.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位數(shù)為5

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)命題間的邏輯推理關(guān)系可判斷A；舉反例可判斷B；根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計算

公式可求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，判斷C;根據(jù)百分位數(shù)的含義求出數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)，判斷D.

【詳解】對于A,由于對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，

故事件A與事件8互為對立事件，一定可以推出事件A與事件B互斥，反之不成立，

故P是q的充分不必要條件，A正確；

對于B,不妨舉例比如從1,2,3,4中隨機(jī)選出一個數(shù)字，事件A：取出的數(shù)字為1或2,

事件B：取出的數(shù)字為1或3,事件C：取出的數(shù)字為1或4,

則事件AB=AC=BC=ABC為取出數(shù)字1,所以P(A)=P(3)=P(C)=；,

P(A8)=P(AC)=P(8C)=P(ABC)=；,

滿足P(AB)=P(A)P(B),P(Ae)=P(A)尸(C),P(BC)=P(B)P(C),

即事件A,8,C兩兩獨(dú)立，但是推不出P(ABC)=P(A)P(B)P(C),B錯誤；

對于C,一組樣本數(shù)據(jù)為,冷的平均數(shù)為X,即X]+w++xzj=nχ9

設(shè)y?=2%+1(Z=1,2,3,,〃),

則這組新樣本數(shù)據(jù)％,當(dāng)，…,三的平均數(shù)為亍=2(』+%++果)+〃=如士=241,C錯

nn

誤；

對于D,將數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1從小到大排列為：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,

因為85%xlO=8.5,故這組數(shù)的85%分位數(shù)為第9個數(shù)5,D正確，

故選：AD

10.已知曲線C:x?Sine+VcosO=I,Oe(O,τt)則()

A.若6=：,曲線C為圓心在原點(diǎn)，半徑為血的圓

B.若5<0<π,曲線C為焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線

C.若C表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則彳<。<]

JT

D.若C表示兩條直線，則。=5

【正確答案】BD

【分析】分類討論確定方程表示的曲線后判斷各選項。

X2y2_.

【詳解】6w(0,g)時，cosM>0,sin9>0,方程為1+一~~,

2--------

sin。cos。

π[1

由已知當(dāng)夕￡(0,丁)時，cos^>sin∕9>0,-->->0,表示焦點(diǎn)在X軸的橢圓;

4sinacos"

e=1時，方程為/+y2=0,表示圓，半徑為我;

4乙

TTTTI

；<，<?時，-->-4>o,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

42CoS夕Sln夕

9=J1T時，方程化為χ=±ι,表示兩條直線；

兀1]

-<^<π?,—->0,--<0,表示焦點(diǎn)在X軸的雙曲線.

2sinucosθ

綜上Ae錯，BD正確.

故選：BD.

11.已知圓C：χ2+>2-6x+4y-3=0,直線/：mx+ny+3=0,則下列說法正確的是()

A.當(dāng)〃=瘋心0時，直線/的傾斜角為多

O

B.當(dāng)加=〃=1時，直線/與圓C相交所得弦長為2√Σ

C.圓C與圓E：(x-6y+(y-2)2=l相外切

D.當(dāng)相=1,W=-1時，過直線/上任意一點(diǎn)尸作圓C的兩條切線以、PB,切點(diǎn)分別為A、

B,則弦AB長度的最小值為4&

【正確答案】ACD

【分析】將直線/的方程化為斜截式即可判斷A；利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理即可

判斷B；求出兩圓的圓心距與半徑比較即可判斷C；求出弦AB所在的直線方程，利用垂徑

定理即可判斷D.

【詳解】因為圓C：χ2+∕-6x+4y-3=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程.(χ-3)2+(y+2)Li6

對于A,當(dāng)〃=6加力0時,直線/：如+〃"3=0可化為丫=一迫》_且，直線的斜率為一立,

3m3

所以直線/的傾斜角為T,故選項A正確；

O

對于B,當(dāng)m=〃=1時，直線/的方程為：x+y+3=0,圓心到直線的距離

∣3-2+3∣

d==2√2<4,由垂徑定理可得：弦長為2，廠2_42=2xJ16-8=4夜，故選項B錯

√i+T

誤;

對于C,圓C與圓E的圓心距d=+(2+2)2=5,因為5=4+1="+U,所以兩圓相

外切，故選項C正確；

對于D,當(dāng)機(jī)=1,W=T時，直線/的方程為：x-y+3=0,設(shè)直線/上任意一點(diǎn)P(r,r+3),

過圓外一點(diǎn)P(fJ+3)引圓C(X-3)2+()，+2)2=16的切線，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(%,y°),因為ACjLF4,所以切點(diǎn)A的軌跡是以PC的中點(diǎn)為圓心，以PC為

直徑的圓上，因為AC=4,PC=√ɑ-3)2+(f+5)2=√2r+4r+34,

所以切點(diǎn)A的軌跡方程為：(x-t?+(Illy='”+。也即

222

Λ2+y2-(f+3)X-(f+l)y-6+f=0,

又因為圓C：x2+y2-6x+4γ-3=0,

兩圓方程相減可得公共弦AB所在的直線方程，(f-3)x+(r+5)y-r+3=O,

∣3(r-3)-2(r+5)-r+3∣16

則圓心C到直線AB的距離〃

√(r-3)2+(z+5)2√2(r+l)2+32

由垂徑定理可知：AB=24不，要使弦AB長度最小，則d最大，

當(dāng)f=-l時，d取最大值"max=3"=2a,

此時弦長ΛB=2Λ∕/一屋=2x2夜=40，故選項D正確，

故選ACD

12.在正三棱柱ABC-ABC中，48=州=1,點(diǎn)P滿足8尸=九3。+〃84,其中4e[0,l],

Z∕e[O,IJ,則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)2=1時，的周長為定值

B.當(dāng)M=I時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)彳=；時，存在兩點(diǎn)P,使得Af

D.當(dāng)〃=T時，存在兩點(diǎn)P,使得AB，平面ABr

【正確答案】BC

【分析】對于A,由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對于B,將尸點(diǎn)的運(yùn)動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值;

對于C,考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)

的個數(shù)；

對于D,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)

的個數(shù).

【詳解】易知，點(diǎn)P在矩形BeC向內(nèi)部(含邊界).

對于A,當(dāng)4=1時，BPBC+μBBλ=BC+//CC1,即此時Pe線段CG，P周長不是定

值，故A錯誤；

對于B,當(dāng)〃=IfI寸，BP=λBC+BB=BBt+λBlCl,故此時P點(diǎn)軌跡為線段4G,而qC∣∕∕BC,

片￡〃平面ABC,則有尸到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當(dāng)∕l=∣時，BP=1BC+4BB∣,取BC,Bc中點(diǎn)分別為Q,，，則BP=BQ+//QH,

所以尸點(diǎn)軌跡為線段QH,不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A?-,°,ι，

V2)

P(0,0,μ),則AP=-冬0,"-l,BP=(0,_；,〃)，AyP-BP=μ(μ-l)=0,

所以〃=0或M=I.故H,Q均滿足，故C正確；

對于D,當(dāng)〃=；時，BP=λBC+^BBl,取BB-CG中點(diǎn)為ΛY,N.BP=BMfMN,所

以P點(diǎn)軌跡為線段MN.設(shè)尸(0,為,，，因為4（乎,0,0,所以AP√31]

，

7

AtB=,所以1+；%一；=0=%=一^,此時P與N重合，故D錯誤.

故選：BC

C1

三、填空題

13.在等差數(shù)列｛%｝中，若々=5,&=33,則Ss=.

【正確答案】60

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出“，4,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】因為等差數(shù)列｛α,,｝中，%=5,%=33,

所以d=%-。=7,4=-2,則Ss=54∣+^d=TO+10x7=60.

6-22

故60.

14.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，h,c,若α=4,?=4√3,B=120°,則

△ABC的面積為.

【正確答案】4√3

【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式即可求得面積.

【詳解】由已知及余弦定理可得b2=a2+c2-2αccosBn48=16+c2+4c,

故c?+4c-32=0,解得c=4或c=-8(舍)

所以S=LCSinB=-^-×4×4×--4?∣3

222

故4g

15.已知函數(shù)/(x)=x+3,g(x)=2'+α-1,若對于任意演e(j,l,存在&?2,3],使得

f(xi)<g(x2),則實(shí)數(shù)α的取值范圍是.

3

【正確答案】t∕≥j

【分析】根據(jù)題意先求出函數(shù)/(x)與g(x)的值域，然后將不等式等價轉(zhuǎn)化為17;≤7+α,求

解即可.

14117

【詳解】因為玉又函數(shù)∕ɑ)=x∣+—在上單調(diào)遞減，所以f(X)e[5,q),

又因為函數(shù)g(x)=2'+α-1在R上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x2∈[2,3]時，?(x,)∈[3+tz,7+α],

因為對于任意再，存在電?2,3],使得/(χ)<g(w),

17

又f(F)<5，g(X2)47+a,

所以=17≤7+α,解得：.≥3=,

22

-3

故答案為.”≥5

四、雙空題

16?點(diǎn)P是圓8：(X-Iy+y2=4∕(r>0)上任意一點(diǎn)，A(-l,0),線段AP的中垂線交直線總

于點(diǎn)例，當(dāng)廠>1時，點(diǎn)M的軌跡方程為；當(dāng)0<廠<1時，點(diǎn)M的軌跡方程為

2222

【正確答案】—H---7---=1,(r>1)；-----7=l,(0<r<l).

rr-]r1-r*

【分析】第一空，作圖分析，結(jié)合題意可得∣M4∣+∣M8∣=2r,根據(jù)橢圓的定義即可求得答

案；第二空，由題意可推出IlM41-∣M5∣∣=2r,根據(jù)雙曲線定義，即可求得答案.

【詳解】當(dāng)r>l時，圓B：(x-l『+y2=4，(r>0)半徑為2r>2,點(diǎn)A在圓內(nèi)，如圖，

此時∣M4RMP∣,所以IMAl+∣MBl=IM尸I+∣MBl=IP8∣=2r,

而2r>∣ABI=2,故點(diǎn)M的軌跡是以48為焦點(diǎn)的橢圓，

22

設(shè)橢圓方程為=+\=1,（。>匕>0）,貝IJa=r,c=l,，82=/-1,

a-h-

22

故點(diǎn)例的軌跡方程為=+Y-=l,（r>1）:

rr-1

當(dāng)O<r<l時，圓B：（工一1『+丫2=4產(chǎn)（「>0）半徑為0<2廠<2,點(diǎn)4在圓外，如圖,

線段AP的中垂線交PB延長線于點(diǎn)M,

此時∣K4IHMP,所以IlMAI-IMBll=IlMPl-IMBII=IP51=2r,

而2r<∣A例=2,故點(diǎn)M的軌跡是以AB為焦點(diǎn)的雙曲線，

22

設(shè)雙曲線方程為1一[=1,(4>0,力>0),則α=r,c=1,.二〃=1-r2,

ab

丫22

故點(diǎn)M的軌跡方程為T+上^=l,(0<r<l),

r?-r

2222

??—H—τ—=l,(r>1)；—H—i~7=L(O<r<l)

r'r-1r[-r^

五、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，滿足4SΛ,+3=3%.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵記bn=nan,求數(shù)歹Ij也,｝的前〃項和T1,.

【正確答案】⑴q=（-3）"

⑵北=一暗（一3廣3

?o16

【分析】（1）由S,,于氏的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求解即可;

(2)利用錯位相減法求解即可

【詳解】(I)4S,,+3=3q,①，

當(dāng)時，45,,.I+3=3αn.,(2),

①一②得44,,=3all-3aπ.l,即““=-30,,.l,

又”=1時，q=-3,

/.｛為｝為首項-3,公比-3的等比數(shù)列,

故4,=-3x(-3)"',

二a∏=(-3)”

(2)bπ=n(-3)"

Tn=-3+2×(-3)2+3×(-3)3++〃X(-3)"③

-37；,=(-3)2+2×(-3)3+3×(-3)4++M×(-3)"+'Φ

③—④得4(=(-3)+(-3)~+(-3)3++(-3),；-tt(-3),,+l

.苦誓一〃5

18.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為4,b,c,已知AinA=acos(8-e

⑴求B；

(2)若c=2?,AABC的面積為2叵，求aABC的周長.

3

【正確答案】(I)B=I

⑵26+2

【分析】(1)根據(jù)正弦定理的邊化角和三角恒等變換求解;

(2)利用面積公式和余弦定理求解.

【詳解】(1)由〃SinA=αcos[3-仁)可得sinBsinA=sinAcOS(B-EπJ,

6

因為A∈(O,π),sinA>0,所以SinB=cos-

所以sin8=^cosB+；Sin8,即SinB=6cosB,

所以tanB=5因為3∈(0,π),所以Bg

(2)因為Szvl5c=gαcsin8=cJsin8==,解得〃=,

所以c=2。=生叵，

3

22

由余弦定理。2=a+c-2accosB=4,所以6=2,

所以△川C的周長為α+c+b=2√5+2.

19.已知橢圓C?→∕=l(a>b>0)的離心率為孝，且橢圓長軸長為2立.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線/(不過原點(diǎn)O)與C交于4B,兩點(diǎn)，求.面積的最大值.

【正確答案】(1)J+V=1

Q)&

2

【分析】(1)根據(jù)題意可得出α=√∑,c=l,再利用α,“c的關(guān)系求出6=1,進(jìn)而求解；

(2)由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/：〉=履+2,A(xl,yl),B(x1,y1),聯(lián)立直線/與

橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得為+%，為々，由弦長公式可得IAB|,點(diǎn)到直線的距離公式

可得點(diǎn)。到直線/的距離d,再計算,AOB的面積，利用基本不等式，即可得出答案.

【詳解】(1)因為橢圓的離心率為乎，且橢圓長軸長為2夜，所以α=0,c=l,則

b=√7=/=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.1+丁=1

(2)由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/：'=履+2,Λ(xl,>-l),B(XQ2),

y=fcr+2

聯(lián)立,得(2公+1)/+8依+6=0,

—+V=1

2,

Δ=64&2-24(2%)+1)=8(2?2-3)>0,

所以即k*

βK?<--.

2

8k6

則x∣

+x2=-2k2+l'x'x2~2k2+l

6-2√?2+l?√4)l2-6

故∣AB∣=后公也一切=λ∕FW?J(-洸丁2-4X

2fc2+l2k2+?

點(diǎn)。到直線/的距離”=耳餐，所以AoB的面積S=JABIM=2??：；6

2

?Z=√4?-6>0>貝IJF=W,

c_2t_44_72

故-2(,+6)JJ/+.2瓜-2>當(dāng)且僅當(dāng)f=2&時，等號成立，

4t1

所以/OB面積的最大值為變.

2

20.在四棱錐P-ASC。中，AD=2AB=2BC=4,AD//BC,NBAD=I20°,ABlPC.

(1)求證：PA=PB;

⑵若平面PA8J_平面ABCr),二面角B-PC-H的余弦值為(，求直線DP與平面PBC所成

角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析.

噂

【分析】(1)取AB的中點(diǎn)。，連接OP,OC,證明A32平面PoC,繼而證明A3LPO,

從而證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角B-PC-A的余弦值為結(jié)合

空間向量角的求法求得0P=6,繼而求得平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即

可求得答案.

【詳解】（1）證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)。，連接OP,OC.

依題意可知，AB=BC,AD//BC,ZfiAZ)=120°,

故NABC=60。，,48C為正三角形，

ABLOC,又ABJ_PC,OCcPC=C,PCU平面尸。C,OCU平面POC

.?.ΛB2平面POC,又PoU平面POC,

.?AB±PO,.-.PA=PB.

(2)依題意平面平面ABC￡>,由(1)可知POJ,Aβ,平面AWc平面

ABCQ=ΛB,POu平面以8,

則PoI平面ABCD,故以O(shè)B，OC-OP為x，V,Z軸的正方向建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系.

設(shè)OP=>U>0,則研1,0,0),A(TO,0),c(θ,Λθ),P(0,0,λ),D(-3,2√3,0),

.-.BC=(-l,√3,θ),BP=(TQ2),AC=(I,G,θ),AP=(1,0,4),

設(shè)平面3PC的一個法向量m=x,y,z,由，可得：)八，

BPm=OI-X+2Z=O

令y=下>,則x=3,z=1,‘(3,后號，

AC?〃=Oa+?/?/?=O

設(shè)平面PAC的一個法向量〃=g,b,c,由，可得<：,

APn=Q[q+∕lc=O

33,一百V

令b=—?/?,則。=3,c=,則〃二

可得平面PAC的法向量〃=

依題意可得卜。$(加，")卜1Lr-

勺，解得∕i=√5,即。P=6?

即平面PBC的法向量m=(3,0,6),PD=(-3,2^,-√3),

設(shè)直線DP與平面PBC所成角為巴

則(9的正弦值sinθ=IcosDP,砌=?若,媳=?.

1'zι?DP?-?m?√15√2410

21.已知P(l,2)在拋物線C：y2=2px1..

(1)求拋物線C的方程；

(2)A,B是拋物線C上的兩個動點(diǎn)，如果直線物的斜率與直線PB的斜率之和為2,證明:

直線AB過定點(diǎn).

【正確答案】⑴y2=4x

(2)證明見解析

【分析】(1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求得參數(shù)。，即得拋物線方程；

⑵設(shè)48：x^my+t,設(shè)A(X/,yl),B(x2,”)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定

理得乂+%，乂%，代入即A+即8得參數(shù)：值，從而可得定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得4=2p,

.?.拋物線方程為y2=4x.

(2)證明：設(shè)A8：x—my+t,將AB的方程與y2=4x聯(lián)立得9-4/ny-4f=0,

設(shè)A(x∕,yi),B(X2，/2)，

貝!]y∣+y2-4m,//”=-4f,

所以Δ>0=≠>16m2+16z>0=>w2+f>O,

,

z>∣-2yl-24

kp,