2024研究高考試題++提升解題能力

2024研究高考試題++提升解題能力研究高考試題提升解題能力高三年級的數學教學，特別是高三年級的第二、三輪的復習教學，它的教學目標已經不同于新授課的數學教學，也不同于第一輪的復習教學，它應該著眼于“支撐學科知識體系的重點內容”，因為高考的數學命題者要“精心設計考查數學主體內容，體現(xiàn)數學素質的試題”。因此，二、三輪的復習工作應抓住核心內容和方法，從數學思想和方法入手，完成構建知識網絡，提升解題能力為目標。其實，無論是構建知識網絡，還是提升能力，最終的目標還是以提高學生的應試能力，取得令人滿意的考試結果為目的。因此，如何提高學生分析問題和解決問題的能力，是當前擺在高三數學教師面前最突出的問題，每一位高三的老師在自己的教學實踐中都有著自己一套行之有效的方法，同時因為學情各異，面對不同的學生也有不同的應對方法。在這里，我本人就多年從事高三畢業(yè)教學過程中的一點思考和做法提出來和各位老師交流，我期望通過和各位老師的交流，找到更合適有效的方法，使我們的工作更有成效，使更多的學生受益。我們在平常的解題教學中，志在求知，為培養(yǎng)學生能力，應盡量避免“解題套路”，而著重于學生能力的培養(yǎng)，故應多發(fā)散，但在高考的考場上，學生在兩個小時內要完成一張試卷，時間緊、任務重，為完成得分任務，在遇到熟悉問題時，應考慮“套”、“搬”、“借”，而一張高考試卷不可能題題都創(chuàng)新，可以“套”、“搬”、“借”的題目應該不在少數。因此，在二、三輪的復習中，幫助學生建立一些常規(guī)的解題模板，使學生在解題時對常規(guī)題做到有理可據、有型可依也是我們的教學目標之一。怎樣去構筑解題模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息應來源于歷年的高考試題。因此，研究高考試題，從歷年高考試題中去提煉解題模板應該是最直接、最有效的途徑了。下面我就以函數及其導數為例，剖析近幾年的高考試題，揭示考查的核心關鍵,建立起解題模板，希望通過這樣一個實例，給大家提供一個基本模型。先看下面的例子：（2013全國新課標（I）卷第21題）設函數若曲線和曲線都過點P（0，2），且在P處存在相同切線求的值；（2）若時，，求的取值范圍。分析：（1）易求得令，依題意得當時當當時當時在上單減，在上單增即當時，即恒成立時當時，在上單增，恒成立則從而當時不可能恒成立再看一例（2010年山東第22題）已知函數（1）當時，討論的單調性；（2）設當時，若對存在使，求實數的取值范圍。分析：（1）時，易知在（0，1）和上為負，在上為正。在（0，1）和上單減，在上單增。時，易知在（0，1）和上為負，在上為正。在（0，1）和上單減，在上單增。當時，恒成立，在上單減。時，時，，單減；時，，單增。時或由由得時，時，，單減；時，，單增。（2）可利用（1）的結論易得（略）從上可知，對單調性的討論的基本過程為定義域內單個零點求導求零點定義域內多個零點討論零點分區(qū)定號結論定義域內單個零點無零點或零點不在定義域內時，函數單調無零點或零點不在定義域內時，函數單調這樣的流程是不是具有普遍性，在解題過程是不是好使，我們再來看看09~13年安徽的導數考題2009年（19）（本小題滿分12分）已知函數，a＞0，討論的單調性.本小題主要考查函數的定義域、利用導數等知識研究函數的單調性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。本小題滿分12分。解：的定義域是(0,+),設,二次方程的判別式.當，即時，對一切都有,此時在上是增函數。當,即時，僅對有,對其余的都有,此時在上也是增函數。當，即時，方程有兩個不同的實根,,.+0_0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增此時在上單調遞增,在是上單調遞減,在上單調遞增.2010年17、（本小題滿分12分）設為實數，函數。(Ⅰ)求的單調區(qū)間與極值；(Ⅱ)求證：當且時，。2011年（16）(本小題滿分12分)設，其中為正實數（Ⅰ）當時，求的極值點；（Ⅱ）若為上的單調函數，求的取值范圍。2012年（19）（本小題滿分13分）設（=1\*ROMANI）求在上的最小值；（=2\*ROMANII）設曲線在點的切線方程為；求的值?！窘馕觥浚?1\*ROMANI）設；則=1\*GB3①當時，在上是增函數得：當時，的最小值為=2\*GB3②當時，當且僅當時，的最小值為（=2\*ROMANII）由題意得：2013年（17）（本小題滿分12分）設函數，其中，區(qū)間求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）；給定常數，當時，求的長度的最小值。解：（1）因為方程有兩個實根，故的解集為，因此區(qū)間，的長度為。（2）設，則。令，得。由于，故當時，，單增；當時，，單減。所以當時，的最小值必定在或處取得。而故。因此當時，在區(qū)間上取得最小值。從上可以看出，五年的高考題無一例外的均可用上述流程來解決。其實，在中學導數的應用除與切線相關的問題外，其余的問題如極值問題、最值問題、零點問題、不等式問題等，最終都要落實到單調性上，而討論函數的單調性必然會經過上述流程，這樣一個模板就可以解決相當一部分函數導數題。最后再看一個例子（黃山市2014屆第一次模擬考試第21題）已知函數若函數既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍。設若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數的取值范圍。分析：（1）由有兩不等正實根得（2）由得令或，由在上單增，。只要，記則對恒成立。令或當時，當時，單減，不符題意當時，得或，當時，或，對恒成立，單減，不符題意。當時，記，則在上單減，此時不符。當即時，在上單增，此時，不等式成立。綜上可得：即為所求。本題有一定的綜合性，頭緒多，學生得分情況不理想，但用上面的模去套，則條理清晰，完成本題則不困難。從上面的例子可以看出，只要我們認真去研究高考試題，仔細揣摸命題意圖，高考的命題規(guī)律還是有跡可循的，在二、三輪復習中，將高考試題的解題規(guī)律呈現(xiàn)給學生對提高學生的解題能力，提升學生的自信心是很有幫助的。研究高考試題提升解題能力高三年級的數學教學，特別是高三年級的第二、三輪的復習教學，它的教學目標已經不同于新授課的數學教學，也不同于第一輪的復習教學，它應該著眼于“支撐學科知識體系的重點內容”，因為高考的數學命題者要“精心設計考查數學主體內容，體現(xiàn)數學素質的試題”。因此，二、三輪的復習工作應抓住核心內容和方法，從數學思想和方法入手，完成構建知識網絡，提升解題能力為目標。其實，無論是構建知識網絡，還是提升能力，最終的目標還是以提高學生的應試能力，取得令人滿意的考試結果為目的。因此，如何提高學生分析問題和解決問題的能力，是當前擺在高三數學教師面前最突出的問題，每一位高三的老師在自己的教學實踐中都有著自己一套行之有效的方法，同時因為學情各異，面對不同的學生也有不同的應對方法。在這里，我本人就多年從事高三畢業(yè)教學過程中的一點思考和做法提出來和各位老師交流，我期望通過和各位老師的交流，找到更合適有效的方法，使我們的工作更有成效，使更多的學生受益。我們在平常的解題教學中，志在求知，為培養(yǎng)學生能力，應盡量避免“解題套路”，而著重于學生能力的培養(yǎng)，故應多發(fā)散，但在高考的考場上，學生在兩個小時內要完成一張試卷，時間緊、任務重，為完成得分任務，在遇到熟悉問題時，應考慮“套”、“搬”、“借”，而一張高考試卷不可能題題都創(chuàng)新，可以“套”、“搬”、“借”的題目應該不在少數。因此，在二、三輪的復習中，幫助學生建立一些常規(guī)的解題模板，使學生在解題時對常規(guī)題做到有理可據、有型可依也是我們的教學目標之一。怎樣去構筑解題模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息應來源于歷年的高考試題。因此，研究高考試題，從歷年高考試題中去提煉解題模板應該是最直接、最有效的途徑了。下面我就以函數及其導數為例，剖析近幾年的高考試題，揭示考查的核心關鍵,建立起解題模板，希望通過這樣一個實例，給大家提供一個基本模型。先看下面的例子：（2013全國新課標（I）卷第21題）設函數若曲線和曲線都過點P（0，2），且在P處存在相同切線求的值；（2）若時，，求的取值范圍。分析：（1）易求得令，依題意得當時當當時當時在上單減，在上單增即當時，即恒成立時當時，在上單增，恒成立則從而當時不可能恒成立再看一例（2010年山東第22題）已知函數（1）當時，討論的單調性；（2）設當時，若對存在使，求實數的取值范圍。分析：（1）時，易知在（0，1）和上為負，在上為正。在（0，1）和上單減，在上單增。時，易知在（0，1）和上為負，在上為正。在（0，1）和上單減，在上單增。當時，恒成立，在上單減。時，時，，單減；時，，單增。時或由由得時，時，，單減；時，，單增。（2）可利用（1）的結論易得（略）從上可知，對單調性的討論的基本過程為定義域內單個零點求導求零點定義域內多個零點討論零點分區(qū)定號結論定義域內單個零點無零點或零點不在定義域內時，函數單調無零點或零點不在定義域內時，函數單調這樣的流程是不是具有普遍性，在解題過程是不是好使，我們再來看看09~13年安徽的導數考題2009年（19）（本小題滿分12分）已知函數，a＞0，討論的單調性.本小題主要考查函數的定義域、利用導數等知識研究函數的單調性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。本小題滿分12分。解：的定義域是(0,+),設,二次方程的判別式.當，即時，對一切都有,此時在上是增函數。當,即時，僅對有,對其余的都有,此時在上也是增函數。當，即時，方程有兩個不同的實根,,.+0_0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增此時在上單調遞增,在是上單調遞減,在上單調遞增.2010年17、（本小題滿分12分）設為實數，函數。(Ⅰ)求的單調區(qū)間與極值；(Ⅱ)求證：當且時，。2011年（16）(本小題滿分12分)設，其中為正實數（Ⅰ）當時，求的極值點；（Ⅱ）若為上的單調函數，求的取值范圍。2012年（19）（本小題滿分13分）設（=1\*ROMANI）求在上的最小值；（=2\*ROMANII）設曲線在點的切線方程為；求的值?！窘馕觥浚?1\*ROMANI）設；則=1\*GB3①當時，在上是增函數得：當時，的最小值為=2\*GB3②當時，當且僅當時，的最小值為（=2\*ROMANII）由題意得：2013年（17）（本小題滿分12分）設函數，其中，區(qū)間求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）；給定常數，當時，求的長度的最小值。解：（1）因為方程有兩個實根，故的解集為，因此區(qū)間，的長度為。（2）設，則。令，得。由于，故當時，，單增；當時，，單減。所以當時，的最小值必定在或處取得。而故。因此當時，在區(qū)間上取得最小值。從上可以看出，五年的高考題無一例外的均可用上述流程來解決。其實，在中學導數的應用除與切線相關的問題外，其余的問題如極值問題、最值問題、零點問題、不等式問題等，最終都要落實到單調性上，而討論函數的單調性必然會經過上述流程，這樣一個模板就可以解決相當一部分函數導數題。最后再看一個例子（黃山市2014屆第一次模擬考試第21題）已知函數若函數既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍。設若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數的取值范圍。分析：（1）由有兩不等正實根得（2）由得令或，由在上單增，。只要，記則對恒成立。令或當時，當時，單減，不符題意當時，得或，當時，或，對恒成立，單減，不符題意。當時，記，則在上單減，此時不符。當即時，在上單增，此時，不等式成立。綜上可得：即為所求。本題有一定的綜合性，頭緒多，學生得分情況不理想，但用上面的模去套，則條理清晰，完成本題則不困難。從上面的例子可以看出，只要我們認真去研究高考試題，仔細揣摸命題意圖，高考的命題規(guī)律還是有跡可循的，在二、三輪復習中，將高考試題的解題規(guī)律呈現(xiàn)給學生對提高學生的解題能力，提升學生的自信心是很有幫助的。為什么把≥（a，b＞0）叫做“基本不等式”1．從“數及其運算”的角度看，是兩個正數a，b的“平均數”；從定量幾何的角度看，ab是長為a、寬為b的矩形面積，就叫做兩個非負數a，b的“幾何平均”。因此，不等式中涉及的是代數、幾何中的“基本量”。2．有多種等價形式：代數——涉及兩個正數的運算，也就是通過加、減、乘、除、乘方、開方等運算而產生的變化。在對運算結果之間的大小關系比較中就可以得到各種表現(xiàn)形式；幾何——周長相等的矩形中，正方形的面積最大；或者，以a+b為斜邊的直角三角形中，等腰直角三角形的高最長；或者，更直觀地，等圓中，弦長不大于直徑；……函數——本質上是函數凹凸性的反映。例如，可以直接通過函數，，等學生最熟悉的函數的凹凸性導出公式；或者，利用函數圖像的切線（本質上是“以直代曲”），例如，過點(1,1)作曲線的切線，切線方程為，曲線總位于切線的下方，故有，≤。令，代入化簡即得重要不等式。也可以這樣考慮：在一個平面內固定一條直線x+y=2A，考察曲線族xy=c（這里c是參數），畫個圖就可以看出，和給定直線有公共點，且使c取最大值的曲線，是和直線相切于（A，A）的那條曲線，這時c=A2，于是xy≤。3．證明方法的多樣性從上所述已經表明，“基本不等式”確是與重要的數學概念和性質相關，體現(xiàn)基礎知識的聯(lián)系性，表述形式簡潔、流暢且好懂，而且從上述聯(lián)系性中，事實上也已經給出了證明的各種思路，這些思路與數學的基本概念相關，不涉及太多的技巧。我們還可以從“平均數”的角度來構造性地證明：設A=。引進一個量d=，則a=A+d，b=A－d。于是ab=A2－d2=，由d≥0容易得到≤。4．可推廣。我們大家都知道有n個正數的幾何平均值不大于算術平均值的定理。這個定理的證明方法很多，由此就能培養(yǎng)學生的解題能力，而且能體現(xiàn)創(chuàng)造性。值得注意的是，n個數（不一定為正）的算術平均是一個重要的最小性質，有廣泛的用途，特別是在統(tǒng)計中，就是對于某個未知量x，我們通過測量獲得了它的n個觀測值xi（i=1，2，…，n）。由于測量誤差，這些值會略有不同，那么x取什么值才最可信呢？數學王子高斯的想法是：用x－xi表示觀測值xi與理想值x之間的偏差（可正可負），可以把那個使總偏差最小的值作為理想值的最佳估計。數學中，習慣上把(x－xi)2作為不精確性的適當的度量，這樣問題就轉化為求使的最小值。非常湊巧，這個值恰好就是這n個觀測值的算術平均——這是重要的高斯“最小二乘法”的出發(fā)點?；静坏仁降慕虒W過程概錄1．借助問題情境（趙爽弦圖），得到a2+b2＞2ab。老師提示：當a=b時，有。通過課件，動態(tài)演示面積變化情況，直觀展示等號成立的條件。師：當a，b為任意實數時，上式還成立嗎？你能給出它的證明嗎？生：利用完全平方，(a－b)2≥0，即a2－2ab+b2≥0，得到a2+b2≥2ab。師：還有什么方法？（片刻后）證明不等式的常用方法是“作差”。證明：.由證明過程可知：不等式恒成立.師：通過剛才的探究，我們得到了一個對任意實數都成立的不等式。特別是a=b時，；反過來時，定有a=b。所以我們說當且僅當a=b時取等號。2．探究新知師：當a＞0，b＞0時，如果用,替換上述結論中的a，b，能得到什么結論？生：可得。師：你能證明這個不等式嗎？什么時候取等號？學生模仿已有證明，用綜合法。教師讓學生閱讀教科書，并填空：要證，①只要證②要證②,只要證③要證③,只要證④顯然,④是成立的。當且僅當a=b時，④中的等號成立。DCABEO再閱讀課本的“DCABEO教師對基本不等式做出如下說明：（1）注意基本不等式成立的條件；（2）注意基本不等式的結構：兩個正數之積與兩數之和之間的不等關系。（3）注意等號成立的條件。3．知識應用例1判斷下列說法是否正確：若x＞0，則≥2；若x＜0，則≤－2；若ab≠0，則≥2；若ab＝3，則a+b≥2。（1）生：因為－2=≥0，所以≥2。（2）生：+2=≥0，所以……？師：能寫為嗎？生：哦，不能！應該是≥0，所以≤－2。教師提醒：注意，利用基本不等式，最基本的是要求兩個數大于0。本題是經過變形可以利用基本不等式。（3）當ab＞0時，≥2；當ab＜0時，≤－2。教師補充：實際上，概括一下就是前面（1）和（2）。（4）生：當a＞0，b＞0時，a+b≥2=2；當a＜0，b＜0時，……師：怎么還不會？看一下（3）的解答。生：哦，因為－a－b≥2=2，所以a+b≤－2。師：通過這幾個例題可以知道，在基本不等式中，要求a，b大于0。例2在下列函數中，最小值是2的是（）（A）（x≠0）（B）（1＜x＜10）（C）（x