專題09 利用銳角三角函數(shù)解實際問題(含答案)-備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練

備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練專題09利用銳角三角函數(shù)解實際問題【典型例題】1．(2022·遼寧沈河·九年級期末)如圖是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的訂書器，AB是訂書機的托板，壓柄BC繞著點B旋轉(zhuǎn)，連接桿DE的一端點D固定，點E從A向B處滑動．在滑動過程中，DE的長保持不變．已知BD＝cm．(1)如圖1，當(dāng)∠ABC＝45°，BE＝12cm時，求連接桿DE的長度；(結(jié)果保留根號)(2)現(xiàn)將壓柄BC從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座AB垂直，如圖2所示，請直接寫出此過程中，點E滑動的距離．(結(jié)果保根號)【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2022·山東歷下·九年級期末)如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡比為，壩高為4m，則的長度為()A．8m B．m C．m D．m2．(2022·山東歷下·九年級期末)我國航天事業(yè)捷報頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心．當(dāng)天舟二號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角∠DPA為30°，A與P兩點的距離為10千米；它沿鉛垂線上升到達B處時，此時在P處測得B點的仰角∠DPB為45°，則天舟二號從A處到B處的距離AB的長為()(參考數(shù)據(jù)：，)A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米3．(2022·江蘇通州·九年級期末)如圖，要測量山高，可以把山坡“化整為零”地劃分為和兩段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡長，，測得坡角，，則山高為(

)A． B．C． D．4．(2022·山東歷城·九年級期末)如圖，某建筑物的頂部有一塊宣傳牌CD．小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°，已知斜坡AB的坡角為30°，米，米，則宣傳牌CD的高度是(

)米A． B． C． D．二、填空題5．(2022·江蘇海門·九年級期末)如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量樓房DC的高度．在點A處測得樓頂D的仰角為30°，再往樓房的方向前進30m至B處，測得樓頂D的仰角為45°，則樓房DC的高度為______m．6．(2022·北京房山·九年級期末)如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60，看這棟高樓底部的俯角為30，熱氣球與高樓的水平距離為60m，這棟樓的高度是___________m．7．(2022·河北·石家莊二十三中九年級期末)第6號臺風(fēng)“煙花”于2021年7月25日12時30分前后登陸舟山普陀區(qū)，登陸時強度為臺風(fēng)級，中心最大風(fēng)速38米/秒．此時一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A處看煙花S在船的北偏東15°方向，航行40分鐘后到達B處，在B處看煙花S在船的北偏東45°方向．(1)此時A到B的距離是_____；(2)該船航行過程中距離煙花S中心的最近距離為_____．(提示：sin15°)．8．(2022·浙江婺城·九年級期末)圖1是一款折疊式跑步機，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2(忽略跑步機的厚度)．該跑步機由支桿AB(點A固定)，點E在滑槽AC上滑動．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收納時，滑動端點E向右滑至點C，點F與點A重合；打開時，若滑動桿EF與AD夾角的正切值為2，則察看點F處的儀表盤視角為最佳．(1)BE＝_____cm；(2)當(dāng)滑動端點E與點A的距離EA＝_____cm時，察看儀表盤視角最佳．三、解答題9．(2021·浙江諸暨·九年級期末)為有效預(yù)防新型冠狀病毒的傳播，如圖1為醫(yī)院里常見的“測溫門”，圖2為該“測溫門”截面示意圖．小聰做了如下實驗：當(dāng)他在地面M處時“測溫門”開始顯示額頭溫度，此時在額頭B處測得A的仰角為30°；當(dāng)他在地面N處時，“測溫門”停止顯示額頭溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為60°．經(jīng)測量該測溫門的高度AD為2.5米，小聰?shù)挠行y溫區(qū)間MN的長度是1米，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求小聰?shù)纳砀逤N為多少？(注：額頭到地面的距離以身高計)(參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.01米)10．(2022·重慶榮昌·九年級期末)如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD，李明在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°．沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡的坡度，AB＝12米，AE＝24米．(測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)(1)求點B距水平地面AE的高度；(2)求廣告牌CD的高度．11．(2022·山東泰山·九年級期末)如圖，1號樓在2號樓的南側(cè)，兩樓高度均為，樓間距為．冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角為30°，1號樓在2號樓墻面上的影高為；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為60°，1號樓在2號樓墻面上的影高為．已知．(1)求樓間距；(2)若2號樓共30層，層高均為，則點位于第幾層？12．(2022·浙江鄞州·九年級期末)如圖，某漁船向正東方向以14海里/時的速度航行，在處測得小島在北偏東方向，2小時后漁船到達處，測得小島在北偏東方向，已知該島周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁．(參考數(shù)據(jù)：)(1)求處距離小島的距離(精確到海里)；(2)為安全起見，漁船在處向東偏南轉(zhuǎn)了繼續(xù)航行，通過計算說明船是否安全？13．(2022·山東商河·九年級期末)一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿CD的位置來調(diào)節(jié)躺椅舒適度，假設(shè)AB所在的直線為地面，已知，當(dāng)把圖②中的支撐桿CD調(diào)節(jié)至圖③中的的位置時，由變?yōu)椋?1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？(參考數(shù)據(jù)：，)(2)已知點O為AE的一個三等分點，根據(jù)人體工程學(xué)，當(dāng)點O到地面的距離為26cm時，人體感覺最舒適．請你求出此時枕部E到地面的高度．14．(2021·山東張店·九年級期中)在日常生活中，我們經(jīng)?？吹揭恍┐皯羯习惭b著遮陽篷，如圖①．現(xiàn)在要為一個面向正南的窗戶設(shè)計安裝一個遮陽篷，如圖②所示，已知該地區(qū)冬天正午太陽最低時，光線與水平線的夾角為34°；夏天正午太陽最高時，光線與水平線的夾角為76°．圖②中表示窗戶的高，表示直角形遮陽篷．(1)怎樣設(shè)計遮陽篷，才能正好在冬天正午太陽最低時使光線最大限度地射入室內(nèi)而夏天正午太陽最高時使光線剛好不射入室內(nèi)？請在圖③中畫圖表示；(2)已知，在(1)的條件下，求出，的長度．(精確到1cm)(參考數(shù)據(jù)：，，，，，)15．(2022·重慶南開中學(xué)九年級期末)如圖，在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天輪建在山體上．如圖2，小北在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，然后乘坐扶梯到達山體平臺B處，已知AB坡度，且米，米，于點C，(A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)，)．(1)求平臺上點B到山體底部底面AE的距離；(2)求摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，)16．(2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級期末)圖①是某小區(qū)折疊道閘的實景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時，折疊桿“AE﹣EF”可繞點A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為∠BAE(90°≤∠BAE≤150°)，同時桿EF始終與地面BD保持平行．(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)(1)當(dāng)張角∠BAE為135°時，求桿EF與地面BD之間的距離(結(jié)果精確到0.01m)；(2)試通過計算判斷寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車能否正常通過此道閘？17．(2022·重慶南開中學(xué)九年級期末)如圖1，在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天輪建在山體上．如圖2，小北在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，然后乘坐扶梯到達山體平臺B處，已知AB坡度i＝3：4，且米，BC＝50米，CD⊥BF于點C(A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)，AE∥BF)．(1)求平臺上點B到山體底部地面AE的距離；(2)求摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3)18．(2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級期末)重慶移動為了提升網(wǎng)絡(luò)信號，在坡度為的山坡AD上加裝了信號塔PQ(如圖所示)，信號塔底端Q到坡底A的距離為3.9米．同時為了提醒市民，在距高斜坡底A點4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN．當(dāng)太陽光線與水平線成53°角時，測得信號塔PQ落在警示牌上的影子EN長為3米．(1)求點Q所在位置的鉛直高度；(2)請計算信號塔PQ的高度大約為多少米．(參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到0.1米)19．(2022·重慶八中九年級期末)小明家的新建房子從正面看為一軸對稱圖形(圖1)，圖2是它的正面示意圖，為測量房子的高度，小明在地面P處測得房頂B的仰角為30°，且此時地面P、房檐C、房頂B恰好在一條直線上，繼續(xù)向前走13米到達點Q，又測得房頂B的仰角為22°．已知M，N，P，Q在同一水平線上，，．(參考數(shù)據(jù)：，，，)(1)求房頂B到橫梁AC的距離(結(jié)果保留根號)；(2)求房頂B到地面MN的距離(結(jié)果精確到0.1m)．20．(2021·江蘇·開明中學(xué)九年級期末)圖1、圖2分別是某型號拉桿箱的實物圖與示意圖，小張獲得了如下信息：滑桿DE，箱長BC，拉桿AB的長度都相等，B，F(xiàn)在AC上，C在DE上，支桿DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，請根據(jù)以上信息，解決下列問題．(1)求AC的長度：(2)直接寫出拉桿端點A到水平滑桿ED所在直線的距離cm．21．(2021·遼寧皇姑·九年級期末)如圖①是某中型挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成，圖②是共側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖(MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂)，若主臂AB長為4米，主臂伸展角∠MAB的范圍是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范圍是：45°≤∠ABC≤105°．(1)如圖③，當(dāng)∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接觸地面時，求伸展臂BC的長(結(jié)果保留根號)；(2)若(1)中BC長度不變，求該挖掘機最遠能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．(結(jié)果保留根號)22．(2021·甘肅·九年級專題練習(xí))如圖①，太極揉推器是一種常見的健身器材，基本結(jié)構(gòu)包括支架和轉(zhuǎn)盤．如圖②是該太極揉推器的左視圖，立柱AB的長為125cm，支架OC的長為40cm，支點C到立柱頂點B的距離為25cm，支架OC與立柱AB的夾角∠OCA＝120°，轉(zhuǎn)盤的直徑DE、PQ為60cm，點O是DE的中點，支架OC與轉(zhuǎn)盤直徑DE垂直．(1)求直徑DE與直徑PQ所在直線的夾角；(2)求轉(zhuǎn)盤的最低點E距離地面的距離．23．(2022·上海徐匯·九年級期末)如圖1是一種自卸貨車，圖2是該貨車的示意圖，貨箱側(cè)面是一個矩形，長米，寬米，初始時點A、B、F在同一水平線上，車廂底部AB離地面的高度為1.3米．卸貨時貨箱在千斤頂?shù)淖饔孟吕@著點A旋轉(zhuǎn)，箱體底部AB形成不同角度的斜坡．(1)當(dāng)斜坡AB的坡角為37°時，求車廂最高點C離地面的距離；(2)點A處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸(點E處)的水平距離叫做安全軸距，已知該車的安全軸距為0.7m．貨廂對角線AC、BD的交點G是貨廂側(cè)面的重心，卸貨時如果A、G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發(fā)生車輛傾覆安全事故．當(dāng)斜坡AB的坡角為45°時，根據(jù)上述車輛設(shè)計技術(shù)參數(shù)，該貨車會發(fā)生車輛傾覆安全事故嗎？試說明你的理由．(精確到0.1米，參考值：，，，)24．(2021·山東文登·九年級期中)圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm(即MP的長度)，槍身BA＝8.5cm．(參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，)(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測得∠BMN＝68.6°，小紅與測溫員之間距離為50cm．問此時槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練專題09利用銳角三角函數(shù)解實際問題【典型例題】1．(2022·遼寧沈河·九年級期末)如圖是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的訂書器，AB是訂書機的托板，壓柄BC繞著點B旋轉(zhuǎn)，連接桿DE的一端點D固定，點E從A向B處滑動．在滑動過程中，DE的長保持不變．已知BD＝cm．(1)如圖1，當(dāng)∠ABC＝45°，BE＝12cm時，求連接桿DE的長度；(結(jié)果保留根號)(2)現(xiàn)將壓柄BC從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座AB垂直，如圖2所示，請直接寫出此過程中，點E滑動的距離．(結(jié)果保根號)【答案】(1)連接桿的長度為；(2)．【解析】【分析】(1)過點D作DM⊥AB交AB與點M，在Rt△BDM中，通過解直角三角形可求出DM、BM的長度，在Rt△DEM中，利用勾股定理可求出DE的長；(2)在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的長度，結(jié)合(1)中BE的長度即可求出點E滑動的距離．【詳解】解(1)在圖1中，過點D作DM⊥AB交AB與點M，在Rt△BDM中，DM=BD?sin45°=，BM=BD?cos45°=，在Rt△DEM中，∠DME=90°，DM=4，EM=BE-BM=8，∴DE=∴連接桿DE的長度為；(2)在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BD=，DE=，∴BE=

∴在此過程中點E滑動的距離為cm．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握解直角三角形以及靈活使用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2022·山東歷下·九年級期末)如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡比為，壩高為4m，則的長度為()A．8m B．m C．m D．m【答案】B【解析】【分析】根據(jù)坡比的概念求出AC即可．【詳解】根據(jù)題意可知，∴，解得：m，故選B．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡比問題，掌握坡比的概念是解題的關(guān)鍵．2．(2022·山東歷下·九年級期末)我國航天事業(yè)捷報頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心．當(dāng)天舟二號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角∠DPA為30°，A與P兩點的距離為10千米；它沿鉛垂線上升到達B處時，此時在P處測得B點的仰角∠DPB為45°，則天舟二號從A處到B處的距離AB的長為()(參考數(shù)據(jù)：，)A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米【答案】D【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AD=5(千米)，再由銳角三角函數(shù)定義求出PD、BD的長，即可得出答案．【詳解】解：在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=，∴AD=AP=×10=5(千米)，PD=AP?cos30°=10×=5(千米)，在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=，∴BD=PD?tan45°=5×1=5(千米)，∴AB=BD-AD=5-5≈8.5-5=3.5(千米)，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．3．(2022·江蘇通州·九年級期末)如圖，要測量山高，可以把山坡“化整為零”地劃分為和兩段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡長，，測得坡角，，則山高為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABF中根據(jù)∠BAF=30°得出BF的長，從而得到DE的長，再在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦計算出CE，然后計算CE和DE的和即可．【詳解】解：∵BE⊥CD，BF⊥AD，∠D=90°，∴四邊形BEDF是矩形，∴BF=DE，∵AB=600，∠BAF=30°，∴DE=BF=AB=300米，在Rt△BCE中，∵BC=200米，∠CBE=45°，∴CE=BC·sin∠CBE=800×=400(米)，∴CD=300+400(米),故選C．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．4．(2022·山東歷城·九年級期末)如圖，某建筑物的頂部有一塊宣傳牌CD．小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°，已知斜坡AB的坡角為30°，米，米，則宣傳牌CD的高度是(

)米A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】過點B分別作AE、DE的垂線，垂足分別為G、F，在Rt△ABG中，由已知可求得BG、AG的長，從而可易得EF及EG、BF的長度，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CF的長度，在Rt△DAE中，由正切函數(shù)關(guān)系可求得DE的長度，從而可求得CD的長度．【詳解】過點B分別作AE、DE的垂線，垂足分別為G、F，如圖在Rt△ABG中，∠BAG=30゜∴米，(米)∴米∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED

∴四邊形BGEF是矩形∴EF=BG=5米，米∵∠CBF=45゜，BF⊥ED∴∠BCF=∠CBF=45゜∴米在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米∴(米)∴米故選：A【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，理解坡角、仰角的含義，構(gòu)造輔助線得到直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．(2022·江蘇海門·九年級期末)如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量樓房DC的高度．在點A處測得樓頂D的仰角為30°，再往樓房的方向前進30m至B處，測得樓頂D的仰角為45°，則樓房DC的高度為______m．【答案】【解析】【分析】由題意知，有，，可得，，根據(jù)計算求解即可．【詳解】解：由題意知∴解得∴∴解得故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于確定線段的數(shù)量關(guān)系．6．(2022·北京房山·九年級期末)如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60，看這棟高樓底部的俯角為30，熱氣球與高樓的水平距離為60m，這棟樓的高度是___________m．【答案】【解析】【分析】求這棟樓的高度，即BC的長度，根據(jù)，在Rt△ABD和Rt△ACD中分別求出BD，CD就可以．【詳解】解：在Rt△ABD中，，，AD=60m，∴．在Rt△ACD中，，，∴．∴故答案為：．【點睛】此題主要考查了仰角俯角問題，利用三角函數(shù)關(guān)系解直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．(2022·河北·石家莊二十三中九年級期末)第6號臺風(fēng)“煙花”于2021年7月25日12時30分前后登陸舟山普陀區(qū)，登陸時強度為臺風(fēng)級，中心最大風(fēng)速38米/秒．此時一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A處看煙花S在船的北偏東15°方向，航行40分鐘后到達B處，在B處看煙花S在船的北偏東45°方向．(1)此時A到B的距離是_____；(2)該船航行過程中距離煙花S中心的最近距離為_____．(提示：sin15°)．【答案】

18nmile

nmile##nmile【解析】【分析】如圖，過作于先由路程等于速度乘以時間求解再利用sin15°求解再設(shè)而再利用建立方程，再解方程，從而可得答案.【詳解】解：如圖，過作于由題意可得：設(shè)則設(shè)而解得：經(jīng)檢驗符合題意；所以：該船航行過程中距離煙花S中心的最近距離為：nmile.故答案為：18nmile，nmile.【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，熟練的利用的值求解是解本題的關(guān)鍵.8．(2022·浙江婺城·九年級期末)圖1是一款折疊式跑步機，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2(忽略跑步機的厚度)．該跑步機由支桿AB(點A固定)，點E在滑槽AC上滑動．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收納時，滑動端點E向右滑至點C，點F與點A重合；打開時，若滑動桿EF與AD夾角的正切值為2，則察看點F處的儀表盤視角為最佳．(1)BE＝_____cm；(2)當(dāng)滑動端點E與點A的距離EA＝_____cm時，察看儀表盤視角最佳．【答案】

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【解析】【分析】(1)根據(jù)收納時，滑動端點E向右滑至點C，點F與點A重合；可得AB＝FB，EF＝AC，利用已知數(shù)據(jù)計算即可；(2)過點B作BM⊥AC，垂足為M，解直角三角形即可．【詳解】解：(1)∵收納時，滑動端點E向右滑至點C，點F與點A重合，∴AB＝FB＝60cm，EF＝AC＝125cm，∴BE＝EF-FB＝65cm，故答案為：65；(2)過點B作BM⊥AC，垂足為M，∵察看儀表盤視角最佳，∴，∴，即解得，cm；cm；cm；EA＝cm；故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)建直角三角形，準確解直角三角形．三、解答題9．(2021·浙江諸暨·九年級期末)為有效預(yù)防新型冠狀病毒的傳播，如圖1為醫(yī)院里常見的“測溫門”，圖2為該“測溫門”截面示意圖．小聰做了如下實驗：當(dāng)他在地面M處時“測溫門”開始顯示額頭溫度，此時在額頭B處測得A的仰角為30°；當(dāng)他在地面N處時，“測溫門”停止顯示額頭溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為60°．經(jīng)測量該測溫門的高度AD為2.5米，小聰?shù)挠行y溫區(qū)間MN的長度是1米，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求小聰?shù)纳砀逤N為多少？(注：額頭到地面的距離以身高計)(參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.01米)【答案】1.63米【解析】【分析】延長BC交AD于點E，設(shè)AE=x米，通過解直角三角形分別表示出BE、CE的長度，根據(jù)得到，解得即可求出AE進而即可求出CN．【詳解】解：延長BC交AD于點E，設(shè)AE=x米，(米)(米)(米)解得(米)(米)答：小聰?shù)纳砀逤N為1.63m．【點睛】此題考查了直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是能借助仰角構(gòu)造直角三角形．10．(2022·重慶榮昌·九年級期末)如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD，李明在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°．沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡的坡度，AB＝12米，AE＝24米．(測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)(1)求點B距水平地面AE的高度；(2)求廣告牌CD的高度．【答案】(1)6米(2)約為米【解析】【分析】(1)過點作于點，先根據(jù)坡度的定義可得，從而可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得；(2)過點作于點，作于點，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得米，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得米，從而可得的長，然后在中，解直角三角形可得的長，最后根據(jù)即可得．(1)解：如圖，過點作于點，山坡的坡度，米，，，米，故點距水平地面的高度為6米．(2)解：如圖，過點作于點，作于點，則四邊形是矩形，米，米，米，米，米，在中，，，米，米，在中，，米，，解得(米)，(米)，答：廣告牌的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形、坡度等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．11．(2022·山東泰山·九年級期末)如圖，1號樓在2號樓的南側(cè)，兩樓高度均為，樓間距為．冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角為30°，1號樓在2號樓墻面上的影高為；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為60°，1號樓在2號樓墻面上的影高為．已知．(1)求樓間距；(2)若2號樓共30層，層高均為，則點位于第幾層？【答案】(1)(2)點位于21層【解析】【分析】(1)構(gòu)造出兩個直角三角形，利用兩個角的正切值即可求出答案．(2)只需計算出CA的高度即可求出樓層數(shù)．(1)過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，∴由題意可知：設(shè)，在中，，

，

同理可得：在中，，，由，可得，解得：樓間距，(2)由(1)可得：，由于2號樓每層3米，可知點位于21層．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確運用銳角三角函數(shù)來求出相應(yīng)的線段．12．(2022·浙江鄞州·九年級期末)如圖，某漁船向正東方向以14海里/時的速度航行，在處測得小島在北偏東方向，2小時后漁船到達處，測得小島在北偏東方向，已知該島周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁．(參考數(shù)據(jù)：)(1)求處距離小島的距離(精確到海里)；(2)為安全起見，漁船在處向東偏南轉(zhuǎn)了繼續(xù)航行，通過計算說明船是否安全？【答案】(1)22.6海里(2)能安全通過．【解析】【分析】(1)根據(jù)方向角的定義得出∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，在兩個直角三角形中，由直角三角形的邊角關(guān)系可求出CM，進而求出BC；(2)求出點C到BE的距離CN的值，比較得出答案．(1)解：如圖，過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由題意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在Rt△CAM中，∵tan∠ACM＝，∴tan70°＝，解得CM≈16，在Rt△BCM中，BC＝CM＝16≈22.6(海里)，答：B處距離小島C的距離約為22.6海里；(2)解：在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，∴CN＝BC?sin∠CBN≈16×0.94≈21.2(海里)，∵21.2＞20，∴能安全通過，答：能安全通過．【點睛】本題考查直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，作垂線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．13．(2022·山東商河·九年級期末)一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿CD的位置來調(diào)節(jié)躺椅舒適度，假設(shè)AB所在的直線為地面，已知，當(dāng)把圖②中的支撐桿CD調(diào)節(jié)至圖③中的的位置時，由變?yōu)椋?1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？(參考數(shù)據(jù)：，)(2)已知點O為AE的一個三等分點，根據(jù)人體工程學(xué)，當(dāng)點O到地面的距離為26cm時，人體感覺最舒適．請你求出此時枕部E到地面的高度．【答案】(1)調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約；(2)枕部E到地面的高度為【解析】【分析】(1)過點E作，交AB的延長線于點F．利用銳角三角函數(shù)，即可求解；(2)通過解直角三角形AEF可得結(jié)論．(1)如圖，過點E作，交AB的延長線于點F．當(dāng)時，，此時．當(dāng)時，，此時．所以調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約．(2)因為點O為AE的一個三等分點，所以．如圖，過點O作，垂足為P．設(shè)當(dāng)人體感覺最舒適時，，則，所以．所以當(dāng)人體感覺最舒適時，枕部E到地面的高度為78cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程，正確構(gòu)造直角三角形．14．(2021·山東張店·九年級期中)在日常生活中，我們經(jīng)?？吹揭恍┐皯羯习惭b著遮陽篷，如圖①．現(xiàn)在要為一個面向正南的窗戶設(shè)計安裝一個遮陽篷，如圖②所示，已知該地區(qū)冬天正午太陽最低時，光線與水平線的夾角為34°；夏天正午太陽最高時，光線與水平線的夾角為76°．圖②中表示窗戶的高，表示直角形遮陽篷．(1)怎樣設(shè)計遮陽篷，才能正好在冬天正午太陽最低時使光線最大限度地射入室內(nèi)而夏天正午太陽最高時使光線剛好不射入室內(nèi)？請在圖③中畫圖表示；(2)已知，在(1)的條件下，求出，的長度．(精確到1cm)(參考數(shù)據(jù)：，，，，，)【答案】(1)見解析(2)BC、CD的長度分別約為30cm、45cm．【解析】【分析】(1)夏天，光線最高經(jīng)過點A，冬天，光線最低經(jīng)過點B．應(yīng)過點A作與水平線成76°的角，過B作∠CBD＝56°與76°的角交于點D，過D向AB引垂線，垂足為C即可；(2)應(yīng)利用直角三角函數(shù)表示出AC，BC長，利用相關(guān)的關(guān)系即可求得所求線段長度．(1)解：過點A作與水平線成76°的角，過B作∠CBD＝56°與76°的角交于點D，過D向AB引垂線，垂足為C；如圖：遮陽篷即為所求；(2)解：如圖，設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)．在Rt△ADC和Rt△DBC中，由題意，得∴150+y?tan34°＝y(tǒng)?tan76°∴(cm)x＝y(tǒng)?tan34°≈30(cm)．答：BC、CD的長度分別約為30cm、45cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，利用三角函數(shù)建立線段之間的關(guān)系，列方程求解．15．(2022·重慶南開中學(xué)九年級期末)如圖，在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天輪建在山體上．如圖2，小北在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，然后乘坐扶梯到達山體平臺B處，已知AB坡度，且米，米，于點C，(A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)，)．(1)求平臺上點B到山體底部底面AE的距離；(2)求摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】(1)米(2)100米【解析】【分析】(1)過點作，根據(jù)AB坡度，且米，設(shè)，則，進而求得，即可求得，進而求得；(2)延長交于點，解直角三角形,進而即可求得,(1)解：如圖，過點作，AB坡度，且米，設(shè)，則，米，米米即平臺上點B到山體底部底面AE的距離為48米(2)解：如圖，延長交于點，,，四邊形是矩形則米，米，在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，即，在中，米米即摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．(2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級期末)圖①是某小區(qū)折疊道閘的實景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時，折疊桿“AE﹣EF”可繞點A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為∠BAE(90°≤∠BAE≤150°)，同時桿EF始終與地面BD保持平行．(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)(1)當(dāng)張角∠BAE為135°時，求桿EF與地面BD之間的距離(結(jié)果精確到0.01m)；(2)試通過計算判斷寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車能否正常通過此道閘？【答案】(1)2.26米；(2)不能，理由見解析．【解析】【分析】(1)作，交BD于點M，AC于點N．根據(jù)題意結(jié)合作圖可知，．再由∠BAE為時，可求出，即可判斷為等腰直角三角形，在根據(jù)勾股定理即可求出EN的值，從而可求出EM的值，即桿EF與地面BD之間的距離；(2)當(dāng)張角∠BAE最大，為時，可通過車輛的寬度和高度都是最大的，如圖，在BD上截取DP=1.8m，再過點P作，交AC于點Q，PQ延長線交AE于點G．由作圖可知，．再根據(jù)，可求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求出，即符合G點在AE上．最后根據(jù)銳角三角函數(shù)解直角三角形可求出的大小，從而求出GP的大小，與該小型廂式貨車的高度作比較即可．(1)如圖，作，交BD于點M，AC于點N．根據(jù)題意可知，∴，∴四邊形為矩形，∴，．當(dāng)張角∠BAE為時，，∴為等腰直角三角形，∴，∴故桿EF與地面BD之間的距離為2.26米．(2)當(dāng)張角∠BAE最大，為時，可通過車輛的寬度和高度都是最大的，如圖，在BD上截取DP=1.8m，再過點P作，交AC于點Q，PQ延長線交AE于點G．同理由作圖可知．∵，∴，即．∵DP=1.8m，∴，∴，符合G點在AE上．∴在中，，∴故該小型廂式貨車不能正常通過此道閘．【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的實際應(yīng)用等知識．理解題意，作出合適的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．17．(2022·重慶南開中學(xué)九年級期末)如圖1，在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天輪建在山體上．如圖2，小北在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，然后乘坐扶梯到達山體平臺B處，已知AB坡度i＝3：4，且米，BC＝50米，CD⊥BF于點C(A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)，AE∥BF)．(1)求平臺上點B到山體底部地面AE的距離；(2)求摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3)【答案】(1)米(2)100米【解析】【分析】(1)過點作，根據(jù)AB坡度，且米，設(shè)，則，進而求得，即可求得，進而求得；(2)延長交于點，解直角三角形,進而即可求得,(1)解：如圖，過點作，AB坡度，且米，設(shè)，則，米，米米即平臺上點B到山體底部底面AE的距離為48米；(2)解：如圖，延長交于點，,，四邊形是矩形則米，米，在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，即，在中，米米即摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．18．(2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級期末)重慶移動為了提升網(wǎng)絡(luò)信號，在坡度為的山坡AD上加裝了信號塔PQ(如圖所示)，信號塔底端Q到坡底A的距離為3.9米．同時為了提醒市民，在距高斜坡底A點4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN．當(dāng)太陽光線與水平線成53°角時，測得信號塔PQ落在警示牌上的影子EN長為3米．(1)求點Q所在位置的鉛直高度；(2)請計算信號塔PQ的高度大約為多少米．(參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到0.1米)【答案】(1)點Q所在位置的鉛直高度為1.5米(2)信號塔PQ的高度大約為12.1米【解析】【分析】(1)直接根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形利用坡度的定義得出QG的長；(2)利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PF的長，進而得出答案．(1)解：過點E作EF⊥PQ于點F，延長PQ交BA于點G，可得QG⊥BA，∵QA=3.9m，QG：AG=1：2.4，∴設(shè)QG=x，則AG=2.4x，∴x2+(2.4x)2=3.92，解得：x=1.5，∴點Q所在位置的鉛直高度為1.5米；(2)解：由(1)知：QG=1.5，∴AG=2.4x=3.6，∴EF=NG=3.6+4.4=8(m)，故tan53°=≈1.33，解得：PF≈10.6(m)，∵FQ=EN-QG=3-1.5=1.5(m)，∴信號塔PQ的高約為：PQ=10.6+1.5=12.1(m)．∴信號塔PQ的高度大約為12.1米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出EF的長是解題關(guān)鍵．19．(2022·重慶八中九年級期末)小明家的新建房子從正面看為一軸對稱圖形(圖1)，圖2是它的正面示意圖，為測量房子的高度，小明在地面P處測得房頂B的仰角為30°，且此時地面P、房檐C、房頂B恰好在一條直線上，繼續(xù)向前走13米到達點Q，又測得房頂B的仰角為22°．已知M，N，P，Q在同一水平線上，，．(參考數(shù)據(jù)：，，，)(1)求房頂B到橫梁AC的距離(結(jié)果保留根號)；(2)求房頂B到地面MN的距離(結(jié)果精確到0.1m)．【答案】(1)(2)16.9m【解析】【分析】(1)作，交AC于點E，交MN于點F，先證明，根據(jù)對稱性及，，得出，在中利用銳角三角函數(shù)知識進行求解；(2)設(shè)，在中，求出，在中，根據(jù)，，利用三角函數(shù)知識解求解即可．(1)解：作，交AC于點E，交MN于點F，，∵，∴．∵，∴．由對稱性知，，∵，，∴．∵，，∴．在中，，∴房頂B到橫梁AC的距離是．(2)解：設(shè)，在中，∵，∴．∵，∴．在中，∵，，∴，解得，∴房頂B到地面MN的距離是16.9m．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的知識．20．(2021·江蘇·開明中學(xué)九年級期末)圖1、圖2分別是某型號拉桿箱的實物圖與示意圖，小張獲得了如下信息：滑桿DE，箱長BC，拉桿AB的長度都相等，B，F(xiàn)在AC上，C在DE上，支桿DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，請根據(jù)以上信息，解決下列問題．(1)求AC的長度：(2)直接寫出拉桿端點A到水平滑桿ED所在直線的距離cm．【答案】(1)(40+40)cm；(2)(20)cm．【解析】【分析】(1)過點F作FG⊥DE于點G，分別利用三角函數(shù)求出FG和DG，然后求出CD，進而求出CE，即可求出DE，最后根據(jù)AC＝2DE即可求出AC；(2)作AH⊥ED延長線于H，根據(jù)AH＝AC·sin45°求出AH即可．【詳解】解：(1)過點F作FG⊥DE于點G，∴∠FGD＝∠FGC＝90°，在Rt△DGF中，∵∠CDF＝30°，∴FG＝FD?sin30°＝30×＝15(cm)，∴DG＝FD?cos30°＝30×＝15(cm)，在Rt△CGF中，∵∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15(cm)，∴CD＝CG+DG＝15+15(cm)，∵CE：CD＝1：3，∴CE＝CD＝×(15+15)＝5+5(cm)，∴DE＝EC+CD＝5+5+15+15＝20+20(cm)，∵DE＝BC＝AB，∴AC＝AB+BC＝2DE＝2×(20+20)＝40+40(cm)，即AC的長度為(40+40)cm．(2)作AH⊥ED延長線于H，在Rt△AHC中，∵∠ACH＝45°，∴AH＝AC?sin45°＝(40+40)×＝20+20(cm)，故答案為：(20)．【點睛】本題考查了解直角三角形應(yīng)用題，一般步驟為(1)弄清題中的名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型(2)將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為解直角三角形的問題．當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形．(3)尋找直角三角形，并解這個三角形．21．(2021·遼寧皇姑·九年級期末)如圖①是某中型挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成，圖②是共側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖(MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂)，若主臂AB長為4米，主臂伸展角∠MAB的范圍是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范圍是：45°≤∠ABC≤105°．(1)如圖③，當(dāng)∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接觸地面時，求伸展臂BC的長(結(jié)果保留根號)；(2)若(1)中BC長度不變，求該挖掘機最遠能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．(結(jié)果保留根號)【答案】(1)2米(2)(2＋2)米【解析】【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的長；(2)根據(jù)主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范圍求出伸展到最遠時AC的長度即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)如圖：由題意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m，∴BC＝AB?sin45°＝4×＝2(m)，答：伸展臂BC的長為2米；(2)如圖：由題意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°時，伸展臂伸展的最遠，過點B作BD⊥MN交NM的延長線于D，在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m，∴AD＝AB?cos30°＝4×＝2(m)，∵∠MAB＝30°，BD⊥MN，∴∠ABD＝60°，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝45°，在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m，∴CD＝BC?cos45°＝2×＝2(m)，∴AC＝CD＋AD＝2＋2，∴該挖掘機最遠能挖掘到距A水平正前方(2＋2)米的土石．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；正確解直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．(2021·甘肅·九年級專題練習(xí))如圖①，太極揉推器是一種常見的健身器材，基本結(jié)構(gòu)包括支架和轉(zhuǎn)盤．如圖②是該太極揉推器的左視圖，立柱AB的長為125cm，支架OC的長為40cm，支點C到立柱頂點B的距離為25cm，支架OC與立柱AB的夾角∠OCA＝120°，轉(zhuǎn)盤的直徑DE、PQ為60cm，點O是DE的中點，支架OC與轉(zhuǎn)盤直徑DE垂直．(1)求直徑DE與直徑PQ所在直線的夾角；(2)求轉(zhuǎn)盤的最低點E距離地面的距離．【答案】(1)60°或120°；(2)(120﹣15)cm．【解析】【分析】(1)設(shè)直線DE、PQ相較于點G，由軸對稱得∠OCA＝∠FCA=120°，OC⊥DE，F(xiàn)C⊥PQ，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可求出∠OGF=60°，即可求出兩直徑夾角為60°或120°；(2)過點E作EG垂直地面于點G，EH⊥AB于點H，過點O作OM⊥EH于點M，過點C作CN⊥OM于點N，通過解Rt△OCN和Rt△OEM求得CH的長度，結(jié)合圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得EG的長度．【詳解】解：(1)解：如圖，設(shè)直線DE、PQ相較于點G，由軸對稱得∠OCA＝∠FCA=120°，OC⊥DE，F(xiàn)C⊥PQ，∴∠OCF=120°，∠GOC=∠GFC=90°，∴∠OGF=360°-∠OCF-∠GOC-∠GFC=60°，∴直徑DE與直徑PQ所在直線的夾角為60°或120°；(2)：由題意知，AB＝125cm，OC＝40cm，CB＝25cm，∠OCA＝120°，DE＝60cm．∴OEDE＝30cm．如圖，過點E作EG垂直地面于點G，EH⊥AB于點H，過點O作OM⊥EH于點M，過點C作CN⊥OM于點N，∴NM＝CH，EG＝AH，∠OCN＝∠OCA﹣90°＝30°，∴∠CON＝60°，∴∠EOM＝30°．在Rt△OCN中，ONOC40＝20(cm)．在Rt△OEM中，OM＝OE?cos∠EOM＝30×cos30°＝15(cm)．∴MN＝OM﹣ON＝(1520)cm．∴CH＝1520(cm)，∴AH＝AB﹣BC﹣CH＝125﹣25﹣(1520)＝(120﹣15)(cm)，∴EG＝(120﹣15)(cm)．因此，轉(zhuǎn)盤最低點E離地面的高度為(120﹣15)cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．23．(2022·上海徐匯·九年級期末)如圖1是一種自卸貨車，圖2是該貨車的示意圖，貨箱側(cè)面是一個矩形，長米，寬米，初始時點A、B、F在同一水平線上，車廂底部AB離地面的高度為1.3米．卸貨時貨箱在千斤頂?shù)淖饔孟吕@著點A旋轉(zhuǎn)，箱體底部AB形成不同角度的斜坡．(1)當(dāng)斜坡AB的坡角為37°時，求車廂最高點C離地面的距離；(2)點A處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸(點E處)的水平距離叫做安全軸距，已知該車的安全軸距為0.7m．貨廂對角線AC、BD的交點G是貨廂側(cè)面的重心，卸貨時如果A、G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發(fā)生車輛傾覆安全事故．當(dāng)斜坡AB的坡角為45°時，根據(jù)上述車輛設(shè)計技術(shù)參數(shù)，該貨車會發(fā)生車輛傾覆安全事故嗎？試說明你的理由．(精確到0.1米，參考值：，，，)【答案】(1)4m(2)不會，理由見解析【解析】【分析】(1)過點作，垂足分別為，交于點，過點作于點，根據(jù)即可解決問題；(2)過點作于點，同理求得，進而勾股定理求得，根據(jù)平行線分線段成比例求得，進而判斷是否大于即可判斷該貨車是否會發(fā)生車輛傾覆安全事故．(1)如圖，過點作，垂足分別為，交于點，過點作于點，則四邊形是矩形，斜坡AB的坡角為37°，即,，，(2)該貨車不會發(fā)生車輛傾覆安全事故，理由如下，如圖，過點作于點，同理求得在中，四邊形是矩形,該貨車不會發(fā)生車輛傾覆安全事故．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線分線段成比例，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．(2021·山東文登·九年級期中)圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm(即MP的長度)，槍身BA＝8.5cm．(參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，)(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測得∠BMN＝68.6°，小紅與測溫員之間距離為50cm．問此時槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)【答案】(1)113.6°；(2)此時槍身端點A與小紅額頭的距離是在規(guī)定范圍內(nèi)，見解析【解析】【分析】(1)過點B作BH⊥MP，垂足為H，根據(jù)解直角三角形cos∠BMH＝，即可計算出∠BMH的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可算出∠ABC的度數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論和已知條件可計算出∠NMI的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可算出MI的長度，再根據(jù)已知條件即可算出PK的長度，即可得出答案．【詳解】解：(1)過點B作BH⊥MP，垂足為H，過點M作MI⊥FG，垂足為I，過點P作PK⊥DE，垂足為K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP?HP＝25.3?8.5＝16.8(cm)，在Rt△BMH中，cos∠BMH＝，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°?66.4°＝113.6°；(2)∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°?∠BMN?∠BMH＝180°?68.6°?66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI?MI?MP＝50?19.80?25.3＝4.90≈4.9(cm)，∴此時槍身端點A與小紅額頭的距離是在規(guī)定范圍內(nèi)．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法進行計算是解決本題的關(guān)鍵．備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練專題10相似三角形的綜合問題【典型例題】1．(2021·山東省濟南中學(xué)九年級期中)如圖1，在中，，，，點D、E分別是邊、的中點，連接．將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時，________；②當(dāng)時，______．(2)拓展探究試判斷：當(dāng)時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．(3)問題解決繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點在同一條直線上時，請直接寫出線段的長________．【答案】(1)，(2)當(dāng)0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，證明見解析(3)BD的長為或【解析】【分析】(1)①當(dāng)α＝0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°時，可得AB∥DE，然后根據(jù)＝，求出的值是多少即可．(2)首先判斷出∠ECA＝∠DCB，再根據(jù)＝＝，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．(3)分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點E在AB的延長線上時，②如圖3﹣2中，當(dāng)點E在線段AB上時，分別求解即可．(1)解：①當(dāng)α＝0°時，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如圖1中，當(dāng)α＝180°時，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案為：①，②．(2)解：如圖2，當(dāng)0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝，即當(dāng)0°≤α＜360°時，的大小沒有變化．(3)解：①如圖3﹣1中，當(dāng)點E在AB的延長線上時，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如圖3﹣2中，當(dāng)點E在線段AB上時，BE＝＝＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，綜上所述，滿足條件的BD的長為或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2022·江蘇海門·九年級期末)如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O，OB=2，OC=5，AB=4，則CD的長為(

)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】【分析】利用8字模型的相似三角形證明△AOB∽△DOC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴CD=10，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握8字模型的相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．(2022·江蘇省南京二十九中教育集團致遠中學(xué)九年級期末)如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，=，DE∥BC，若ΔADE的面積為6，則ΔABC的面積等于(

)A．12 B．18 C．24 D．54【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可得ΔADE~ΔABC，利用其性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出ΔABC的面積．【詳解】，，，，，，，故答案選：D．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2022·廣西平桂·九年級期末)如圖，以點O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，若，，，則線段BD長為(

)A． B．6 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)位似變換可知，得出，代入數(shù)據(jù)得出OD的長，從而可求出BD的長．【詳解】根據(jù)題意可知，∴，即，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查位似變換的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)．掌握位似的兩個三角形相似是解題關(guān)鍵．4．(2021·廣東禪城·二模)如圖，A、B分別為反比例函數(shù)(x＜0)，y＝(x＞0)圖象上的點，且OA⊥OB，則tan∠ABO的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，根據(jù)A、B在函數(shù)圖象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根據(jù)相似三角形的判定得出△BDO∽△OCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，求出的值，根據(jù)即可求出角的正切值．【詳解】解：如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D則∠BDO＝∠ACO＝90°∵A、B分別為反比例函數(shù)(x＜0)，(x＞0)圖象上的點∴S△AOC＝4，S△BDO＝9∵∠AOB＝90°∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°∴∠DBO＝∠AOC∴△BDO∽△OCA∴∴∴故選：A．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)，正切．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運用．5．(2021·廣東龍門·三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為(，0)，頂點D的坐標(biāo)為(0，)，延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1，……，按這樣的規(guī)律進行下去，第2021個正方形的邊長為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，得出，繼而得知，利用勾股定理計算出正方形的邊長，從中找出規(guī)律，問題也就迎刃而解了.【詳解】解：根據(jù)題意，得：2，(兩直線平行，同位角相等)．，，頂點的坐標(biāo)為(，0)，頂點D的坐標(biāo)為(0，)，∴OA，OD，在直角中，根據(jù)勾股定理得，∴AD＝AB＝1，，∵，，，同理得：，??????第2021個正方形的邊長為，故選：B．【點睛】本題綜合考查了相似三角形的判定、勾股定理、解直角三角形，正方形的性質(zhì)等知識點，另外在解題過程中，要認真挖掘題中隱藏的規(guī)律，這樣可以降低解題的難度，提高解題效率.二、填空題6．(2021·廣東·東莞市石龍第二中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，若△ABC的面積為4，則四邊形BCED的面積為___．【答案】3【解析】【分析】由題意知是的中位線，有，從而得，有，求出的值，對計算求解即可．【詳解】解：由題意知是的中位線∴∴∴∵∴∴故答案為：3．【點睛】本題考查了中位線，相似三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確相似三角形的面積比等于相似比的平方．7．(2022·內(nèi)蒙古包頭·九年級期末)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的角平分線CD交AB于點D．若AC＝2，則CB＝_____．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB=∠B=72°，∠A=36°，根據(jù)角平分線的定義可得∠ACD=∠BCD=36°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CDB=72°，可得AD=CD，CD=BC，△BDC∽△BCA，設(shè)BC=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．【詳解】∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB=∠B=72°，∠A=180°-2∠B=36°，∵∠ACB的角平分線CD交AB于點D．∴∠ACD=∠BCD=36°，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴AD=CD，CD=BC，∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，∴△BDC∽△BCA，設(shè)BC=x，∴CD=BC=x，∴，即，解得：x=，(負值舍去)故答案為：【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．8．(2022·山東嶗山·九年級期末)如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分線交BC于點F，交AB的延長線于點G，過點C作CE⊥DG，垂足為E，CE=2，則△BFG的周長為______．【答案】【解析】【分析】首先利用已知條件可證明△CDF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出DF=2DE，而在Rt△CDE中，由勾股定理可求得DE的值，即可求得DF的長，從而求出△CFD的周長；然后，證明△CDF△BFG，然后根據(jù)周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵是∠ADC的平分線∴四邊形是平行四邊形在中，的周長為的周長為故答案為：【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練運用以上知識是解題的關(guān)鍵．9．(2022·山西太原·九年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A，C分別在x軸的負半軸上，y軸的正半軸上，y軸平分AB邊，點A的坐標(biāo)(﹣2，0)，AB＝5．過點D的反比例函數(shù)的表達式是_____．【答案】【解析】【分析】過點作軸于點，設(shè)與軸的交點為點，先根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得出點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可得．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，設(shè)與軸的交點為點，四邊形是矩形，，軸平分邊，且，，，，在中，，在和中，，，，即，解得，，，軸，，，在和中，，，，即，解得，，，設(shè)過點的反比例函數(shù)的表達式為，將點代入得：，則過點的反比例函數(shù)的表達式為，故答案為：．【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．10．(2022·河北·石家莊市第二十八中學(xué)九年級期末)如圖，為一塊鐵板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用這塊余料裁出一個矩形PQMN，使矩形的頂點P、N分別在邊AB，AC上．頂點Q，M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為_____．【答案】25【解析】【分析】設(shè)DE=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，PQ=MN=DE，證明△APN∽△ABC，得到，求出PN=10-x得到矩形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：設(shè)DE=x，∵四邊形PQMN是矩形，AD⊥BC，∴，PQ=MN=DE，∴△APN∽△ABC，∴，∴，∴PN=10-x，∴矩形PQMN面積=，∴當(dāng)x=5時，矩形PQMN面積有最大值，最大值為25cm2，故答案為：25．．

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，正確掌握相似三角形的判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．(2022·江蘇溧水·九年級期末)折疊矩形ABCD，使點D落在BC邊上的點F處，折痕為AE．(1)求證△ABF∽△FCE；(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)矩形ABCD的面積為80【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)即可證明△ABF∽△FCE．(2)由(1)得△ABF∽△FCE，所以，進而可以解決問題．(1)證明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折疊得∠AFE＝∠D＝90°．∴∠AFB+∠EFC＝90°．∴∠BAF＝∠EFC．∴△ABF∽△FCE；(2)解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°∴EF＝DE＝5，∴AB＝CD＝8．由(1)得△ABF∽△FCE，∴∴BF＝6．∴BC＝10．∴S＝AB?CB＝10×8＝80．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABF∽△FCE．12．(2022·湖北硚口·九年級期末)如圖，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，點G、F分別是ED、BC的中點，連接CD、BE、GF．(1)求證：∠ACD＝∠ABE；(2)求的值；(3)若四邊形BEDC的面積為42，周長為，GF＝5，則AB＝．【答案】(1)見解析(2)(3)10【解析】【分析】(1)由題意得和都是等腰直角三角形，則，根據(jù)SAS證明，即可得；(2)連接AG，AF，則，，，，，可得，根據(jù)角之間的關(guān)系得，即可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；(3)由GF=5得，根據(jù)四邊形的周長可得，由，，根據(jù)，設(shè)BC=a，ED=b，列方程，進行計算得，則，得，即可得．(1)證明：∵AB=AC，AE=AD，，∴和都是等腰直角三角形，∵，，∴，在和中，∴(SAS)，∴．(2)解：如圖，連接AG，AF，∵和都是等腰直角三角形，且點G，F(xiàn)分別是ED，BC的中點，∴，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．(3)解：∵GF=5，∴，由(1)可知，，∵，∴，∵=，∵，∴，∵，，設(shè)BC=a，ED=b，∴由②得，③，將③代入①得，，解得，∴，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．13．(2022·四川成都·九年級期末)如圖1，在矩形ABCD中，點E是CD上一動點，連接AE，將△ADE沿AE折疊，點D落在點F處，AE與DF交于點O．(1)射線EF經(jīng)過點B，射線DF與BC交于點G．ⅰ)求證：△ADE∽△DCG；ⅱ)若AB＝10，AD＝6，求CG的長；(2)如圖2，射線EF與AB交于點H，射線DF與BC交于點G，連接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的長．【答案】(1)ⅰ)見解析；ⅱ)(2)9【解析】【分析】(1)i)根據(jù)翻折的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可；ii)根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得出比例解答即可；(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解得即可．(1)解：i)由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，∴∠ADO+∠EAD＝90o，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠CDG+∠ADO＝90o，∴∠CDG＝∠EAD，∵∠ADE＝∠DCG＝90o，∴△ADE∽△DCG；ii)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90o，∵△ADE≌△AFE，∴∠AFE=∠ADE＝90o，AF＝AD＝6，∴∠AFB=90o，∴在Rt△ABF中，BF＝，設(shè)DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即(8+x)2＝62+(10﹣x)2，解得：x＝2，由i)可知△ADE∽△DCG，∴，∴，解得：CG＝；(2)解：由i)可知，△ADE∽△DCG，∴=2，∠OAD＝∠ODE，∵△ADE≌△AFE，∴AD=AF，DE=FE，∴DF⊥AE，∴∠DOE＝∠FOE=90°，∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，∴△ADE∽△DOE，∴，∵HG∥AE，∴∠OEF＝∠GHF，∵∠OFE＝∠GFH，∴△HGF∽△EOF，∴，∠HGF＝∠EOF=90°，∴∠BGH+∠CGD＝90°，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠BHG+∠BGH＝90°，∴∠CGD＝∠BHG，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BHG∽△CGD，∴，∴△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，設(shè)CE＝x，DC＝5+x，CG＝，BG＝10﹣CG＝10﹣，BH＝BG＝，HG＝BH＝，∵HG：GF＝1：2，∴GF＝，在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5，DO＝，∵，∵，∴OE＝，DO＝OF＝2，在△DCG中，DC＝5+x，CG＝，DG＝DF+FG＝4，∵，∴DG＝CG，即，解得：x＝9，即CE＝9．【點睛】此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答．14．(2021·山東濟陽·九年級期中)(1)問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．(2)探究若將90°角改為銳角或鈍角(如圖2)，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．(3)應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．【答案】(1)見解析；(2)成立，理由見解析；(3)【解析】【分析】(1)由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；(2)由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；(3)先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進而解答即可．【詳解】(1)證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，(2)結(jié)論仍然成立，理由如下，，又，，，設(shè)，，，，∴ADBC=APBP，(3)，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．15．(2022·山東歷下·九年級期末)如圖1，在中，，，，點為斜邊上一點，過點作射線，分別交、于點，．(1)問題產(chǎn)生若為中點，當(dāng)，時，______；(2)問題延伸在(1)的情況下，將若繞著點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的值是否會發(fā)生改變？如果不變，請證明；如果改變，請說明理由；(3)問題解決如圖3，連接，若與相似，求的值．【答案】(1)(2)不改變，，證明見解析(3)或【解析】【分析】(1)連接，根據(jù)題意可得，證明四邊形是矩形，可得，進而求得的長，即可求得；(2)作，，分別交、于點、，證明，可得，根據(jù)(1)的結(jié)論即可解決問題；(3)作，，分別交、于點、，證明，可得；①若可得，設(shè)，則，，由，可得，根據(jù)求得，進而求得，證明，可得，代入數(shù)值求解即可；②若，根據(jù)，同理求得，代入求解即可．(1)如圖，連接，為中點，，四邊形是矩形，，(2)不改變，；證明：作，，分別交、于點、∴四邊形PMCN是矩形，∵∴又∵，，∴∴∴由(1)得∴(3)作，，分別交、于點、又四邊形為矩形，∵∴又∵，，∴∴①若可得∵∴設(shè)，則四邊形為矩形，所以在中，，可得在中，，解得∵∴，解得∴∵，∴∴，即解得②若可得∵∴設(shè)，則，四邊形為矩形，所以在中，，可得在中，，解得∵∴，解得∴∵，∴∴，即解得【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，等角的余角相等，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的中線性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．(2022·江蘇廣陵·九年級期末)已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G．(1)觀察猜想：如圖①，如果四邊形ABCD是正方形，當(dāng)E、F分別是AB、AD的中點時，則DE與CF的數(shù)量關(guān)系為：，位置關(guān)系為：．(2)探究證明：如圖②，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：．(3)拓展延伸：如圖③，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，使得成立？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)DE=CF，DE⊥CF(2)見解析(3)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時，成立，證明見解析【解析】【分析】(1)先判斷出AE=DF，進而得出△ADE≌△DCF(SAS)，即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，證出△AED∽△DFC即可得結(jié)論；(3)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時，DE?CD=CF?AD成立，證△DFG∽△DEA，得出，證△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案．(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵點E，F(xiàn)是AB，AD的中點，∴AE=AB，DF=AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴DE⊥CF，故答案為：DE=CF，DE⊥CF；(