解直角三角形應用舉例

在直角三角形中,除直角外,由已知兩元素求其余未知元素的過程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三邊之間的關系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依據(2)兩銳角之間的關系:∠A＋∠

B＝90o；(3)邊角之間的關系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc知識回顧(必有一邊)第1頁/共38頁12021/10/10星期日

溫故而知新ABC┌如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，則AC=（2）若∠B=60°，AC=3，則BC=（3）若∠A=α°，AC=3，則BC=（4）若∠A=α°，BC=m，則AC=第2頁/共38頁22021/10/10星期日1.如圖，沿AC方向開山修路．為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開挖點E離D多遠正好能使A，C，E成一直線（精確到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：開挖點E離點D332.8m正好能使A，C，E成一直線.解：要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE

的一個外角第3頁/共38頁32021/10/10星期日例4：

2008年10月15日“神舟”7號載人航天飛船發(fā)射成功．當飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運行．如圖，當飛船運行到地球表面上P點的正上方時，從飛船上最遠能直接看到地球上的點在什么位置？這樣的最遠點與P點的距離是多少？（地球半徑約為6400km，結果精確到0.1km）

分析：從飛船上能最遠直接看到的地球上的點，應是視線與地球相切時的切點．·OQFPα

如圖，⊙O表示地球，點F是飛船的位置，FQ是⊙O的切線，切點Q是從飛船觀測地球時的最遠點．的長就是地面上P、Q兩點間的距離，為計算的長需先求出∠POQ（即a）例題第4頁/共38頁42021/10/10星期日解：在圖中，FQ是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∴PQ的長為

當飛船在P點正上方時，從飛船觀測地球時的最遠點距離P點約2009.6km·OQFPα第5頁/共38頁52021/10/10星期日仰角和俯角鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.介紹:第6頁/共38頁62021/10/10星期日1、如圖，為了測量電線桿的高度AB，在離電線桿22.7米的C處，用高1.20米的測角儀CD測得電線桿頂端B的仰角a＝30°，求電線桿AB的高．（精確到0.1米）1.2022.7=300第7頁/共38頁72021/10/10星期日例2:熱氣球的探測器顯示,從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底部的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高?α=30°β=60°120ABCD第8頁/共38頁82021/10/10星期日鞏固練習建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為60°,觀察底部B的仰角為45°,求旗桿的高度。BACD第9頁/共38頁92021/10/10星期日2、在山腳C處測得山頂A的仰角為45°。問題如下：(1）沿著水平地面向前300米到達D點，在D點測得山頂A的仰角為600,求山高AB。

DABC第10頁/共38頁102021/10/10星期日ABC2、在山腳C處測得山頂A的仰角為450。問題如下：變式：沿著坡角為30°的斜坡前進300米到達D點，在D點測得山頂A的仰角為600,求山高AB。30°DEFxx第11頁/共38頁112021/10/10星期日3、在山頂上處D有一鐵塔，在塔頂B處測得地面上一點A的俯角α=60o，在塔底D測得點A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。ABCαDβ第12頁/共38頁122021/10/10星期日1.如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角α=30。，求飛機A到控制點B的距離.αABC2.兩座建筑AB及CD，其地面距離AC為50.4米，從AB的頂點B測得CD的頂部D的仰角β＝300,測得其底部C的俯角a＝600,求兩座建筑物AB及CD的高.課本P92

例4第13頁/共38頁132021/10/10星期日

當堂反饋3.如圖3，從地面上的C，D兩點測得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200m，點C在BD上，則樹高AB等于

（根號保留）．4.如圖4，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為

（根號保留）．

圖3圖4第14頁/共38頁142021/10/10星期日

當堂反饋6.如圖2，在離鐵塔BE120m的A處，用測角儀測量塔頂的仰角為30°，已知測角儀高AD=1.5m，則塔高BE=_________（根號保留）．圖1圖25.如圖1，已知樓房AB高為50m，鐵塔塔基距樓房地基間的水平距離BD為100m，塔高CD為m，則下面結論中正確的是（）A．由樓頂望塔頂仰角為60°B．由樓頂望塔基俯角為60°C．由樓頂望塔頂仰角為30°D．由樓頂望塔基俯角為30°C第15頁/共38頁152021/10/10星期日利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是:1.將實際問題抽象為數學問題;(畫出平面圖形,轉化為解直角三角形的問題)2.根據條件的特點,適當選用銳角三角函數等去解直角三角形;3.得到數學問題的答案;4.得到實際問題的答案.第16頁/共38頁162021/10/10星期日新人教版九年級數學(下冊)第二十八章

§28.2解直角三角形（3）用數學視覺觀察世界用數學思維思考世界第17頁/共38頁172021/10/10星期日鉛垂線水平線視線視線仰角俯角在進行觀察或測量時，

仰角和俯角從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；第18頁/共38頁182021/10/10星期日指南或指北的方向線與目標方向線構成小于900的角,叫做方位角.如圖：點A在O的北偏東30°點B在點O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA東西北南方位角介紹:第19頁/共38頁192021/10/10星期日利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是:1.將實際問題抽象為數學問題;(畫出平面圖形,轉化為解直角三角形的問題)2.根據條件的特點,適當選用銳角三角函數等去解直角三角形;3.得到數學問題的答案;4.得到實際問題的答案.第20頁/共38頁202021/10/10星期日例1.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東60°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（精確到0.01海里）60°30°PBCA第21頁/共38頁212021/10/10星期日例4.海中有一個小島A，它的周圍8海里范圍內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？BADF60°1230°第22頁/共38頁222021/10/10星期日BADF解：由點A作BD的垂線交BD的延長線于點F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設DF=x,AD=2x則在Rt△ADF中，根據勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒有觸礁危險30°60°第23頁/共38頁232021/10/10星期日1.如圖所示，輪船以32海里每小時的速度向正北方向航行，在A處看燈塔Q在輪船的北偏東30°處，半小時航行到B處，發(fā)現此時燈塔Q與輪船的距離最短，求燈塔Q到B處的距離（畫出圖像后再計算）ABQ30°相信你能行第24頁/共38頁242021/10/10星期日A2．如圖所示，一漁船上的漁民在A處看見燈塔M在北偏東60°方向，這艘漁船以28海里/時的速度向正東航行，半小時至B處，在B處看見燈塔M在北偏東15°方向，此時燈塔M與漁船的距離是()

海里.海里C.7海里D.14海里D第25頁/共38頁252021/10/10星期日

氣象臺發(fā)布的衛(wèi)星云圖顯示，代號為W的臺風在某海島（設為點O）的南偏東45°方向的B點生成，測得．臺風中心從點B以40km/h的速度向正北方向移動，經5h后到達海面上的點C處．因受氣旋影響，臺風中心從點C開始以30km/h的速度向北偏西60°方向繼續(xù)移動．以O為原點建立如圖12所示的直角坐標系．x/kmy/km北東AOBC圖12第26頁/共38頁262021/10/10星期日（1）臺風中心生成點B的坐標為

，臺風中心轉折點C的坐標為

；（結果保留根號）（2）已知距臺風中心20km的范圍內均會受到臺風的侵襲．如果某城市（設為A點）位于點O的正北方向且處于臺風中心的移動路線上，那么臺風從生成到最初侵襲該城要經過多長時間？x/kmy/km北東AOBC圖12第27頁/共38頁272021/10/10星期日解：（1）

（2）過點C作于點D，如圖2，則在中臺風從生成到最初侵襲該城要經過11小時．x/kmy/kmAOBC圖2D第28頁/共38頁282021/10/10星期日新人教版九年級數學(下冊)第二十八章

§28.2解直角三角形（4）用數學視覺觀察世界用數學思維思考世界第29頁/共38頁292021/10/10星期日修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度.

坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作i,即i=.坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有i＝=tana.

顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.第30頁/共38頁302021/10/10星期日例5.如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），根據圖中數據求：（1）坡角a和β;（2）壩頂寬AD和斜坡AB的長（精確到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°

在Rt△CDE中，∠CED=90°第31頁/共38頁312021/10/10星期日19.4.6

如圖一段路基的橫斷面是梯形，高為4米，上底的寬是12米，路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°．求路基下底的寬．1.認清圖形中的有關線段;2.分析輔助線的作法;3.坡角在解題中的作用;4.探索解題過程.練習第32頁/共38頁322021/10/10星期日解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.在Rt△ADE中，因為所以

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF

≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底的寬約為27.13米．第33頁/共38頁332021/10/10星期日4