等差數(shù)列前項和公式推導(dǎo)

關(guān)于等差數(shù)列前項和公式推導(dǎo)一、復(fù)習(xí)：１、等差數(shù)列：ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ≧２，ｎ∈Ｎ＋）２、等差數(shù)列通項式：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ第2頁,共14頁，2024年2月25日，星期天小故事：高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家。１０歲時一次老師說：現(xiàn)在給大家出道題：１＋２＋…＋１００＝？過了兩分鐘，正當(dāng)大家在：１＋２＝３；３＋３＝６…算的不亦樂乎時，高斯站起來回答說：１＋２＋…＋１００＝５０５０．老師問他怎樣計算的，他回答說：1+100=101；2+99=101；…５０＋５１＝１０１，所以１０１×５０＝５０５０．第3頁,共14頁，2024年2月25日，星期天這個故事告訴我們求等差數(shù)列前ｎ項和的一種很重要的思想方法，就是我們要介紹的“倒序相加”法。第4頁,共14頁，2024年2月25日，星期天二、等差數(shù)列前ｎ項和公式１：對等差數(shù)列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ項求和，得Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ，Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，第5頁,共14頁，2024年2月25日，星期天上面兩式相加得：２Ｓｎ＝（ａ１＋ａｎ）＋（ａ２＋ａｎ－１）＋（ａ３＋ａｎ－２）＋．．．＋（ａｎ＋ａｎ）

因為a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…，所以2Sn=n(a1+an)

Sn=（1）第6頁,共14頁，2024年2月25日，星期天2、等差數(shù)列前n項和公式2

Sn=用上述公式（1）要求Sn必備三個條件：n,a1,an,但an=a1+(n-1)d，帶入公式（1）即得（2）第7頁,共14頁，2024年2月25日，星期天公式（2）又可化為Sn=當(dāng)d≠0時，這是一個常數(shù)項為零的關(guān)于n的二項式.第8頁,共14頁，2024年2月25日，星期天三、講解例題：例1、一堆放鉛筆的V型架的最下層放一支鉛筆，往上每一層都比它下一層多放一支，最上層放120支，問：這個V型架上共放多少支鉛筆？解：由題意知，這個V型架上共放120層鉛筆且自下而上各層的鉛筆成等差數(shù)列，記為{an}其中a1=1,a120=120,根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得:S120=

=7260（支）答：V型架上共有7260支鉛筆。第9頁,共14頁，2024年2月25日，星期天例2、等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為{an}，前n項和為Sn，則：a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,有公式（2）可得：第10頁,共14頁，2024年2月25日，星期天

解之得：n1=9,n2=-3（舍）所以等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前9項和是54.第11頁,共14頁，2024年2月25日，星期天四、鞏固練習(xí)1、求集合M={m/m=7n,n∈N＋且m＜100}的元素個數(shù)，并求這些元素的和。2、已知一個等差數(shù)列的前100項和是310，前20項的和是1220，求其前n項和公式.第12頁,共14頁，2024年2月25日，星期天五、課后作業(yè)已知等差數(shù)列的前n項和為a，前