時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

關于時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗12本章要點平穩(wěn)性的定義平穩(wěn)性的檢驗方法（ADF檢驗）偽回歸的定義協(xié)整的定義及檢驗方法（AEG方法）誤差修正模型的含義及表示形式第2頁,共61頁，2024年2月25日，星期天3第一節(jié)隨機過程和平穩(wěn)性原理一、隨機過程一般稱依賴于參數(shù)時間t的隨機變量集合{}為隨機過程。例如，假設樣本觀察值y1，y2…,yt是來自無窮隨機變量序列…y-2,y-1,y0,y1,y2…的一部分，則這個無窮隨機序列稱為隨機過程。

第3頁,共61頁，2024年2月25日，星期天4隨機過程中有一特殊情況叫白噪音，其定義如下：如果隨機過程服從的分布不隨時間改變，且（對所有t）

（對所有t）

（）那么，這一隨機過程稱為白噪聲。第4頁,共61頁，2024年2月25日，星期天5二、平穩(wěn)性原理如果一個隨機過程的均值和方差在時間過程上都是常數(shù)，并且在任何兩時期的協(xié)方差值僅依賴于該兩時期間的距離或滯后，而不依賴于計算這個協(xié)方差的實際時間，就稱它為平穩(wěn)的。第5頁,共61頁，2024年2月25日，星期天6平穩(wěn)隨機過程的性質：均值（對所有t）方差（對所有t）協(xié)方差（對所有t）其中即滯后k的協(xié)方差[或自(身)協(xié)方差]，是和，也就是相隔k期的兩值之間的協(xié)方差。第6頁,共61頁，2024年2月25日，星期天7三、偽回歸現(xiàn)象將一個隨機游走變量（即非平穩(wěn)數(shù)據(jù)）對另一個隨機游走變量進行回歸可能導致荒謬的結果，傳統(tǒng)的顯著性檢驗將告知我們變量之間的關系是不存在的。有時候時間序列的高度相關僅僅是因為二者同時隨時間有向上或向下變動的趨勢，并沒有真正的聯(lián)系。這種情況就稱為“偽回歸”（SpuriousRegression）。第7頁,共61頁，2024年2月25日，星期天8第二節(jié)平穩(wěn)性檢驗的具體方法

一、單位根檢驗（一）單位根檢驗的基本原理

DavidDickey和WayneFuller的單位根檢驗（unitroottest）即迪基——富勒（DF）檢驗，是在對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗中比較經(jīng)常用到的一種方法。第8頁,共61頁，2024年2月25日，星期天9DF檢驗的基本思想：從考慮如下模型開始：（5.1）其中即前面提到的白噪音（零均值、恒定方差、非自相關）的隨機誤差項。第9頁,共61頁，2024年2月25日，星期天10由式(5.1),我們可以得到：

(5.2)

(5.3)…

(5.4)第10頁,共61頁，2024年2月25日，星期天11依次將式(5.4)…(5.3)、(5.2)代入相鄰的上式，并整理，可得：

（5.5）根據(jù)值的不同，可以分三種情況考慮：（1）若＜1，則當T→∞時，→0，即對序列的沖擊將隨著時間的推移其影響逐漸減弱，此時序列是穩(wěn)定的。第11頁,共61頁，2024年2月25日，星期天12

（2）若＞1，則當T→∞時，→∞，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響反而是逐漸增大的，很顯然，此時序列是不穩(wěn)定的。（3）若=1，則當T→∞時，=1，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響是不變的，很顯然，序列也是不穩(wěn)定的。

第12頁,共61頁，2024年2月25日，星期天13對于式（5.1），DF檢驗相當于對其系數(shù)的顯著性檢驗，所建立的零假設是：H0

：如果拒絕零假設，則稱Yt沒有單位根，此時Yt是平穩(wěn)的；如果不能拒絕零假設，我們就說Yt具有單位根，此時Yt被稱為隨機游走序列（randomwalkseries）是不穩(wěn)定的。第13頁,共61頁，2024年2月25日，星期天14

方程（5.1）也可以表達成：（5.6）其中=-，△是一階差分運算因子。此時的零假設變?yōu)椋篐0：=0。注意到如果不能拒絕H0，則=是一個平穩(wěn)序列，即一階差分后是一個平穩(wěn)序列，此時我們稱一階單整過程（integratedoforder1）序列，記為I(1)。第14頁,共61頁，2024年2月25日，星期天15I(1)過程在金融、經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)中是最普遍的，而I(0)則表示平穩(wěn)時間序列。從理論與應用的角度，DF檢驗的檢驗模型有如下的三個：

（5.7）

（5.8）

（5.9）第15頁,共61頁，2024年2月25日，星期天16其中t是時間或趨勢變量，在每一種形式中，建立的零假設都是：H0：或H0：，即存在一單位根。（5.7）和另外兩個回歸模型的差別在于是否包含有常數(shù)（截距）和趨勢項。如果誤差項是自相關的，就把（5.9）修改如下：（5.10）第16頁,共61頁，2024年2月25日，星期天17式（5.10）中增加了的滯后項，建立在式（5.10）基礎上的DF檢驗又被稱為增廣的DF檢驗（augmentedDickey-Fuller，簡記ADF）。ADF檢驗統(tǒng)計量和DF統(tǒng)計量有同樣的漸近分布，使用相同的臨界值。第17頁,共61頁，2024年2月25日，星期天18（二）ADF檢驗模型的確定首先，我們來看如何判斷檢驗模型是否應該包含常數(shù)項和時間趨勢項。解決這一問題的經(jīng)驗做法是：考察數(shù)據(jù)圖形其次，我們來看如何判斷滯后項數(shù)m。在實證中，常用的方法有兩種：

第18頁,共61頁，2024年2月25日，星期天19（1）漸進t檢驗。該種方法是首先選擇一個較大的m值，然后用t檢驗確定系數(shù)是否顯著，如果是顯著的，則選擇滯后項數(shù)為m;如果不顯著，則減少m直到對應的系數(shù)值是顯著的。（2）信息準則。常用的信息準則有AIC信息準則、SC信息準則，一般而言，我們選擇給出了最小信息準則值的m值第19頁,共61頁，2024年2月25日，星期天20二、非平穩(wěn)性數(shù)據(jù)的處理

一般是通過差分處理來消除數(shù)據(jù)的不平穩(wěn)性。即對時間序列進行差分，然后對差分序列進行回歸。對于金融數(shù)據(jù)做一階差分后，即由總量數(shù)據(jù)變?yōu)樵鲩L率，一般會平穩(wěn)。但這樣會讓我們丟失總量數(shù)據(jù)的長期信息，而這些信息對分析問題來說又是必要的。這就是通常我們所說的時間序列檢驗的兩難問題。第20頁,共61頁，2024年2月25日，星期天21第三節(jié)協(xié)整的概念和檢驗一、協(xié)整的概念和原理有時雖然兩個變量都是隨機游走的，但它們的某個線形組合卻可能是平穩(wěn)的。在這種情況下，我們稱這兩個變量是協(xié)整的。比如：變量Xt和Yt是隨機游走的，但變量Zt=Xt+Yt可能是平穩(wěn)的。在這種情況下，我們稱Xt和Yt是協(xié)整的，其中

稱為協(xié)整參數(shù)（cointegratingparameter）。第21頁,共61頁，2024年2月25日，星期天22

為什么會有協(xié)整關系存在呢？這是因為雖然很多金融、經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)都是不平穩(wěn)的，但它們可能受某些共同因素的影響，從而在時間上表現(xiàn)出共同的趨勢，即變量之間存在一種穩(wěn)定的關系，它們的變化受到這種關系的制約，因此它們的某種線性組合可能是平穩(wěn)的，即存在協(xié)整關系。第22頁,共61頁，2024年2月25日，星期天23假如有序列Xt和Yt，一般有如下性質存在：(1)如果Xt~I(0)，即Xt是平穩(wěn)序列，則a+bXt也是I(0)；(2)如果Xt~I(1)，這表示Xt只需經(jīng)過一次差分就可變成平穩(wěn)序列。那么a+bXt也是I(1)；(3)如果Xt和Yt都是I(0)，則aXt+bYt是I(0)；第23頁,共61頁，2024年2月25日，星期天24（4）如果Xt~I(0)，Yt~I(1)，則aXt+bYt是I(1)，即I(1)具有占優(yōu)勢的性質。（5）如果Xt和Yt都是I(1)，則aXt+bYt一般情況下是I(1)，但不保證一定是I(1)。如果該線性組合是I(0)，Xt和Yt就是協(xié)整的，a、b就是協(xié)整參數(shù)。第24頁,共61頁，2024年2月25日，星期天25二、協(xié)整檢驗的具體方法（一）EG檢驗和CRDW檢驗假如Xt和Yt都是I(1)，如何檢驗它們之間是否存在協(xié)整關系，我們可以遵循以下思路：首先用OLS對協(xié)整回歸方程進行估計。然后，檢驗殘差是否是平穩(wěn)的。因為如果Xt和Yt沒有協(xié)整關系，那么它們的任一線性組合都是非平穩(wěn)的，殘差也將是非平穩(wěn)的。第25頁,共61頁，2024年2月25日，星期天26檢驗是否平穩(wěn)可以采用前文提到的單位根檢驗，但需要注意的是，此時的臨界值不能再用(A)DF檢驗的臨界值，而是要用恩格爾和格蘭杰（EngleandGranger）提供的臨界值，故這種協(xié)整檢驗又稱為（擴展的）恩格爾格蘭杰檢驗(簡記(A)EG檢驗）。第26頁,共61頁，2024年2月25日，星期天27此外，也可以用協(xié)整回歸的Durbin-Watson統(tǒng)計檢驗（CointegrationregressionDurbin-Watsontest,簡記CRDW）進行。CRDW檢驗構造的統(tǒng)計量是：

對應的零假設是：DW=0第27頁,共61頁，2024年2月25日，星期天28若是隨機游走的，則的數(shù)學期望為0，所以Durbin-Watson統(tǒng)計量應接近于0，即不能拒絕零假設；如果拒絕零假設，我們就可以認為變量間存在協(xié)整關系。上述兩種方法存在如下的缺點：（1）CRDW檢驗對于帶常數(shù)項或時間趨勢加上常數(shù)項的隨機游走是不適合的，因此這一檢驗一般僅作為大致判斷是否存在協(xié)整的標準。（2）對于EG檢驗，它主要有如下的缺點：第28頁,共61頁，2024年2月25日，星期天29①當一個系統(tǒng)中有兩個以上的變量時，除非我們知道該系統(tǒng)中存在的協(xié)整關系的個數(shù)，否則是很難用EG法來估計和檢驗的。因此，一般而言，EG檢驗僅適用于包含兩個變量、即存在單一協(xié)整關系的系統(tǒng)。②仿真試驗結果表明，即使在樣本長度為100時，協(xié)整向量的OLS估計仍然是有偏的，這將會導致犯第二類錯誤的可能性增加，因此在小樣本下EG檢驗結論是不可靠的。第29頁,共61頁，2024年2月25日，星期天30（二）Johansen協(xié)整檢驗。（1）Johansen協(xié)整檢驗的基本思想其基本思想是基于VAR模型將一個求極大似然函數(shù)的問題轉化為一個求特征根和對應的特征向量的問題。下面我們簡要介紹一下Johansen協(xié)整檢驗的基本思想和內容：

第30頁,共61頁，2024年2月25日，星期天31對于如下的包含g個變量，k階滯后項的VAR模型：（5.11）假定所有的g個變量都是I(1)即一階單整過程。其中，yt、yt-1…yt-k為g×1列向量，β1β2…βk為g×g系數(shù)矩陣，為白噪音過程的隨機誤差項組成的g×1列向量。第31頁,共61頁，2024年2月25日，星期天32對式5.11做適當?shù)淖儞Q，可以得到如下的以VECM形式表示的模型：（5.12）其中，Ig為g階單位矩陣，第32頁,共61頁，2024年2月25日，星期天33我們所感興趣的是系數(shù)矩陣，它可以看作是一個代表變量間長期關系的系數(shù)矩陣。因為在長期達到均衡時，式5.12所有的差分變量都是零向量，中隨機誤差項的期望值為零，因此我們有=0，表示的是長期均衡時變量間的關系。第33頁,共61頁，2024年2月25日，星期天34對變量之間協(xié)整關系的檢驗可以通過計算系數(shù)矩陣的秩及特征值來判斷。將系數(shù)矩陣的特征值按照從大到小的順序排列，即：。如果變量間不存在協(xié)整關系（即長期關系），則的秩就為零。第34頁,共61頁，2024年2月25日，星期天35Johansen協(xié)整檢驗有兩個檢驗統(tǒng)計量：①跡檢驗統(tǒng)計量：

，其中r為假設的協(xié)整關系的個數(shù)，為的第i個特征值的估計值（下同）。對應的零假設是：H0：協(xié)整關系個數(shù)小于等于r；被擇假設：H1：協(xié)整關系個數(shù)大于r。②最大特征值檢驗統(tǒng)計量：對應的零假設：H0：協(xié)整關系個數(shù)等于r；相應的被擇假設：H1:協(xié)整關系個數(shù)為r+1。第35頁,共61頁，2024年2月25日，星期天36首先看，跡檢驗實際上是一個聯(lián)合檢驗：，因為當時，也為零，且在范圍內，越大，越小，越大。如果大于臨界值，則拒絕零假設，說明存在的協(xié)整個數(shù)大于r，這時應繼續(xù)檢驗新的零假設：協(xié)整關系個數(shù)小于等于r+1…直至小于臨界值。第36頁,共61頁，2024年2月25日，星期天37再來看。當大于臨界值時，我們拒絕協(xié)整關系個數(shù)等于r的原假設，然后繼續(xù)檢驗新的假設：協(xié)整關系個數(shù)為r+1，…，直到小于臨界值。Johansen協(xié)整檢驗的臨界值已由Johansen給出。在實際應用中，上述兩個檢驗可以同時使用，一般而言，兩種檢驗給出的結果是相同的，但也可能會給出不同的結論。

第37頁,共61頁，2024年2月25日，星期天38（2）Johansen協(xié)整檢驗模型形式的確定。Johansen協(xié)整檢驗方程形式的確定包括兩部分：一是確定VECM模型和是否應包含常數(shù)項和時間趨勢項；二是確定滯后項數(shù)（即k值）。對于前者，我們可以根據(jù)變量的數(shù)據(jù)圖形來檢驗（同ADF檢驗）；對于后者，我們可以利用前面ADF檢驗中提到的漸進t檢驗和信息準則法。第38頁,共61頁，2024年2月25日，星期天39（3）如何在Eviews軟件中做Johansen協(xié)整檢驗下面我們通過一個例子說明如何在Eviews軟件中做Johansen協(xié)整檢驗。[例5.1]：對我國貨幣政策傳導機制信貸渠道的實證檢驗

第39頁,共61頁，2024年2月25日，星期天40利用我國的數(shù)據(jù)對信貸渠道進行實證分析，來看變量之間是否存在長期穩(wěn)定的關系，即協(xié)整關系。我們以貨幣供應量M1和M2作為貨幣政策的起始變量，以金融機構貸款余額(DEBT)表示信貸量，以其作為中間變量，以GDP和零售物價指數(shù)（CPI）作為貨幣政策的效果變量。第40頁,共61頁，2024年2月25日，星期天411、對原始數(shù)據(jù)進行適當?shù)奶幚?，如季?jié)調整、對數(shù)化等。

2、對變量進行平穩(wěn)性檢驗。3、如果變量水平值是不平穩(wěn)的，我們就要對它的一階差分進行平穩(wěn)性檢驗。

4、進行協(xié)整檢驗，并進行濟濟學意義上的分析。第41頁,共61頁，2024年2月25日，星期天42第四節(jié)誤差修正模型Engle和Granger于1987年提出了誤差修正模型的完整定義并加以推廣。假設Yt和Xt之間的長期關系式為：（5.13）式中，K和為估計常量。例如，Y可以是商品的需求量，X則是價格。就是Y對X的長期彈性。第42頁,共61頁，2024年2月25日，星期天43對式（5.13）兩邊取對數(shù)可得：所以當y不處在均衡值的時候，等式兩邊就會有一個差額存在，即（5.15）

來衡量兩個變量之間的偏離程度。當X、Y處于均衡的時候，這時誤差值為零。（5.14）我們用小寫字母表示對數(shù)，其中=ln(K)。但是這種均衡情況在經(jīng)濟體系中是很少存在的。第43頁,共61頁，2024年2月25日，星期天44由于X和Y通常處于非均衡狀態(tài)，可以建立一個包含X和Y滯后項的短期或非均衡關系，假設采取如下形式：

（5.16）（5.16）式是基礎的形式，只包括一階滯后項，說明對于變量X的變化，變量Y需要一段時間進行調整。第44頁,共61頁，2024年2月25日，星期天45在對（5.16）進行估計的時候，其中的變量可能是不平穩(wěn)的，不能運用OLS估計，否則將出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。對此，重新進行轉化。兩邊分別減去yt-1：得并進一步進行變化：即，

（5.18）

（5.17）第45頁,共61頁，2024年2月25日，星期天46并進一步進行變化：，即：

（5.18）在這里。我們對上式進行重新整理，得到：第46頁,共61頁，2024年2月25日，星期天47在這里。我們對上式進行重新整理，得到：

（5.19）其中定義新變量β1=（b1+b2）/，并進一步進行變換得到：

（5.20）其中定義第二個新變量β0=b0/。第47頁,共61頁，2024年2月25日，星期天48根據(jù)式（5.20），Y的當前變化決定于X的變換以及前期的非均衡程度，也就是說前期的誤差項對當期的Y值進行調整。所以（5.20）就是一階誤差修正模型，也是最簡單的形式。表示系統(tǒng)對均衡狀態(tài)的偏離程度，可以稱之為“均衡誤差”。在模型（5.20）中，描述了對均衡關系偏離的一種長期調解。這樣在誤差修正模型中，長期調節(jié)和短期調節(jié)的過程同樣被考慮進去。因而，誤差修正模型的優(yōu)點在于它提供了解釋長期關系和短期調節(jié)的途徑。第48頁,共61頁，2024年2月25日，星期天49

當且的時候，后者意味著比均衡值高出太多。由于，那么，因此。換句話說，如果高于均衡值水平，那么在下一個時間段，會開始下降，誤差值就會被慢慢修正，這就是所說的誤差修正模型。當，則是完全相反的情況，整個機制是相同的。

第49頁,共61頁，2024年2月25日，星期天50誤差修正模型包含了長期和短期的信息。長期的信息包含在項里，因為β仍然是長期乘數(shù)，且誤差項來自x和y的回歸方程。短期信息一部分顯示在均衡誤差項中，即當y處于非均衡狀態(tài)時，在下一期里會由于誤差項的調整慢慢向均衡值靠攏；另一部分信息來自△Xt，解釋變量的概括。這一項表明，當x發(fā)生變化，y也會相應的發(fā)生變化。第50頁,共61頁，2024年2月25日，星期天51第五節(jié)因果檢驗因果關系檢驗主要有兩種：格蘭杰（Granger）因果檢驗和希姆斯（Sims）檢驗一、格蘭杰因果檢驗該理論的基本思想是：變量x和y，如果x的變化引起了y的變化，x的變化應當發(fā)生在y的變化之前。即如果說“x是引起y變化的原因”，則必須滿足兩個條件：第51頁,共61頁，2024年2月25日，星期天52第一，x應該有助于預測y，即在y關于y的過去值的回歸中，添加x的過去值作為獨立變量應當顯著的增加回歸的解釋能力。第二，y不應當有助于預測x，其原因是如果x有助于預測y，y也有助于預測x，則很可能存在一個或幾個其他的變量，它們既是引起x變化的原因，也是引起y變化的原因。第52頁,共61頁，2024年2月25日，星期天53

要檢驗這兩個條件是否成立，我們需要檢驗一個變量對預測另一個變量沒有幫助的原假設。首先，檢驗“x不是引起y變化的原因”的原假設，對下列兩個回歸模型進行估計：無假設條件回歸：有假設條件回歸：

（5.21）（5.22）第53頁,共61頁，2024年2月25日，星期天54然后用各回歸的殘差平方和計算F統(tǒng)計值，檢驗系數(shù)β1，β2，…，βm是否同時顯著的不為0。如果是這樣，我們就拒絕“x不是引起y變化的原因”的原假設。第54頁,共61頁，2024年2月25日，星期天55其中F統(tǒng)計值的構成為：

（5.23）其中和分別為有限制條件回歸和無限制條件回歸的殘差平方和；N是觀察