專題02 第三章 圓錐曲線的方程 典型例題講解（二）（原卷版）

專題02第三章圓錐曲線的方程典型例題講解（二）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、基本概念回歸 1二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)） 3高頻考點(diǎn)一：弦長問題 3高頻考點(diǎn)二：焦點(diǎn)弦問題 5高頻考點(diǎn)三：中點(diǎn)弦問題 6高頻考點(diǎn)四：面積問題 7高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 11高頻考點(diǎn)六：圓錐曲線中的定直線問題 13高頻考點(diǎn)七：圓錐曲線中的向量問題 15一、基本概念回歸知識回顧1：弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；知識回顧2：中點(diǎn)弦點(diǎn)差法：設(shè)直線和曲線的兩個交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：知識回顧3：面積問題3.1三角形面積問題直線方程：3.2焦點(diǎn)三角形的面積直線過焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：弦長問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（）A．一條 B．兩條C．三條 D．四條2．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023秋·山東聊城·高三校聯(lián)考期末）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則弦長可能是（

）A．1 B． C． D．34．（2023·全國·高二課堂例題）過橢圓的左焦點(diǎn)引直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則直線方程為．5．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則．6．（2023·全國·高二課堂例題）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則弦長．7．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線與過焦點(diǎn)的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則弦的長8．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓的一個頂點(diǎn)為，離心率，直線交橢圓于M，N兩點(diǎn).求弦MN的長.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與垂直，求的值以及弦長．10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．11．（2023春·陜西西安·高二?？奸_學(xué)考試）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知圓，動點(diǎn)在軸的右側(cè)，到軸的距離比它到的圓心的距離小1．(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過圓心作直線與軌跡和圓交于四個點(diǎn)，自上而下依次為A，M，N，B，若，求及直線的方程．13．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為.(1)求；(2)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若求直線方程.高頻考點(diǎn)二：焦點(diǎn)弦問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知過拋物線的焦點(diǎn)，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．32 B． C． D．82．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考期中）過拋物線焦點(diǎn)且斜率為1的直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)，則.3．（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，求及的面積.4．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求.5．（2023秋·高二課時練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為2的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，求線段的長．高頻考點(diǎn)三：中點(diǎn)弦問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線過橢圓C；的一個焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)M平分弦，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·高二課時練習(xí)）直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是.7．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.9．（2023·全國·高二課堂例題）求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.高頻考點(diǎn)四：面積問題1．（2023秋·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）設(shè)動點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)到直線的距離的比值為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交曲線于兩點(diǎn)，求的面積.2．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校┲本€交拋物線于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)到軸的距離為.(1)求拋物線方程；(2)設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，求的面積.3．（2023秋·安徽滁州·高二?？计谀┮阎獧E圓的焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)，焦距為，設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個焦點(diǎn)，若，求：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)的面積．4．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)延長，并與橢圓分別相交于兩點(diǎn)，求的面積.5．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)，在軸上，離心率為，點(diǎn)在上，且的周長為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的動直線與相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，求的面積的最大值.6．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點(diǎn)）交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時，周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當(dāng)面積為時，直線的方程．

7．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)校考期中）如圖，已知橢圓C：（）的離心率為，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為．

(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E，記的面積分別是，求的取值范圍.8．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考期末）已知是拋物線上一點(diǎn)，且M到C的焦點(diǎn)的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖所示，過點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：是定值.2．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).

(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).3．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，短軸長為，焦距為2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)兩點(diǎn)都在軸上方，且.證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).4．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線：的距離之比為，記動點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)過上兩點(diǎn)，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點(diǎn)分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.5．（2023春·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線距離的倍，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知直線：與曲線交于兩點(diǎn)，問曲線上是否存在兩點(diǎn)滿足，若存在，請求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，不存在，請說明理由.6．（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？计谥校┮阎p曲線：實(shí)軸長為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率為，，請從下列的結(jié)論中選擇一個正確的結(jié)論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值高頻考點(diǎn)六：圓錐曲線中的定直線問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.F是拋物線C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N.（1）求拋物線C的方程.（2）過點(diǎn)M，N作拋物線C的切線，，是，的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在定直線上.2．（2023秋·北京·高三東直門中學(xué)校考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時，直線與橢圓的一個交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，經(jīng)過點(diǎn)Q且斜率為的直線與l交于點(diǎn)M，點(diǎn)N滿足軸，軸，求證：點(diǎn)N在直線上．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)的動直線交橢圓于兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)在某條定直線上．

4．（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)為，其中一條漸近線的傾斜角為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)E滿足，證明：點(diǎn)E在一條定直線上.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個頂點(diǎn)，且其離心率．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)定在直線上；(3)橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、、為切點(diǎn)），使得直線過點(diǎn)？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說明理由．高頻考點(diǎn)七：圓錐曲線中的向量問題1．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃E圓的離心率為，過橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長軸的弦長度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．2．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的一個頂點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求的值.

3．（2023春·山東濰坊·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點(diǎn)．(1)求