高考二輪復習理科數(shù)學課件高考滿分大題2數(shù)列求和方法及其綜合應用

高考滿分大題二數(shù)列求和方法及其綜合應用考點一錯位相減法求和例1(2021全國乙,文19)設{an}是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明:解題技巧

“同冪對位”破解數(shù)列中錯位相減法求和

分析模型形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列求和同冪對位求解關鍵是通過“錯位”的方式把兩式中冪指數(shù)相同的項對齊,這樣便于找出兩式作差后剩余式子的特征三個注意點(1)差式的項數(shù):兩式作差之后,余項一般為(n+1)項;(2)差式的特征:除去前一項和最后一項,中間(n-1)項是一個等比數(shù)列;(3)差式的意義:兩式作差得到的是(1-q)Sn,需要進行運算求出Sn對點訓練1(2023全國甲,理17)已知數(shù)列{an}中,a2=1,設Sn為{an}的前n項和,2Sn=nan.(1)求{an}的通項公式;解

(1)由題意可知,2Sn=nan,①當n≥2時,2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.考點二裂項相消法求和例2(2023山東濟南一模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},其前n項和記為Sn,且滿足對?n∈N*,都有2Sn=+an.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;規(guī)律方法

裂項相消法求和的解題策略

基本步驟(1)裂項:觀察數(shù)列的通項,將通項公式拆成兩項之差的形式;(2)累加:將裂項之后的各項相加,寫出和式;(3)消項:將中間可以消去的項相互抵消,將剩余的有限項相加,得到數(shù)列的前n項和余項規(guī)律余項呈現(xiàn)對稱性,具體表現(xiàn)在:(1)項數(shù):即前邊余幾項,后邊也余幾項;(2)順序:前邊余第幾項,后邊就余倒數(shù)第幾項對點訓練2(2023甘肅蘭州一診)已知數(shù)列{an}中,a1=1,對任意的i∈N*都有an+i-an=i.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;解

(1)∵對任意的i∈N*,都有an+i-an=i,∴當i=1時,an+1-an=1.又a1=1,∴數(shù)列{an}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,∴an=n.考點三分組求和或并項求和例3(12分)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,2(Sn-n+2)=an+1,a2=10,bn=an-1.(1)求證:{bn}是等比數(shù)列;【教師講評—觸類旁通】

分析1:(1)問證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,也就是證明數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,所以應先根據(jù)已知2(Sn-n+2)=an+1,得到數(shù)列{an}的遞推關系,然后轉化為數(shù)列{an-1}的遞推關系即可得證;分析2:(2)問中{cn}的奇數(shù)項和偶數(shù)項對應不同的數(shù)列,所以分奇、偶項分別求解.顯然奇數(shù)項是一個等比數(shù)列,但要注意其公比不是3,而是32=9;偶數(shù)項的求和需要利用裂項相消法求解;分析3:數(shù)列分組求和的關鍵在于根據(jù)通項公式的結構特征準確分組,通過分組將其轉化為兩個或多個簡單數(shù)列的求和,從而達到最終目標.對點訓練3(12分)(2023山東臨沂一模)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=1,a3+1是a2與a4的等差中項,Sn為{an}的前n項和.(1)求{an}的通項公式及Sn;考點四等差、等比數(shù)列的綜合問題例4(2023山東青島一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d≠0,S2,S4,S5+4成等差數(shù)列,a2,a4,a8成等比數(shù)列.(1)求Sn;解題技巧

1.證明與判斷一個數(shù)列是等差(或等比)數(shù)列的要求不同,證明必須是嚴格的,不能用通項公式或前n項和公式的形式證明.2.無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列的通項公式或前n項和公式解決問題.對點訓練4(2023新高考Ⅰ,20)設等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1.令,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},