第22章二次函數(shù)求二次函數(shù)解析式的九種方法課件人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)提分法

第8招求二次函數(shù)解析式的九種方法九年級(jí)數(shù)學(xué)（上）極速提分法已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－3)，且過點(diǎn)P(2，0)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

例解題方法：用待定系數(shù)法，結(jié)合已知條件設(shè)出頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入求解．解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－3)，∴可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－1)2－3.又∵函數(shù)圖象過點(diǎn)P(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.方法1利用一般式求二次函數(shù)解析式1.(1)求拋物線的解析式；(2)連接AB，AC，BC，求△ABC的面積．2.已知拋物線C：y1＝－x2＋mx＋n，直線l：y2＝kx＋b，拋物線C的對(duì)稱軸與直線l交于點(diǎn)A(－1，5)，點(diǎn)A與拋物線C的頂點(diǎn)B的距離是4.方法2利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式(1)求拋物線C的解析式；解：∵拋物線C：y1＝－x2＋mx＋n的對(duì)稱軸與直線l：y2＝kx＋b交于點(diǎn)A(－1，5)，點(diǎn)A與拋物線C的頂點(diǎn)B的距離是4，∴B(－1，1)或(－1，9)，∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，即拋物線C的解析式為y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.(2)若y2隨著x的增大而增大，且拋物線C與直線l都經(jīng)過x軸上的同一點(diǎn)，求直線l的解析式．【點(diǎn)方法】根據(jù)題目條件，易得拋物線C的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式求其解析式．3.如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，D是拋物線的頂點(diǎn)．方法3利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式(1)求此拋物線的解析式；解：由拋物線y＝－x2＋bx＋c過點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，可知拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝－x2＋2x＋3.(2)直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；解：C(0，3)，D(1，4)．(3)若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S△ABP＝4S△COE，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【點(diǎn)方法】當(dāng)遇到拋物線與x軸交于某兩個(gè)點(diǎn)求拋物線解析式的問題時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式可簡便運(yùn)算．方法4利用平移法求二次函數(shù)解析式4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋4x－3圖象的頂點(diǎn)是A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，0)．

(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y＞0時(shí)x的取值范圍；解：把點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2.易知B，C關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴C(3，0)．當(dāng)y＞0時(shí)，1＜x＜3.(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)A的位置上，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式．解：易知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－3)，∴要使點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)A的位置上，則拋物線就要向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，可得平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y＝－(x－4)2＋5.5.如圖，拋物線y＝ax2＋bx過點(diǎn)B(1，－3)，對(duì)稱軸是直線x＝2，且拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A.方法5利用對(duì)稱軸求二次函數(shù)解析式(1)求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y≤0時(shí)，自變量x的取值范圍；(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，當(dāng)PA⊥BA時(shí)，求△PAB的面積．解：如圖，過P點(diǎn)作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過B點(diǎn)作BE⊥x軸于點(diǎn)E，由點(diǎn)P在拋物線上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，t2－4t)，易知PF＝t2－4t，F(xiàn)(t，0)，E(1，0)，A(4，0)，BE＝3，∴AE＝3，AF＝4－t，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°.6.【2023·南充】如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高方法6利用圖象中的信息求二次函數(shù)解析式2.5m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)2.5m；噴頭高4m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)3m，那么噴頭高_(dá)_______m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m.8【點(diǎn)撥】以O(shè)為原點(diǎn)，水平線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．由題意知，調(diào)整噴頭高度，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，設(shè)y＝ax2＋bx＋2.5，將點(diǎn)(2.5，0)的坐標(biāo)代入得2.5a＋b＋1＝0，當(dāng)噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y＝ax2＋bx＋4，將點(diǎn)(3，0)的坐標(biāo)代入得9a＋3b＋4＝0，聯(lián)立方程組求出a，b的值，設(shè)噴頭高h(yuǎn)m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，則此時(shí)y＝ax2＋bx＋h，將點(diǎn)(4，0)的坐標(biāo)代入可求出h.7.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：方法7利用表格信息求二次函數(shù)解析式x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根據(jù)以上信息，可知拋物線開口向______，對(duì)稱軸為________；(2)求拋物線的解析式及m，n的值；上直線x＝1解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分別代入y＝ax2＋bx＋c，(3)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所求的拋物線．設(shè)點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，OP的中點(diǎn)為P′，描出相應(yīng)的點(diǎn)P′，再把相應(yīng)的點(diǎn)P′用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？解：畫出拋物線，描出點(diǎn)P′的軌跡，是一條拋物線，如圖所示．(4)設(shè)直線y＝m(m>－2)與拋物線及(3)中的點(diǎn)P′所在曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)從左到右依次為A1，A2，A3，A4，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出線段A1A2，A3A4之間的數(shù)量關(guān)系：__________________．A3A4－A1A2＝1【點(diǎn)撥】設(shè)A1，A2，A3，A4的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，易得x1＋x4＝2，x2＋x3＝1，∴A3A4－A1A2＝(x4－x3)－

(x2－x1)＝(x4＋x1)－(x3＋x2)＝2－1＝1.8.為響應(yīng)荊州市“創(chuàng)建全國文明城市”號(hào)召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m，另外三邊由36m長的柵欄圍成．設(shè)矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB＝xm，面積為ym2(如圖)．方法8利用幾何建模求二次函數(shù)解析式(1)求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．解：y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x(9≤x＜18)．【點(diǎn)撥】先用含x的式子表示BC的長，再根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)解析式，最后由BC的長大于0m且不大于

18m列不等式組求解即可得到x的取值范圍；(2)若矩形空地的面積為160m2，求x的值．解：由題意得－2x2＋36x＝160，解得x＝10或x＝8.∵x的取值范圍為9≤x＜18，∴x的值為10.【點(diǎn)撥】令y＝160，列出關(guān)于x的一元二次方程求解即可；(3)若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵，每種植物的單價(jià)和每棵栽種的合理用地面積如下表．

甲乙丙單價(jià)/元141628合理用地面積/(平方米/棵)0.410.4丙種植物最多可以購買多少棵？此時(shí)，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請(qǐng)說明理由．解：∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴當(dāng)x＝9時(shí)，y取得最大值162.設(shè)購買了乙種植物a棵，購買了丙種植物b棵，由題意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8600，∴a＋7b＝1500.∴b的最大值為214，此時(shí)a＝2.需要種植的面積＝0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2(m2)．∵161.2m2＜162m2，∴丙種植物最多可以購買214棵，此時(shí)這批植物可以全部栽種到這塊空地上．【點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出購買丙種植物的最大棵數(shù)，并計(jì)算出此時(shí)的種植面積，然后與這塊空地的最大面積比較即可．9.某公司電商平臺(tái)，在五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動(dòng)，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y(件)是關(guān)于售價(jià)x(元/件)的一次函數(shù)，下表僅列出了該商品的售價(jià)x、周銷售量y、周銷售利潤W(元)的三組對(duì)應(yīng)值數(shù)據(jù)．方法9利用建立實(shí)際問題模型求二次函數(shù)解析式(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)．x407090y1809030W360045002100(2)若該商品進(jìn)價(jià)為a(元/件)，售價(jià)x為多少時(shí)，周銷售利潤W最大？并求出此時(shí)的最大周銷售利潤．解：由題意知周銷售利潤W＝(－3x＋300)(x－a)，把x＝40，W＝3600代入解析式，可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，解得