二重積分課件

二重積分4/16/20241精選課件ppt一.二重積分的性質(zhì)二.二重積分的算法三.二重積分與極坐標(biāo)四.二重積分的應(yīng)用學(xué)習(xí)內(nèi)容：4/16/20242精選課件ppt一.二重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)（其中:

是常數(shù)）2.對(duì)區(qū)域的有限可加性若區(qū)域D

分為D1，D2兩個(gè)部分區(qū)域

,則：3.若在區(qū)域D上總有，則有不等式3精選課件ppt4.若在區(qū)域D上有為區(qū)域D的面積）（5.估值不等式設(shè)M與m分別是函數(shù)Z=f(x,y)在D上的最大值與最小值，是D的面積6.中值定理若f(x,y）在閉區(qū)域上連續(xù)，是D的面積，則在D內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得4精選課件ppt例1：估計(jì)二重積分的值，D是圓域解:求被積函數(shù)

在區(qū)域

上可能的最值(0,0)是駐點(diǎn)，f(0,0)=9，在邊界上：，于是有：5精選課件ppt例2：比較積分，的大小其中D是由直線和所圍成的解：因?yàn)榉e分域D在直線想x+y=1的下方，所以對(duì)于任意點(diǎn)均有從而有而故由二重積分的性質(zhì)得6精選課件ppt二.二重積分的算法在區(qū)間[a,b]上任意取一個(gè)點(diǎn)作平行于yoz面的平面x=這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間為底，曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為該曲頂柱體的體積為7精選課件pptD:

x1(y)x

x2(y)c

y

dI=0y

xx2(y)x1

(y)cdy

二重積分計(jì)算的兩種積分順序D8精選課件ppt0y

xcdyDx2(y)x1

(y)I=

二重積分計(jì)算的兩種積分順序.D:

x1(y)x

x2(y)c

y

d9精選課件ppt0y

xcdyDD:

y1(x)y

y2(x)a

x

b0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)xI=二重積分計(jì)算的兩種積分順序.D:

x1(y)x

x2(y)c

y

d10精選課件ppt0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x6.

二重積分計(jì)算的兩種積分順序.I=D:

x1(y)x

x2(y)c

y

dD:

y1(x)y

y2(x)a

x

b11精選課件ppt0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x二重積分計(jì)算的兩種積分順序.I=D:

x1(y)x

x2(y)c

y

dD:

y1(x)y

y2(x)a

x

b12精選課件ppt11y=x20y

xD2先對(duì)y積分（從下到上）1畫(huà)出區(qū)域D

圖形3

先對(duì)x積分（從左到右）...y=x...例3：用兩種順序計(jì)算13精選課件ppt一先對(duì)x積分yxoabDyxoabDyxoabD....例4：將二重積分化成二次積分14精選課件ppt二先對(duì)y積分yxoabyxoabyxoabDDD.....15精選課件ppt舉例說(shuō)明如何交換二次積分的次序（1）對(duì)于給定的二重積分先根據(jù)其積分限畫(huà)出積分區(qū)域D（2）根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限（3）寫(xiě)出結(jié)果16精選課件ppt例1將交換積分次序。解：由得積分區(qū)域：令，，，，畫(huà)出的示意圖如圖。因?yàn)?，所以?7精選課件ppt畫(huà)出的示意圖如圖。例2將交換積分次序。解：由得積分區(qū)域：令，，，，因?yàn)?，所以?8精選課件ppt極坐標(biāo)系下的面積元素將變換到極坐標(biāo)系0D用坐標(biāo)線:

=常數(shù)；r

=常數(shù)

分割區(qū)域D

iriri+1...

...

i

i

i+

iI=

rir..三.二重積分與極坐標(biāo)19精選課件ppt怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1.極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部

0ABFE

DD:

rr20精選課件ppt怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(1)0ABFE

DD:.1.極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部

r21精選課件ppt怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(1)0ABFE

DD:.

步驟：1從D的圖形找出r,

上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd

.1.極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部

r22精選課件ppt2.極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部

0

DrD:怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(2)r23精選課件ppt

D:D0怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(2).2.極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部

r24精選課件ppt

D:.D0

步驟：1從D的圖形找出r,

上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd

怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(2).2.極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部

r25精選課件ppt0y

x2a

..解例5：.26精選課件ppt此題用直角系算麻煩，需使用極坐標(biāo)系！21D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系..

例6:計(jì)算D:

=1和

=2

圍成27精選課件ppt0y

x12

y=xD..

.例7：28精選課件ppt四.二重積分的應(yīng)用（一）、曲面的面積

（二）、平面薄片的質(zhì)心

（三）、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(四）、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（五）、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用29精選課件ppt衛(wèi)星實(shí)例一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi),且可近似認(rèn)為是圓軌道.通訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同,即人們看到它在天空不動(dòng).若地球半徑取為R,問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少?通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大?一、曲面的面積30精選課件ppt一、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則31精選課件ppt故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即32精選課件ppt例1求半徑為R的球的表面積：解

球面方程為：33精選課件ppt在第一卦限內(nèi)球面的方程為

在平面上的投影區(qū)域可表示為D：x2+y2≤R2，x≥0，y≥0.

又34精選課件ppt于是，所求球的表面積為即球的表面積

它等于大圓面積的4倍.

35精選課件ppt二、平面薄片的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心標(biāo)設(shè)物體占有平面域D,有連續(xù)密度函數(shù)則分別位于為為采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心公式

36精選課件ppt若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面片,(A為D的面積)得D的質(zhì)心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度37精選課件ppt例5.求位于兩圓和之間均勻薄的質(zhì)心.

解:利用對(duì)稱性可知而38精選課件ppt三、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有平面區(qū)域D,有連續(xù)分布的密度數(shù)該物體位于(x,y)處的微元因此物體對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.39精選課件ppt同理可得：40精選課件ppt例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.41精選課件ppt

G

為引力常數(shù)四、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力設(shè)物體占有平面區(qū)域D,求該薄片對(duì)于點(diǎn)利用元素法,在D上積分即得各引力分量:其密度函