函數(shù)的極值（課件）高二數(shù)學（北師大版2019選擇性）

函數(shù)的極值溫故知新

1.函數(shù)單調性與導數(shù)關系設函數(shù)在某個區(qū)間內可導，則2.求函數(shù)單調區(qū)間的步驟(1)求:求函數(shù)的定義域及導函數(shù)；(3)寫:寫出單調區(qū)間(如果導函數(shù)在定義域上

非正或非負,直接判斷增減).注意定義域是減函數(shù)是增函數(shù)

(2)解:解不等式，；

還記得高臺跳水的例子嗎？atho最高點復習導入------導入新課復習導入----------導入新課2.跳水運動員在最高處附近的情況：將最高點附近放大atho最高點導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？對于一般函數(shù)是否也有同樣的性質嗎？＋－復習導入------導入新課探究3.(1)如圖，在等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系？導數(shù)值呢？導數(shù)符號呢？cdefoghIjxy復習導入------導入新課3.(2)如圖，在點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系？導數(shù)值呢？導數(shù)符號呢？探究xyoabxyoab>0<0<0>0極小值點極大點

（3）極大值與極小值沒有必然關系，極大值可能比極小值還小.

注意：oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）極值是某一點附近的小區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質,不是整體的最值;（2）函數(shù)的極值不一定唯一,在整個定義區(qū)間內可能有多個極大值和極小值；觀察與思考：極值與導數(shù)有何關系？對于可導函數(shù),若x0是極值點,則f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,則x0不一定是極值點.函數(shù)的極值:對于可導函數(shù)y=f(x)，若x0滿足f'(x0)=0,在x0附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0,

那么x0是函數(shù)f(x)的極小值點，f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值;

在定義中,

極值點是自變量的值,極值指的是對應的函數(shù)值.一般地,設函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0附近其他點的函數(shù)值都小,我們說x0是函數(shù)f(x)的一個極小值點，f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值.

極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.f(x)補充說明：極值點：極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點；極值：極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.1.極值點是自變量x的一個值.極值點的理解2.若①

②在點兩側的導數(shù)異號;

則點叫做函數(shù)的極值點.當函數(shù)的導數(shù)在點的兩側滿足“左正右負”,則點是函數(shù)的極大值點,是極大值;當函數(shù)的導數(shù)在點的兩側滿足“左負右正”,則點是函數(shù)的極小值點,是極小值.極值的理解oa

x0bxy

xx0左側

x0x0右側

f

(x)

f(x)

oax0bxy

xx0左側

x0x0右側

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0極大值減f

(x)<0f

(x)=0增減極小值f

(x)>0如何判斷f

(x0)是極大值或是極小值？左正右負為極大，右正左負為極小若尋找可導函數(shù)極值點,可否只由f

(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

當f

(x)=0時，x

=0，而x

=0不是該函數(shù)的極值點.f

(x0)

=0x0

是可導函數(shù)f(x)的極值點x0左右側導數(shù)異號x0

是函數(shù)f(x)的極值點f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件思考極大值一定比極小值大嗎？極值是函數(shù)的局部性概念結論：不一定極大值極小值極小值

√(6)導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點．(

)1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)極大值就是函數(shù)的最大值；(

)(2)函數(shù)的極大值比極小值大；(

)(3)一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內的極大值或極小值可以不止一個；(

)(4)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點；(

)××√鞏固提升(5)若函數(shù)f(x)在(a，b)內有極值，則f(x)在(a，b)內一定不單調．(

)√×2．(多選題)下圖是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下列命題中正確的是(

)A．－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點B．－1是函數(shù)y＝f(x)的最小值點C．y＝f(x)在x＝0處切線的斜率小于零D．y＝f(x)在區(qū)間(－3，1)上單調遞增答案：AD解析：由導函數(shù)圖象知函數(shù)f(x)在(－∞，－3)上單調遞減，(－3，＋∞)上單調遞增，f′(－3)＝0，所以x＝－3是函數(shù)f(x)的極值點，故A、D正確，B不正確；又f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0處切線的斜率大于0，故C不正確．故選AD.3．函數(shù)y＝(x2－1)3＋1的極值點是(

)A．極大值點x＝－1B．極大值點x＝0C．極小值點x＝0D．極小值點x＝1答案：C解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三個根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是極小值點，故選C.4．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值等于13，則m＝__________．－19解析：y′＝－3x2＋12x由y′>0得0<x<4.由y′<0得x<0或x>4所以函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上單調遞減，在(0，4)上單調遞增．所以函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m在x＝4處取得極大值．所以－43＋6×42＋m＝13.5.下圖是導函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.abxyx1Ox2x3x4x5x6例1求函數(shù)f(x)=2x3-3x2-36x+16的極值點.解f'(x)==6x2-6x-36=6(x+2)(x-3).通過解方程f'(x)=0得到了兩個實數(shù)根個x1=-2和x2=3.當x<-2時，f'(x)＞0,函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞,-2）內單調遞增；當-2<x<3時,f'(x)＜0,函數(shù)f(x)在區(qū)間（-2,3）內單調遞減，因此,x1=-2是函數(shù)f(x)的極大值點.當-2<x<3時,f'(x)＜0,函數(shù)在（-2,3）內單調遞減；當x>3時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間（3,+∞）內單調遞增，所以x2=3是函數(shù)f(x)的極小值點.這個判斷過程可以通過表2-8直觀地反映出來.求可導函數(shù)f(x)極值的步驟：(2)求導數(shù)f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f’(x)在方程根左右的符號——如果左正右負（+~-），那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正（-~+），那么f(x)在這個根處取得極小值；(1)確定函數(shù)的定義域；因為所以變式：

求函數(shù)的極值.解:令解得或當,即,或;當,即.當x變化時,f(x)的變化情況如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)極大值極小值–++所以,當x=–2時,f(x)有極大值

;當x=2時,f(x)有極小值

.解:令,解得x1=-2,x2=2.當x變化時,,y的變化情況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y

↗極大值↘極小值↗因此,當x=-2時有極大值,并且,y極大值=;而,當x=2時有極小值,并且,y極小值=.例1求函數(shù)的極值.變式的圖像-2oxy2+--+f(x)=x3-4x+4解 f'(x)=9x2-3.解方程 f'(x)=0,得x1=-,x2=.根據(jù)x1,x2列岀表2-9,分析f'(x)的符號、f(x)的單調性和極值點.例2求函數(shù)f(x)=3x3一3x+l的極值，并畫出函數(shù)的大致圖象.

根據(jù)上表可知，x1=-為函數(shù)f(x)=3x3-3x+1的極大值點，函數(shù)f(x)在該點的取值（極大值）為f(-)=1+;x2=為函數(shù)f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)在該點的取值（極小值）為f()=1-.函數(shù)f(x)的大致圖象如圖2-19.xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1+0--0+所以，當x=-1是，函數(shù)的極大值是-2，當x=1時，函數(shù)的極小值是2導函數(shù)的正負是交替出現(xiàn)的嗎？不是極大值極小值變式x1(1,+∞)f′(x)+0－0+f(x)↗極大值↘極小值↗列表如下：

f'(x)變式：已知函數(shù)在處取得極值。（1）求函數(shù)的解析式（2）求函數(shù)的單調區(qū)間1．設函數(shù)f(x)＝xex＋1，則(

)A．x＝1為f(x)的極大值點B．x＝1為f(x)的極小值點C．x＝－1為f(x)的極大值點D．x＝－1為f(x)的極小值點答案：D解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)令f′(x)＝0，得x＝－1，易知x＝－1是函數(shù)f(x)的極小值點，故選D.課堂檢測2．已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋ax在x＝1處取得極值，則實數(shù)a＝(

)A．－2

B．2C．0D．1答案：A

3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．－1<a<2B