高等幾何58511節(jié)課件

16四月2024高等幾何58511節(jié)提綱5.8射影變換的特例5.9變換群5.10變換群的例證5.11變換群與幾何學第五章總結2這一節(jié)我們把運動變換以及第一章所講的仿射變換，看作射影變換的特例。為此，把坐標三角形第三個頂點A3取作仿射或笛氏坐標的原點，第三邊a3(x3=0)取為無窮遠線。在此基礎上，通過對變換T加以限制，使無窮遠線不變，得到仿射變換；再限制無窮遠線上的兩個圓點I(1,i,0),J（1，-i,0）在T下不變而得到相似變換，最后通過令變換矩陣的行列式的絕對值為1，得到運動（變換）。5.8射影變換的特例一、本節(jié)的主要內(nèi)容：35.8射影變換的特例二、射影變換的特例

定義在拓廣的歐氏平面上，保持無窮遠直線不變的射影變換稱為仿射變換.命射影變換保持l∞：x3=0不變

a31=a32=0.則得：1.仿射變換45.8射影變換的特例這正是第一章中介紹過的仿射變換，因此，仿射變換是射影變換的一種，它使無窮遠直線不變。它將有限點變?yōu)橛邢撄c，無窮遠點變?yōu)闊o窮遠點。二、射影變換的特例1.仿射變換55.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換限制T滿足：I(1,i,0)→I；J（1，-i,0）→J,則得將T2用非齊次坐標表示，得：65.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換將T2用非齊次坐標表示，得：上式在正交笛卡爾坐標系表示一個正相似變換。75.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換若設兩點（x1,y1）,(x2,y2)間的距離為d,而映像點（x’1,y’1）,(x’2,y’2)間的距離為d’，則有上式說明，經(jīng)過正相似變換(2’),所有的距離按定常數(shù)r放大或縮小，圖形變換為相似形，因而角度保留不變，r稱為相似比。85.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換若限制T滿足：I(1,i,0)→J；J（1，-i,0）→I,則得

(2＊)式稱為反相似變換（參看教材習題5.19），它是正相似變換T2與關于X軸的反射（x’=x，y’=-y）的乘積，(2＊)式改變了圖形的轉向，因而稱為反相似變換。9在正相似變換：5.8射影變換的特例二、射影變換的特例3.正交變換中命r=1,則(2’),(2＊)分別成為：10（3）式稱為運動，（3’）式是運動與反射之積，它改變圖形的轉向；兩者合稱為正交變換（（3）式在高等代數(shù)中稱為第一類正交變換；（3’）式稱為第二類正交變換

）有時也稱為合同變換.5.8射影變換的特例二、射影變換的特例3.正交變換正交變換具有性質(zhì)：①線段變成等長的線段；②單位向量變成單位向量；③直角坐標系變成直角坐標系；④矩形變?yōu)榫匦?。換言之，正交變換具有保距性、保角性，運動不改變圖形的轉向，第二類正交變換則改變圖形的轉向。11設G是一個非空集合，*是它的一個代數(shù)運算，如果滿足以下條件：

Ⅰ.結合律成立，即對G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；

Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左單位元，它對G中每個元素a都有e*a=a；

Ⅲ.對G中每個元素a在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1*a=e；

則稱G對代數(shù)運算*做成一個群，記為<G;*>。5.9變換群一、群的概念12定理：一個集合S的所有一一變換（單射）的集合，對變換的乘法構成群，稱為變換群.(證明參看教材P.99).對于所考慮的空間內(nèi)每一個映像點A’，只有一個原像點A和它對應，這種變換稱為一對一的變換或可逆變換.凡可逆變換一定具有一個逆變換.以T-1表示T的逆變換，則T（A）=A’,T-1(A’)=A幺變換或恒同變換將每一點變?yōu)槠渥陨?，以I表示.從定義可得，IT=T,TI=T,T-1T=I,TT-1=I.5.9變換群二、變換群13定義5.1：滿足下列兩個條件的集合稱為變換群：1°封閉性：集合內(nèi)任兩個變換之積仍屬于這個集合；2°集合內(nèi)任一變換有逆變換，且逆變換仍屬于這個集合。

這個關于變換群的定義和代數(shù)里抽象群的定義并無不合.因為變換之積總是滿足結合律的，所以抽象群定義的這一要求不必提出。并且每一變換T既要求有逆變換，且要求它屬于集合，則乘積也就在集合內(nèi)，所以抽象群定義中的單位元此地也不必提出.5.9變換群二、變換群14一、概念

一切射影變換構成一個群，稱為射影變換群.5.10變換群的例證設在一切射影變換所構成的集合里任取一個變換T1，使點x變?yōu)辄cx’：再在集合里任取一個變換T2，使點x變?yōu)辄cx”：15一、概念5.10變換群的例證那么T1與T2之積T1T2就將點x變?yōu)閤’：它的形式是：且由矩陣乘法規(guī)律16一、概念5.10變換群的例證且由矩陣乘法規(guī)律17一、概念5.10變換群的例證同樣仿射變換的集合構成群，稱為仿射變換群；5.8節(jié)的相似變換（3）和（3’）合在一起構成相似群；運動變換的集合18（1）射影群<k;＊>.<k;＊>.={T1|T1:x’=|aij|≠0}.二、常見的變換群5.10變換群的例證19二、常見的變換群5.10變換群的例證20二、常見的變換群5.10變換群的例證21一、Klein變換群觀點對于一個給定的空間S，研究圖形關于群G(G為S上的一切變換的集合)的不變性質(zhì)、不變量及關于圖形的分類稱為空間S上群G附屬的幾何學.

5.11變換群與幾何學1872年克萊茵在德國的愛耳蘭根大學宣讀了現(xiàn)在人們稱為“愛耳蘭根綱領”的演說《近世幾何學研究的比較評論》，在這篇文章中他總結了射影、仿射以及其它幾何的發(fā)展結果，明確地表述了構成這些幾何的普遍原則，那就是：22一、Klein變換群觀點

可以考慮空間一一變換的任何一個群，而且研究在這個群的一切變換下保留不變的圖形性質(zhì)。因此，運動群下圖形的不變性質(zhì)的研究構成歐氏幾何；仿射群下圖形的不變性質(zhì)的研究構成仿射幾何；射影群下圖形的不變性質(zhì)的研究構成射影幾何。5.11變換群與幾何學意義：（1）Klein變換群觀點使各種幾何學化成統(tǒng)一的形式，同時又明確了各種幾何學所研究的對象。（2）它給出了建立抽象空間所對應幾何學的一種方法，對以后的幾何發(fā)展起到了指導性的作用。23射影幾何仿射幾何相似幾何歐氏幾何變換群之間的關系5.11變換群與幾何學二、三種幾何學的關系與比較<k;＊><A;＊><S;＊><M;＊>絕對子幾何關系相對子幾何關系241.射影幾何學空間射影平面P變換群射影變換群K研究內(nèi)容圖形在射影變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量結合性，同素性交比注：其余所有射影不變性均可由上述基本的射影不變性演繹.5.11變換群與幾何學二、三種幾何學的關系與比較252.仿射幾何學空間仿射平面P變換群仿射變換群A研究內(nèi)容圖形在仿射變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量仿射幾何學5.11變換群與幾何學二、三種幾何學的關系與比較3.相似幾何學空間歐氏平面P變換群相似變換群S研究內(nèi)容圖形在相似變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量相似幾何學注：最重要的仿射性是平行性；最重要的仿射量是簡比.26注2：因為仿射變換群是射影變換群的子群,所以射影不變性必定也是仿射不變的.從而仿射幾何的研究內(nèi)容必定包括射影幾何的研究內(nèi)容。5.11變換群與幾何學二、三種幾何學的關系與比較4.歐氏幾何學空間歐氏平面P變換群正交變換群M研究內(nèi)容圖形在歐氏變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量歐氏幾何學注1：通常不區(qū)分相似幾何與歐氏幾何，統(tǒng)稱為歐氏幾何。27注3：因為正交變換群是仿射變換群的子群,所以仿射不變性必定也是正交不變的.從而歐氏幾何的研究內(nèi)容必定包括仿射幾何的研究內(nèi)容.注4：距離和角度是最基本的正交不變性.由此,一切剛體性質(zhì)都是歐氏幾何的研究對象.結論：雖然原幾何學包含子幾何學，但是子幾何學的研究內(nèi)容卻比原幾何學豐富.5.11變換群與幾何學二、三種幾何學的關系與比較28第五章總結1.射影坐標系一維射影坐標系及其特例二維射影坐標系及其特例坐標變換式：一、本章主要內(nèi)容29第五章總結變換表達式：點到點的→線到線的2.二維射影變換一、本章主要內(nèi)容30第五章總結變換表達式：點到點的→線到線的2.二維射影變換一、本章主要內(nèi)容注：射影變換是將坐標變換式改變解釋而得到；線到線的射影變換是點到點的射影變換誘導出來的。31第五章總結一、本章主要內(nèi)容射影變換的確定（二維射影幾何基本定理）：2.二維射影變換無三點共線的四對對應點決定唯一的二維射影變換。二重元素的求法步驟：①由特征方程|A-λE|=0,求出特征根;②將每一個特征根λ分別代入方程組(A-λE)x=0，求出固定點的坐標；③將每一個特征根λ分別代入方程組(A’-λE)u=0，求出固定線的坐標.32變換群3.變換群與幾何學→克萊因觀點及其意義第五章總結一、本章主要內(nèi)容一個集合S的所有一一變換（單射）的集合，對變換的乘法構成群，稱為變換群。

常見的變換群有射影群K，仿射群A，相似群S，正交群M.

此外，關于直線的對稱變換的集合不構成群，而關于點的對稱變換的集合構成變換群。（參看習題5.25）2.二維射影變換33注：用不過線束束心的任一直線截線束，則線束的交比轉化為點列的交比。1.射影幾何學二、三種幾何學的特點與比較第五章總結

定義.設A,B,C,D為點列l(wèi)(P)中四點,且A

≠

B.把(AB,CD)表示為這共線四點構成的一個交比.定義為同素性、結合性是最基本的射影不變性，交比是最基本的射影不變量.射影幾何是射影變換群下圖形不變性質(zhì)的研究。342.仿射幾何學定義設P1,P2為普通直線上的兩個相異的普通點,P為該直線上任一普通點.定義為P1,P2,P的簡比.稱P1,P2為基點,P為分點.注：簡比與解析幾何中的定比分割相差一個符號.二、三種幾何學的特點與比較第五章總結35仿射幾何就是仿射群下圖形不變性質(zhì)的研究。二、三種幾何學的特點與比較第五章總結2.仿射幾何學簡比是最基本的仿射不變量；無窮遠直線是最基本的仿射圖形。仿射不變性平行性簡比平行線段的比,兩三角形面積之比,線段的中點,三角形的重心,梯形,平行四邊形,……由(P1P2P)=(P1P2,PP∞)立即可見：363.歐氏幾何學定理