2024屆天津市河北區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案詳析

2024屆天津市河北區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

（試卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘）2023.11

第I卷（選擇題共45分）

參考公式：

如果事件A,B互斥,那么‘（AU』=）（A）+P（5）

如果事件A,B相互獨(dú)立,那么P（AB）=P（A）P（3）

球的表面積公式S=4乃代

4

V=-^R3

球的體積公式3

其中R表示球的半徑

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知全集U={T°，L2,3},集合.={0,1,2},於{-1,0,1},則弧A）cB=

A.H{0』}c.{T23}D{-1,0,1,3）

2.設(shè)xeR,貝『，*2一5》＜0”是的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某班的全體學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為12°，4°）,[4°，6。）,

[60,80）,[80,100],若低于60分的人數(shù)是5則該班的學(xué)生人數(shù)是（）

5.若”=1臉30-8,b=3°\c=0.321,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<ac.c<a<bD.a<c<b

6.已知圓錐的高為3,底面半徑長為4,若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑長為

A.5B.石C.9D.3

7.設(shè)等差數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為S",若包=4,Sg=72,則/=（）

A.20B.23C.24D.28

x2y2

8.已知雙曲線C:〃_/=[的焦距為10，點(diǎn)p（2』）在c的漸近線上，則C的方程為

%2丁x2j2x2丁%2丁

A.20.^=1B.力=1C.8O-2O=1D.20-80=1

兀_71

9.已知函數(shù)/（力=*m（5+。）+刈°>0,。>0）的最大值是4,最小值是0,最小正周期是5,直線

是其圖象的一條對稱軸，則下列各式中符合條件的解析式是（）

y=4sin（4x+^）y=2sin[2x+g）+2y=2sin（4x+2]+2y=2sin（4x+；）+2

第II卷共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.

1-i

10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)直不一

11.二項(xiàng)式（的展開式中，x的系數(shù)為

12.在平面直角坐標(biāo)系中，直線3%+分+3=。被圓（x-2）-+（y+l）-=4截得的弦長為

13.甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,兩人每次射擊是否命

中互不影響.設(shè)事件A為“兩人至少命中一次“，事件8為“甲命中”，則條件概率尸出A）的值為.

14.已知函數(shù)"唾2（彳-1）">1則滿足/（力42的x的取值范圍是

15.設(shè)以=（-2,4）,。8=（-&2）,OC=（b,0））其中b>0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A,B,C三點(diǎn)

11

一+一

共線，則勿+b=ab的最小值為

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

7T

/(x)=sin(2x——)-cos2x

16.已知函數(shù)6xeR

八］

rn'5上的單調(diào)區(qū)間

⑴求函數(shù)/（*的最小正周期；（2）求函數(shù)/（“）的對稱軸方程；⑶求函數(shù)/（x）在

.B+C.-

csin-----=asinC

一人、,八人,,一萬.

17.在銳角“3C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b，c,且2

（1）求角A的大??；

sin8=@

⑵若6=1,7,求邊j

（3）在（2）的條件下，求8s（28+4）的值

2,AB=l

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC/),AD±AB,DC,AD=DC=AP=

點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

⑴求證：8E〃平面PA。；

（2）求直線BE與平面H犯所成角的正弦值;

（3）求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

19.已知函數(shù)7（x）=2d-2f+1

⑴求曲線y=〃x）在點(diǎn)（iJ。））處的切線方程；

（2）求函數(shù)y=/a）的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑶若函數(shù)g（x）=〃x）-6在區(qū)間［T1］上有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

22

-+-^~=1（4>Z?>0）_J_

率為5,過點(diǎn)A的直

20.設(shè)橢圓后：?！钡淖箜旤c(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為尸.已知橢圓的離心

。尸與直線/垂直，垂足

線,與橢圓交于另一點(diǎn)8,且點(diǎn)C與點(diǎn)8關(guān)于彳軸對稱（C與8不重合）.若直線

。108

3=---

為。，且48田的面積35.

⑴求直線/的斜率；

⑵求橢圓E的方程.

1.A

【解析】本題根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】QA={T,3},則?A）B={-1}

故選：A

【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.

2.B

【解析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.

【詳解】化簡不等式，可知°<%<5推不出1<1；

由卜-1|<1能推出0cx<5,

故"x2-5x<0，，是“Ix-l|<l，，的必要不充分條件，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件.

3.B

【分析】先判斷x>0時(shí)函數(shù)“X）的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)C,D；再判斷當(dāng)x<°時(shí)函數(shù)“X）即可判斷

A,B,即可得答案.

【詳解】當(dāng)時(shí)，""二'+最，此時(shí),（X）在（°，。上單調(diào)遞減，

當(dāng)X>1時(shí)，此時(shí)/（X）在（L+00）上單調(diào)遞增，

且X>0時(shí)，/（x）min=f（D=2,

由此可知C,D選項(xiàng)中圖象錯(cuò)誤；

當(dāng)x<0時(shí)，-V+x,此時(shí)“X）在（-00，。）上單調(diào)遞減，

故選項(xiàng)A中圖象不合題意，

又〃-1）=0,故B中圖象符合題意，

故選：B

4.C

【分析】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率，結(jié)合低于60分的人數(shù)即可求得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為20?005+0.010）=0.300,

由于低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是S3。。

故選：C

5.D

【分析】分別根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出三數(shù)的取值范圍，即可得答案.

【詳解】由題意得a=l°g3°-8<l0g31=0,。=3°8>3。=1,

0<C=0.321<0.3°=1,

故“＜c＜。，

故選：D

6.B

【分析】由己知中圓錐的底面半徑和高，求出圓錐的母線長，代入圓錐側(cè)面積公式，求出圓錐側(cè)面積，

利用球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，可得答案.

【詳解】???圓錐的底面半徑r=4,高h(yuǎn)=3,

圓錐的母線1=5,

/.圓錐側(cè)面積S=ml=20兀，

設(shè)球的半徑為r,則4ra'2=20兀，.1=有

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積公式的應(yīng)用，熟練掌握各種旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，是解答的關(guān)鍵.

7.D

【分析】由$9=72得到%=8,代入公式求解即可.

S=72

【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，92

所以為=8,又％=、所以公差為d=%-%=4,

4o=%+6d=28

故選：D.

8.A

【詳解】由題意得，雙曲線的焦距為1°,即〃+/=/=25,

b

y=-x

又雙曲線的漸近線方程為.a="-紗=0,點(diǎn)P(2,l)在C的漸近線上，

所以。=肛聯(lián)立方程組可得京=2調(diào)＞*=.*，

二上1

所以雙曲線的方程為2。5.

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì).

9.C

1=2,5兀-7

j7。(D=-----+K71,kE.Z

【分析】根據(jù)最值求得〔"=2,根據(jù)周期求得。=4,根據(jù)對稱軸可求得6，從而可求

jA+k=4jA=2

【詳解】因?yàn)樽畲笾凳?,最小值是0,所以1―A+%=°,解得=2

7i2n_7i

因?yàn)樽钚≌芷谑?,所以。一5，解得。=4,

x=—4x—\-<p=—I-kit,ZiGZ

因?yàn)橹本€3是其圖象的一條對稱軸，所以32,

(p=--+lat,k&Zk=\,(p=—

所以6,又因?yàn)橄?gt;°,所以當(dāng)6,

y=2sin|4x+—|+2

所以所求解析式可能為.I6J

故選：C

io.一石一石?

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求得答案.

l-i_(l)(3_4i)__l_7i__J___7_.

【詳解】由題意得3+電(3+4i)(3-4i)252525：

故答案為：2525

11.10

【分析】由二項(xiàng)式定理求解即可.

【詳解】要卜+2中含有x的項(xiàng)，則需要在5項(xiàng)中選取2個(gè)『與3個(gè).相乘，故含有x的項(xiàng)為

C：(x2)2(-)3=10x

X，故X的系數(shù)為10

故答案為10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用與其中某項(xiàng)的系數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題型.

12.26

【分析】根據(jù)圓的垂徑定理，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理進(jìn)行求解即可；

【詳解】設(shè)圓(、一2)~+(〉+1)一=4的圓心為人，它的坐標(biāo)為(21),該圓的半徑為r=2,

/_|3x2+4x(-l)+3|_|

圓心A到直線3x+4y+3=0的距離為：\/32+42

所以弦長為：2,2_/=2/^1=2后,

故答案為：26

40

13.47

【分析】根據(jù)對立事件的關(guān)系和獨(dú)立性可求得「(A)、「(A3),再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.

…即P⑷=1-「伍)=1-0.2x0.3=0.94

【詳解】x7，

P(/IB)=0.8x0.7+0.8x0.3=0.8

W)二需0.8_40

O94-47

所以

40

故答案為：47.

[-1,1]C,+8)

14.2

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分段解不等式，即可得答案.

【詳解】當(dāng)時(shí)，/(?￥)42即21-242,二1一萬42,二X2-1,貝|j-14x41；

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)?2即l-log2(x—1)42,解得2,

即2

([―,+°o)

故滿足fx町\<372,的x的取值范圍是2,

[-1,1]“,田)

故答案為:

15.2%

【分析】由題意求得力8=(一"+2,-2),AC=S+2,T),

根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，利用向量共線的條

—I——(_—)(2〃+/7)

件可得2a+6的值，將ab化為2ab,展開后利用基本不等式即可求得答案.

【詳解】由°4=(-2,4),OB=(-a,2)OC=("0)可得AB=(-a+2,-2),AC=(b+2,-4)

由于A,B,C三點(diǎn)共線,故的=(-。+2,-2),4C=3+2,~4)共線，

所以(—a+2)x(-4)-(-2)(/?+2)=0f即2a+)=2,

111/7\1/b2acb2a一rr3

一+7=7(一+—)(2a+Z?)=—(—+—+3)>—(2J------+3)=V2+—

貝2ab2\ab2

h_2a

當(dāng)且僅當(dāng)。一匕,結(jié)合2a+6=2,即a=2-&,0=2忘-2時(shí)取等號,

故答案為：2；2

16.(1)兀；

x=~~—(keZ)

⑵212

10型][--]

（3）單調(diào)增區(qū)間是’12,單調(diào)遞減區(qū)間是12,2.

【分析】（1）（2）（3）利用差角的正弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

f(x)=sin2x——cos2x-cos2x=--sin2x——cos2x=#sin(2x-—)

【詳解】（1）依題意,22223

7_2?！?/p>

所以函數(shù)/（力的最小正周期為"

/(x)=>/3sin(2x-^)2x--=fat--JeZx=--------,keZ

(2)由(1)知,由32，得212

所以函數(shù)/（X）的對稱軸方程是'一萬一而€

/(x)=^sin(2x-J)xe[0《]2x--e[--,—]

J

(3)由(1)知,3,當(dāng)2時(shí)，3'33,

八，，57t兀-兀2兀5兀71

--<2x--<-0<x<——-<2x——<—-<x<-

由332,解得12,由233,解得122,

[0—i[o當(dāng)[2―]

所以函數(shù)/（X）在’5上的單調(diào)增區(qū)間是‘工，單調(diào)遞減區(qū)間是丘'5.

71311

A=-C~~Zcos（28+A）=-----

17.（1）3（2）2（3）14

1

si.n—A=—

【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求22,根據(jù)角的范圍即可求解A的

值；

（2）由已知利用正弦定理可得”的值，由余弦定理可得4c2-牝-3=（）,解方程可求。的值;

（3）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos5的值，利用二倍角公式可求sin28,cos2B的值，利用兩

角和的余弦公式即可求解8s（28+A）的值.

csin^^=<zsinC.(H-A]A.

csin-------=ccos—=6zsinC

可得

【詳解】(1)因?yàn)?I2J2

sinCeos—=sinAsinC

所以由正弦定理可得2,

A.,仁.AA

cos—=sinA=2sin—cos—

又c為三角形內(nèi)角，smCHO,所以222,

A(八兀)A

.，、不€|叱|COS—>0

因?yàn)锳e(0n,兀)，2I2人2

,A1An.7i

sm——=——=-A=—

所以22,可得26,所以3.

.兀sin3

A=一,.

(2)因?yàn)?,b=T,7

_fc-sinA_'x2_百

a_bsinB-JlX2

所以由正弦定理sinAsin8可得不

,1.—=1+C2-2X1XCX-

由余弦定理a2-="2+c_2"cosA,可得42,

=3=3

整理可得4c2-今-3=0,解得或一5(舍去)，所以‘一5；

a=—>bcosB=-71-sin2B=-

(3)由(2)可知2,所以8為銳角，則7

sin2B=2sinBcosB=生^cos2B=2cos:B-l=—

所以7,7,

cos(2B+A)=cos2BcosA—sin2Bsin4=—x——x=--

所以727214

出25/6

18.(1)證明見解析(2)3(3)3

【分析】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行;

（2）求出平面尸切的一個(gè)法向量，再由向量法求解；

（3）求出向量BC=（L2，°）,再由向量法求解.

【詳解】（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為x軸，）軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

可得A(0,0,0),5(1,0,0)C(2,2,0)a0,2,0)尸(0,0,2)

由E為棱PC的中點(diǎn)，得￡(11，1),

向量BE=(0,l,l),AB=(1,0,0)

故BE-AB=0,

因?yàn)镻A,底面ABC。，ABu底面"CD,所以

又因?yàn)锳D^A氏A￡）AP=A,ADAPu平面p4￡）,

所以A82平面PAD,即A8為平面PA。的一個(gè)法向量,

又BEO面PAD,所以8E〃平面皿）；

向量8。=(-1,2,0),PB=(l,0,-2)；=(0,1,1)

n-BD=0-x+2y=0

設(shè)“=（x,y,z）為平面尸處的法向量，則"PB=0,即x-2z=0

令y=l,則x=2，z=l,得”=（2，覃）為平面依。的一個(gè)法向量,

所以直線BE與平面所成角的正弦值為3.

(3)向量肥=0,2,0),

42任

則點(diǎn)C到平面尸切的距離??

19.⑴2尤7-1=。

（2+//02\J9r_32]

⑵單調(diào)遞增為（T?,〔3'J,單調(diào)遞減區(qū)間為I'3）,極大值1,極小值力（3）1'27）

【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線的切線斜率，進(jìn)而可求切線方程;

（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求；

（3）結(jié)合（2）的單調(diào)性結(jié)合圖象即可求解.

2

【詳解】（1）f,W=6x-4x）所以尸（1）=2J⑴=1,

故曲線產(chǎn)“力在點(diǎn)。/⑴）處的切線方程yT=2d）,gp2x-y-l=0.

（2）由⑴可知，/3=6/-4x=2x（3x-2）,

22

所以當(dāng)"5或“。時(shí)，?。尽?，當(dāng)℃＜彳時(shí)，?。?,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增為（一8，°）,

,單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)x=o時(shí)函數(shù)取得極大值/（。）=1,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值d27；

（3）令函數(shù)g（x）=〃x）-6=0,即/（x）=b,

所以函數(shù)8（力="同一/?在區(qū)間［71］上有一個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于圖象/（X）與直線V=》在區(qū)間［T［】上有一個(gè)交點(diǎn).

由⑵可知，函數(shù)在H°）,《I上明曾‘在屋.

且f(T)=-3J(l)=l,

畫出圖象y=/（x）"W-i，i］,如下圖所示,

由圖可知，當(dāng)一3’",藥時(shí)，圖象f（x）與直線＞=6在區(qū)間［T』上有一個(gè)交點(diǎn).

故實(shí)數(shù)方的取值范圍為

20.（1）4；⑵2015.

【分析】（1）由離心率得"=2c,8=區(qū),設(shè)直線/的方程為y="（x+2c）,求出B點(diǎn)坐標(biāo)（由韋達(dá)定

理求解），利用垂直可得得斜率左；

（2）由點(diǎn)到直線距離公式求出忸力」叫，然后由三角形面積可得。值，從而得橢圓方程.

_c_l_____

［詳解］（1）e~a~2,a=2c,因此，=,儲一。2=丘,