等比數(shù)列的前n項和課件上學(xué)期高二數(shù)學(xué)選擇性

等比數(shù)列的前n項和公式國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者,問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒,第2個格子里放上2顆麥粒,第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求”.國王覺得這個要求不高,就欣然同意了.假定1000粒麥粒的質(zhì)量為40克,據(jù)查，2016--2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.1223344551667788讓我們一起來分析一下,如果把各格所放的麥粒數(shù)看成一個數(shù)列,我們可以得到一個等比數(shù)列,它的首項是1,公比是2,求第1個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總和,就是求這個等比數(shù)列前64項的和.一般地，如何求一個等比數(shù)列的前n項和呢?設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,則{an}的前n項和是根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，上式可寫成Sn=a1+a2+a3+…+anSn=a1+a1q

+a1q2

+…+a1qn-1①我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘①的兩邊，可得qSn=a1q+a1q2

+a1q3

+…+a1qn-1+a1qn

②Sn=a1+a1q

+a1q2

+…+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2

+…+a1qn-1+a1qn

②①②兩式的右邊由很多相同的項，用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項，可得Sn-

qSn=a1-a1qn

即

(1-q)Sn=a1(1-qn)

當(dāng)q=1時，

Sn=na1.因為an=a1qn-1，所以上面公式還可以寫成

等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,{an}的前n項和是

na1(q=1)

.Sn=有了上述公式，就可以解決本節(jié)課開頭提出的問題了.由a1=1,

q=2,n=64,可得

264-1這個數(shù)很大，超過1.84×1019

.如果一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，那么以上這些麥粒的總質(zhì)量超過7000億噸，約是2016-2017年度世界小麥產(chǎn)量的981倍.因此，國王根本不可能實現(xiàn)他的諾言.

例8已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，前項和為Sn，證明Sn，S2n

-Sn，S3n

–S2n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.證明:當(dāng)q=1時，Sn=na1

，

S2n

-Sn=2na1-na1，

S3n

–S2n=3na1-2na1.所以Sn，S2n

-Sn，S3n

–S2n成等比數(shù)列，公比為1.當(dāng)q≠1時，

因為qn常數(shù)，所以Sn，S2n

-Sn，S3n

–S2n成等比數(shù)列，公比為qn.練習(xí)[2021·全國甲卷]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和

.若S2=4,S4=6,則S6=(

)A.7 B.8 C.9 D.10

解:方法1:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.若q=1,則S4=4a1,S2=2a1,即S4=2S2,與已知矛盾,故q≠1.設(shè)S6=m,則由已知得

方法2:由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知,S2,S4?S2,S6?S4也成等比數(shù)列,即有(6?4)2=4×(S6?6),解得S6=7.例9如圖，正方形ABCD的邊長為5cm,取正方形ABCD各邊的中點E、F、G、H,做第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I、J、K、L,做第3個正方形IJKL,以此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列.解:設(shè)正方形ABCD的面積為a1,后繼各正方形的面積依次為a2,a3,…,an,…,則a1=25.例9如圖，正方形ABCD的邊長為5cm,取正方形ABCD各邊的中點E、F、G、H,做第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I、J、K、L,做第3個正方形IJKL,以此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；解:設(shè)正方形ABCD的面積為a1,后繼各正方形的面積依次為a2,a3,…,an,…,則a1=25.由于第k+1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點，所以

例9如圖，正方形ABCD的邊長為5cm,(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；解:設(shè)正方形ABCD的面積為a1,后繼各正方形的面積依次為a2,a3,…,an,…,則a1=25.

設(shè){an}的前項和為Sn.

例9如圖，正方形ABCD的邊長為5cm,(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？

設(shè){an}的前項和為Sn.(2)當(dāng)n無限增大時，Sn無限趨近于所有正方形的面積和a1+a2+a3+…+an+…,而

所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.例10去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸,其中14萬噸垃圾以填埋方式處理,6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%,同時,通過環(huán)保方式處理的垃圾總量每年遞增1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算,請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式,并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸)？分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列,而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.因此,可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算.解:設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{bn}，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn(單位:萬噸)，則例10去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸,其中14萬噸垃圾以填埋方式處理,6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%,同時,通過環(huán)保方式處理的垃圾總量每年遞增1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算,請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式,并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸)？解:設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{bn}，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn(單位:萬噸)，則an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，Sn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b1+…+bn)=20(1.05+1.052+…+1.05n)-(7.5+9+…+6+1.5n)解:設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{bn}，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn(單位:萬噸)，則an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，Sn=20(1.05+1.052+…+1.05n)-(7.5+9+…+6+1.5n)當(dāng)n=5時，S5≈63.5.所以,從今年起5年內(nèi),通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.例11某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭。設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，….(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精確到1).例11某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%,且在每年年底賣出100頭.設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，….(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精確到1).

分析:(1)可以利用每年存欄數(shù)的增長率為8%和每年年底賣出100頭建立cn+1與cn的關(guān)系；(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為(1)中的遞推公式形式,通過比較系數(shù),得到方程組；(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答.例11某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%,且在每年年底賣出100頭.設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，….(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式；解:(1)由題意,得c1=1200,并且

cn＋1＝1.08cn-100.①cn+1=rcn-rk+k②(2)將cn+1-k=r(cn-k)化為比較①②的系數(shù),可得解這個方程組,得

所以(1)中的遞推公式可以化為

cn+1-1250=1.08(cn-1250)例11(3)求S10=c1+c2+c3+…+c