2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題26 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題26兩角和與差的正弦、余弦和正切公式題型一公式應(yīng)用1．已知，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）；（3）sin3α+cos3α．【答案】（1）；（2）3；（3）．【解析】（1）∵，α∈（0，π），∴兩邊平方，可得1+2sinαcosα，∴解得sinαcosα；（2）∵0，①又α∈（0，π），∈（0，），∴sinα＞0，cosα＜0，tan0，∴sinα﹣cosα，②∴由①②可得sinα，，所以，又，所以，整理得，解得或(舍)，所以.（3）sin3α+cos3α＝（sinα+cosα）（sin2α+cos2α﹣sinαcosα）＝（）×（1）．2．已知，且，.求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由得，,∴，（2）由得，，.3．已知，，，求及的值.【答案】，【解析】，，且，那么，，那么，，.故答案為：，.4．已知，，求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得，解得，而，故，故.（2）.題型二利用和（差）角公式求三角函數(shù)值5．已知，，則（）A． B．7 C． D．-7【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，故選：A.6．若，且，，則__________.【答案】5【解析】解：，，則，又，則，故5，故答案為：5.7．設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則________.【答案】【解析】；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；，；.故答案為：.8．已知均為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）∵，為銳角，∴∴（2）∵，，∴．題型三利用和（差）角公式化簡三角函數(shù)值9．設(shè)、是銳角，那么下列各式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對答案A，若，則，故A錯(cuò)誤；對答案B，若，則，故B錯(cuò)誤；對答案C，問題，因?yàn)?、是銳角，故C正確；對答案D，若，則無意義，故D錯(cuò)誤.故選：C.10．已知，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，結(jié)合，，那么，.故答案為：11．已知，則___________．【答案】【解析】由，得，展開得，，兩式相加整理得：．故答案為：.12．已知銳角、滿足，則的最大值為___________.【答案】【解析】因?yàn)殇J角、滿足，可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故最大值為.故答案為：13．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），∵，，∴sinα，cos（α﹣β），∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β），又∵，∴β．14．已知、為銳角，且，.求證：.【答案】證明見解析.【解析】因?yàn)榍覟殇J角，所以，因?yàn)榍覟殇J角，所以，所以，所以；所以，又，∴.15．已知函數(shù)．（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．【答案】（1）定義域?yàn)?，值域?yàn)?；?）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）.【解析】（1），由,解得∴函數(shù)的定義域?yàn)?；?∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?；?）在定義域內(nèi)，當(dāng),即時(shí)，是單調(diào)遞增的，故函數(shù)時(shí)單調(diào)遞減的；當(dāng),即時(shí)，是單調(diào)遞減的，故函數(shù)時(shí)單調(diào)遞增的；∴單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（3）由（1）得函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（4）∵的最小正周期為,∴函數(shù)的最小正周期為.16．在中