2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題13 冪函數(shù)-2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練（解析版）

專題13冪函數(shù)題型一冪函數(shù)的定義域和值域1．函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】函數(shù)解析式為，則，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.2．討論函數(shù)的定義域、奇偶性，并作出它的簡圖，根據(jù)圖象說明它的單調(diào)性．【答案】定義域R；偶函數(shù)；圖象見解析；在區(qū)間(∞,0]上是減函數(shù)，[0,+∞)上是增函數(shù)．【解析】函數(shù)定義域為R，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，作出函數(shù)圖象可知，在單減，在[0,+∞)上單增.3．已知冪函數(shù).(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)＞f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】(1)先判斷冪函數(shù)的指數(shù)的奇偶,由m與m＋1中必定有一個為偶數(shù),可知m2＋m為偶數(shù),可得函數(shù)開偶次方,即函數(shù)定義域為[0，＋∞),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;(2)由過點(2，)和m∈N*求出m的值,進而得出函數(shù)的定義域和單調(diào)性,列出不等式解出a的范圍即可.試題解析:（1）m為正整數(shù)，則：m2+m＝m（m+1）為偶數(shù)，令m2+m＝2k，則：，據(jù)此可得函數(shù)的定義域為[0，+∞），函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（2）由題意可得：，求解關(guān)于正整數(shù)m的方程組可得：m＝1（m＝﹣2舍去），則：，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脫去f符號可得：2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍是：．4．已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)=2x-k.（1）求實數(shù)m的值；（2）當(dāng)x∈(1，2]時，記?(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B=A，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）m=0；（2）[0，1].【解析】（1）依題意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.當(dāng)m=2時，f(x)=x-2在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去.∴m=0.（2）由（1）可知f(x)=x2，當(dāng)x∈(1，2]時，函數(shù)f(x)和g(x)均單調(diào)遞增.∴集合A=(1，4]，B=(2-k，4-k].∵A∪B=A，∴B?A.∴∴0≤k≤1.∴實數(shù)k的取值范圍是[0，1].5．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.（1）求的值；（2）當(dāng)時，記的值域為集合，若集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）0；（2）【解析】（1）∵為冪函數(shù)，∴，∴或2.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，滿足題意.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不滿足題意，舍去.∴.（2）由（1）知，.∵在上單調(diào)遞增，∴.∵，，∴，∴解得.故實數(shù)的取值范圍為.題型二冪函數(shù)的圖像問題1．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，，所以函數(shù)的定義域為，因為，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在第一象限為單調(diào)遞減函數(shù)，故選：A．2．下列結(jié)論正確的是（）A．冪函數(shù)圖象一定過原點B．當(dāng)時，冪函數(shù)是減函數(shù)C．當(dāng)時，冪函數(shù)是增函數(shù)D．函數(shù)既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的圖象不過原點，故A不正確；函數(shù)在及上是減函數(shù)，故B不正確；函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故C不正確；根據(jù)冪函數(shù)的定義，可得函數(shù)是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)，所以D正確.故選：D.3．若冪函數(shù)（且互素）的圖象如下圖所示，則下列說法中正確的是（）A．0< B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且 D．m、n是偶數(shù)，且【答案】ABC【解析】圖象在右側(cè)上升但上升幅度比小，，A正確；圖象關(guān)于軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù)，是偶數(shù)，是奇數(shù)，B正確；則C也正確，D錯誤．故選：ABC．4．函數(shù)恒過定點______．【答案】【解析】當(dāng)，即時，，函數(shù)恒過定點.故答案為：.5．在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)與的圖象，并利用圖象求不等式的解集．【答案】作圖見解析；．【解析】由題意，函數(shù)與，畫出圖象，如圖所示：根據(jù)，解得．利用圖象知不等式的解集．6．已知冪函數(shù)，經(jīng)過點(2，)，試確定的值，并求滿足條件的實數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】∵的圖象過點，∴，∴，又，∴.即，其定義域為，且在定義域上函數(shù)為增函數(shù)，∴由得，解得.題型三冪函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用1．冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（4，2），若0<a<b<1，則下列各式正確的是A．f（a）<f（b）<f（） B．<f（b）<f（a）C．f（a）<f（b） D．【答案】A【解析】設(shè)冪函數(shù)y=f（x）=xα，∵該冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，2），∴4α=2，解得，∴f（x）=，∵0<a<b<1，∴，∴f（a）<f（b）<f（）．故選A．2．冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則____．【答案】3【解析】∵冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，∴，且為偶數(shù)，，且.解得，，1，2，且,只有時滿足為偶數(shù).∴.故答案為：3.3．若冪函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的值；【答案】【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，則，得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，.又函數(shù)在上為減函數(shù)，所以.4．已知()，，若定義求函數(shù)的最大值及單調(diào)區(qū)間.【答案】1，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，.【解析】由題意，得根據(jù)題中圖象可知函數(shù)的最大值為1，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，.5．已知冪函數(shù)滿足：（1）在區(qū)間上為增函數(shù)（2）對任意的，都有，求同時滿足（1）（2）的冪函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時，的值域．【答案】；值域是．【解析】因為函數(shù)在上遞增，所以，解得，因為，，所以，，或．又因為，所以是偶函數(shù)，所以為偶數(shù)．當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，不滿足題意，所以,又因為在上遞增．所以，，故函數(shù)的值域是．題型四冪函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用1．設(shè)，則使函數(shù)的定義域為且函數(shù)為奇函數(shù)的所有的值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】時，函數(shù)解析式為滿足題意；時，函數(shù)解析式為，偶函數(shù)，不符合題意；時，函數(shù)解析式為滿足題意；時，函數(shù)解析式為，定義域為，不符合題意；時，函數(shù)解析式為，定義域為，不符合題意.故選：C.2．已知冪函數(shù)的圖象過，則下列結(jié)論正確的是（）A．的定義域為 B．在其定義域內(nèi)為減函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，因為冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點，所以，解得，所以，所以y＝f（x）的定義域為（0，+∞），且在其定義域上是減函數(shù)，故A錯誤；B正確，因為函數(shù)定義域為（0，+∞），不關(guān)于原點對稱，所以不具有奇偶性，故選項C，D錯誤，故選：B．3．已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)m的值；（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵函數(shù)為冪函數(shù)，，解得或5，當(dāng)時，，為奇函數(shù)，當(dāng)時，，為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，；（2）由（1）可知，，則，，令，則，，則，，函數(shù)為開口向下，對稱軸為的拋物線，當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)取得最大值為1，的值域為，故函數(shù)的值域為．4．已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù).（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式.（2）對于（1）中求得的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請求出q；若不存在，請說明理由.【答案】（1）當(dāng)或時，；當(dāng)時，；（2）存在，.【解析】（1）由