2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）重難點(diǎn)08 全等三角形8種模型（一線(xiàn)三等角、手拉手模型、倍長(zhǎng)中線(xiàn)、截長(zhǎng)補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、平行線(xiàn)中點(diǎn)模型與雨傘模型）（原卷版）

重難點(diǎn)突破08全等三角形8種模型（一線(xiàn)三等角、手拉手模型、倍長(zhǎng)中線(xiàn)、截長(zhǎng)補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、平行線(xiàn)中點(diǎn)模型與雨傘模型）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01一線(xiàn)三等角模型（含一線(xiàn)三垂直模型）題型02手拉手模型題型03倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型題型04平行線(xiàn)中點(diǎn)模型與雨傘模型題型05截長(zhǎng)補(bǔ)短模型題型06婆羅摩笈多模型題型07半角模型題型01一線(xiàn)三等角模型（含一線(xiàn)三垂直模型）【一線(xiàn)三垂直模型介紹】只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過(guò)直角點(diǎn)作一條直線(xiàn)，然后過(guò)45°頂點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)造三垂直，所得兩個(gè)直角三角形全等.根據(jù)全等三角形倒邊，得到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.已知（一線(xiàn)三垂直）圖示結(jié)論（性質(zhì)）如圖AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE?ABD≌?BCE，DE=AD+EC如圖AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE?ABD≌?BCE，DE=AD-EC已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC?ADB≌?DEC延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)F，已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE?ABC≌?DBE【一線(xiàn)三等角模型介紹】三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線(xiàn)，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.一線(xiàn)三等角類(lèi)型：（同側(cè)）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（異側(cè)）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小西在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其作了進(jìn)一步的探究：在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)O處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A，小球A可以自由擺動(dòng)，如圖，OA表示小球靜止時(shí)的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從OA擺到OB位置，此時(shí)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，當(dāng)小球擺到OC位置時(shí)，OB與OC恰好垂直（圖中的A、B、O、C在同一平面上），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，測(cè)得BD=8

2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線(xiàn)DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC應(yīng)用：(1)如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線(xiàn)ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作AD⊥ED于點(diǎn)(2)如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，∠DBA=∠DAB，AB(3)如圖4，在?ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB∠DEF=∠B，3．（2022·北京·?？家荒＃?duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P，給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形N，圖形N稱(chēng)為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．例如，圖1中點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．(1)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的“垂直圖形”為點(diǎn)B．①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)__________；②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)__________；(2)E(-3,3)，F(xiàn)(-2,3)，G(a,0)，線(xiàn)段EF關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為E'F'，點(diǎn)①求點(diǎn)E'的坐標(biāo)（用含a②若⊙O的半徑為2，E'F4．（2021·浙江嘉興·?？家荒＃╅喿x材料：我們知道：一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線(xiàn)作垂線(xiàn)，即可得三垂直模型”如圖①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分別過(guò)A、B向經(jīng)過(guò)點(diǎn)C直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC≌△CEB．(1)探究問(wèn)題：如果AC≠BC，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；△ADC∽△CEB．請(qǐng)你說(shuō)明理由．(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝12x與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)M（2，1），且兩直線(xiàn)夾角為α，且tanα＝32，請(qǐng)你求出直線(xiàn)(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)E為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將線(xiàn)段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD外部時(shí)，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．5．（2022下·安徽淮北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用．【學(xué)習(xí)】如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于點(diǎn)C，DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又(1)【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)B，P，D都在直線(xiàn)l上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x(2)【拓展】在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，連接AD，DE，∠B=∠ADE=∠C，AB=5(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,4，點(diǎn)B為平面內(nèi)任一點(diǎn)．△AOB是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，試直接寫(xiě)出點(diǎn)B6．（2021上·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【模型引入】我們?cè)谌葘W(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線(xiàn)三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問(wèn)題．【模型探究】如圖，正方形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交直線(xiàn)CB于點(diǎn)F．（1）如圖1，若點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上，寫(xiě)出EA與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2，若點(diǎn)F在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BC，BE和BF的數(shù)量關(guān)系．【模型應(yīng)用】（3）如圖3，正方形ABCD中，AB＝4，E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交BD于F，過(guò)F作FH⊥AE于F，過(guò)H作HG⊥BD于G．則下列結(jié)論：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周長(zhǎng)為8．正確的結(jié)論有個(gè)．（4）如圖4，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交線(xiàn)段BC于點(diǎn)F，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)M，連接AF交線(xiàn)段BD于點(diǎn)H．給出下列四個(gè)結(jié)論，①AE＝EF；②2DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+2BF；正確的結(jié)論有個(gè)．【模型變式】（5）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點(diǎn)E是線(xiàn)段OB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，M是線(xiàn)段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)O、B），作MN⊥DM，垂足為M，交∠CBE的平分線(xiàn)與點(diǎn)N，求證：MD＝MN（6）如圖6，在上一問(wèn)的條件下，連接DN交BC于點(diǎn)F，連接FM，則∠FMN和∠NMB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A是射線(xiàn)ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是射線(xiàn)OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足OB＞OA．點(diǎn)C在線(xiàn)段OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AC＝OB．如圖7，在線(xiàn)段BO上截取BE，使BE＝OA，連接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，當(dāng)點(diǎn)B在射線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，β的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（8）如圖8，正方形ABCD中，AD＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EDM的面積是．7．（2022上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)校考期中）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線(xiàn)三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線(xiàn)AF交于點(diǎn)8．（2020上·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，垂足分別為點(diǎn)D、E．則線(xiàn)段DE

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，并且有∠BDA=∠（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE．若∠9．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Ba(1)若a、b滿(mǎn)足等式a+32+(2)如圖1，在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)出發(fā)，沿y軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC是AB(3)如圖2，C、A分別是x軸負(fù)半軸和y軸上正半軸上一點(diǎn)，且△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，若E是線(xiàn)段OC上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)D，連接AE，當(dāng)AE=CE，∠OAE=45°，①求證：BE平分∠ABC；②設(shè)BD的長(zhǎng)為a，10．（2022上·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A

(1)如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線(xiàn)段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，點(diǎn)A在線(xiàn)段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線(xiàn)段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F題型02手拉手模型【模型介紹】?jī)蓚€(gè)頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點(diǎn)，分別連接對(duì)應(yīng)的兩底角頂點(diǎn)，從而可以得到一個(gè)經(jīng)典的全等模型.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱(chēng)為“手拉手模型”.文字說(shuō)明：1）點(diǎn)A為共用頂角頂點(diǎn)，看作頭2）線(xiàn)段AB、AC為等腰?ABC的兩腰，看作兩條手臂線(xiàn)段AM、AN為等腰?AMN的兩腰，看作兩條手臂3）點(diǎn)B與點(diǎn)M看作左手，線(xiàn)段BM看作左手拉左手點(diǎn)C與點(diǎn)N看作右手，線(xiàn)段CN看作右手拉右手解題步驟：①找共用頂點(diǎn)，確定“四只手”；②連接對(duì)應(yīng)端點(diǎn)；③SAS證明全等.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）如圖，直線(xiàn)AB的同一側(cè)作?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)共線(xiàn)），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)E1）?ABM≌?ACN2）BM=CN3）∠MEN=∠2=60°（拉手線(xiàn)的夾角等于頂角）4）?ANF≌?AMD5）?AFC≌?ADB6）連接DF，DF∥BN7）連接AE，AE平分∠BEN8）存在3組四點(diǎn)共圓9）EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF如圖，?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)不共線(xiàn)），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)O1）?ABM≌?ACN2）BM=CN3）∠MON=60°（拉手線(xiàn)的夾角等于頂角）4）連接AO，AO平分∠BON5）存在2組四點(diǎn)共圓6）ON=OM+OA，OB=OC+OA如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB和GD，兩者交于點(diǎn)O1）?AGD≌?AEB2）GD=EB3）GD⊥EB4）AO平分∠EOD11．（2023·安徽黃山·?？家荒＃┮阎鰽BC和△ADE均為等腰直角三角形，△ADE繞點(diǎn)

(1)如圖1，連接BD，CE，則BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；直線(xiàn)BD與CE所夾角的度數(shù)為_(kāi)______．(2)當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，取BC，DE的中點(diǎn)M，N，連接MN，BD．試問(wèn)：MNBD的值是否隨(3)M，N分別為BC，DE的中點(diǎn)，連接MN．若AB=310，AD=6，當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B，D，12．（2023下·江西撫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接PC，將線(xiàn)段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段PD，連接

(1)當(dāng)α=60°時(shí)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的邊BC上時(shí)，線(xiàn)段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段PD，則AP與BD的數(shù)量關(guān)系是_______________②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)，線(xiàn)段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段PD，①中AP與BD(2)當(dāng)α=90°①如圖3，線(xiàn)段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段PD．試判斷AP與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若點(diǎn)A，C，P在一條直線(xiàn)上，且AC=3PC，線(xiàn)段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段DP，求13．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“手拉手圖形”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形．

(1)操作判斷

已知點(diǎn)C為△ABC和△CDE的公共頂點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<a<360°，連接BD，AE，如圖①線(xiàn)段BD與線(xiàn)段AE的數(shù)量關(guān)系是________；②直線(xiàn)BD與直線(xiàn)AE相交所夾銳角的度數(shù)是________；(2)遷移探究

如圖2，若∠ABC=∠EDC=90°，(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=214．（2023·河南鄭州·鄭州市第八中學(xué)?？级＃┯蓛蓚€(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置變化的過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱(chēng)為“手拉手模型”．

(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD、CE，兩線(xiàn)交于點(diǎn)P，BD和CE的數(shù)量關(guān)系是(2)【類(lèi)比探究】如圖2所示，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD與正方形PBEF，連接DE分別交線(xiàn)段BC、PC于點(diǎn)M、N．①求∠DMC②連接AC交DE于點(diǎn)H，直接寫(xiě)出DHBC(3)【拓展延伸】如圖3所示，已知點(diǎn)C為線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，AE=6，△ABC和△CDE為AE同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，連接BE交CD于N，連接AD交BC于M，連接MN15．（2022·青海·統(tǒng)考中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：

圖1(2)解決問(wèn)題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段

圖216．（2019·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）背景材料：在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型，它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)資料查詢(xún)，他們知道這種模型稱(chēng)為手拉手模型．例如：如圖1，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作是小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類(lèi)似大手拉著小手，這個(gè)就是手拉手模型，在這個(gè)模型中易得到△ABD≌△ACE．學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究：（1）如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，請(qǐng)作出一個(gè)手拉手圖形（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并連接BE，CD，證明BE＝CD；（2）小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，將三角形ADE旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖3），連接CE和BD，證明△ABD∽△ACE．學(xué)以致用：（3）如圖4，四邊形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝34，CD＝5，AD＝12．請(qǐng)?jiān)趫D中構(gòu)造小剛發(fā)現(xiàn)的手拉手模型求BD17．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AB'，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β至AC'(0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使∠BAC+∠B'AC'=180°，我們稱(chēng)△AB①△ABC與△②BC=2③若AB=AC，連接BB'和④若AB=AC，AB=4，BC18．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置變化的過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱(chēng)為“手拉手模型”．這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)如圖1、兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，兩線(xiàn)交于點(diǎn)P，和△ABD全等的三角形是______，BD和CE的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD與正方形PBEF，連接DE分別交線(xiàn)段BC，PC于點(diǎn)M，N．①求∠DMC的度數(shù)；②連接AC交DE于點(diǎn)H，直接寫(xiě)出DHBC(3)如圖3，已知點(diǎn)C為線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，AE＝8cm，△ABC和△CDE為AE同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，連接BE交CD于N，連接AD交BC于M，連接MN，線(xiàn)段MN的最大值是______．19．（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）[問(wèn)題提出]（1）如圖①,△ABC、△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上．將△ADE[學(xué)以致用]（2）在1的條件下，當(dāng)點(diǎn)D、E、C在同一條直線(xiàn)上時(shí)，[拓展延伸]（3）在1的條件下，連結(jié)CD．若BC=6,AD=4,直接寫(xiě)出△20．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類(lèi)比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出BDCE(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD①求BDCE②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．21．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按背景圖位置擺放（點(diǎn)E，A，D在同一條直線(xiàn)上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請(qǐng)給出證明．如若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖2）試問(wèn)當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG．小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，22．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對(duì)邊，a>b．記△ABC的面積為(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S①若S1=9，S2②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索S2.題型03倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型【模型介紹】當(dāng)遇見(jiàn)中線(xiàn)或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)，使得延長(zhǎng)后的線(xiàn)段是原中線(xiàn)的二倍，從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形(SAS)，并將已知條件中的線(xiàn)段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知點(diǎn)D為?ABC中BC邊中點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段AD到點(diǎn)E使AD=DE1）連接EC,則?ABD≌?ECD，AB∥CE2）連接BE,則?ADC≌?EDB，AC∥BE已知點(diǎn)D為?ABC中BC邊中點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段DF到點(diǎn)E使DF=DE,連接EC?BDF≌?CDE23．（2019·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AC于F，BE=AC，且BF=9，CF=6，那么

24．（2020上·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：如圖，AD為△ABC中線(xiàn)，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過(guò)討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線(xiàn)后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖②，添加輔助線(xiàn)后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問(wèn)題：（1）①思路一的輔助線(xiàn)的作法是：；②思路二的輔助線(xiàn)的作法是：．（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫(xiě)出輔助線(xiàn)的作法，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形，不需要寫(xiě)出證明過(guò)程）．25．（2020上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來(lái)加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE【理解與應(yīng)用】（2）如圖2，EP是△DEF的中線(xiàn)，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x（3）如圖3，AD是△ABC的中線(xiàn)，E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF26．（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50°的角，角的兩邊分別交27．（2016·貴州貴陽(yáng)·中考真題）閱讀

（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線(xiàn)AD的取值范圍是________；

（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；

（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，探索線(xiàn)段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．28．（2020上·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，已知ΔABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)．求證：AB+智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD∵AD是BC邊上的中線(xiàn)∴BD在ΔBDE和ΔCDA中BD∴ΔBDE≌ΔCDA（依據(jù)一）在ΔABE中，AB+∴AB+任務(wù)一：上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______________________________________________；依據(jù)2：______________________________________________．歸納總結(jié)：上述方法是通過(guò)延長(zhǎng)中線(xiàn)AD，使DE=AD，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將AB，AC，AD轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問(wèn)題，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”．“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法任務(wù)二：如圖3，AB=3，AC=4，則AD的取值范圍是

任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以AB和AC為邊作等腰直角三角形，在RtΔABE中，∠BAE=90°，AB=AE；RtΔACF中，∠CAF=90°，AC=

題型04平行線(xiàn)中點(diǎn)模型與雨傘模型【平行線(xiàn)中點(diǎn)模型介紹】平行線(xiàn)之間夾中點(diǎn)，通過(guò)延長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段與平行線(xiàn)相交，從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形，并將已知條件中的線(xiàn)段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移。已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線(xiàn)AB、CD上，點(diǎn)O為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)PO交CD于點(diǎn)Q?POE≌?QOF如圖AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足為點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)C?ABD≌?ACD，AB=AC，BD=CD29．（2021上·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線(xiàn)段BE與線(xiàn)段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說(shuō)明理由．30．（2021上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上．求證：BE＝12CD31．（2018下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)A是直線(xiàn)MN上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線(xiàn)PQ上一點(diǎn)，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分線(xiàn)交于點(diǎn)（1）求證：BC⊥（2）過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)交MN于點(diǎn)D（不與點(diǎn)A重合），交PQ于點(diǎn)E,①若點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，如圖2，求證：AD+②若點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)，則線(xiàn)段AD、BE、AB有何數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不說(shuō)理由．

32．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD題型05截長(zhǎng)補(bǔ)短模型模型的概述：該模型適用于求證線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系，該類(lèi)題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線(xiàn)等關(guān)鍵詞，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明。其中截長(zhǎng)指在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于已知線(xiàn)段，補(bǔ)短指將短線(xiàn)段延長(zhǎng)，使短線(xiàn)段加上延長(zhǎng)線(xiàn)段長(zhǎng)度等于長(zhǎng)線(xiàn)段。圖解：已知線(xiàn)段AB、CD、EF，簡(jiǎn)述利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明AB=CD+EF的方法截長(zhǎng)法：在線(xiàn)段AB上，截取AG=CD，判斷線(xiàn)段GB和線(xiàn)段EF長(zhǎng)度是否相等補(bǔ)短法：延長(zhǎng)線(xiàn)段CD至點(diǎn)H，使DH=EF，判斷線(xiàn)段AB和線(xiàn)段GH長(zhǎng)度是否相等33．（2020上·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線(xiàn)的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線(xiàn)段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線(xiàn)段與另一短邊相等，從而解決問(wèn)題．(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝120°，探索線(xiàn)段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線(xiàn)段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫(xiě)出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是______；【拓展延伸】(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝90°，探索線(xiàn)段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【知識(shí)應(yīng)用】(3)如圖3，兩塊斜邊長(zhǎng)都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．34．（2022上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠

(1)求證：CD=(2)若∠B=75°，求35．（2022上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，

(1)求∠AOB(2)求證：OD=36．（2018上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期末）例：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線(xiàn)的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線(xiàn)段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC=120°，探索線(xiàn)段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問(wèn)題．根據(jù)上述解題思路，三條線(xiàn)段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________；（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC=90°，探索三條線(xiàn)段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．37．（2020·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）思維探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的兩邊分別交射線(xiàn)CB，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠EAF＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段BC，CD上時(shí)，△CEF的周長(zhǎng)是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CF＝2時(shí)，求△CEF的周長(zhǎng)；拓展提升：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，連接AD，在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E，使∠EDA＝30°，連接AE，當(dāng)BD＝2，∠EAD＝45°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CE的長(zhǎng)度．38．（2021·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）如圖1，在四邊形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)E，△ADE為等邊三角形．（1）若點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面積；（2）如圖2，若BC＝CD，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，求證：AB＝2AF；（3）如圖3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，點(diǎn)P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD＝90°，連接BP，取BP的中點(diǎn)Q，連接CQ．當(dāng)AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2時(shí)，求CQ＋1010BQ題型06婆羅摩笈多模型婆羅摩笈多模型條件：1）公共頂點(diǎn)：頂點(diǎn)C2）等線(xiàn)段：BC=DCCE=CG3）頂角相等：∠DCB=∠GCE=90°已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線(xiàn)，若點(diǎn)I為中點(diǎn)CH⊥BE，BE=2IC，S?DCG=S?BCE四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線(xiàn)，若CH⊥BE點(diǎn)I為中點(diǎn)，BE=2IC，S?DCG=S?BCE39．（2021上·重慶開(kāi)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線(xiàn)；④∠EAM=∠ABC，其中正確結(jié)論是(

)A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④40．（2023上·山西太原·九年級(jí)成成中學(xué)?？茧A段練習(xí)）綜合與實(shí)踐以△ABC的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，延長(zhǎng)MA交EG

(1)如圖①，若AB=AC，證明：(2)如圖②，∠BAC=90°，（(3)如圖③，∠BAC≠90°，AB=5，AC=1041．（2017·江西·中考真題）我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點(diǎn)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱(chēng)△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線(xiàn)AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，則AD長(zhǎng)為．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．42．（2019上·湖北十堰·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，連接EG，MA的延長(zhǎng)線(xiàn)交EG于點(diǎn)N，(1)如圖，若∠BAC＝90°，求證：AM＝12EG，AM⊥EG(2)將正方形ACFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)將正方形ACFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至B，C，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出AN的長(zhǎng)．43．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC外分別以AB，AC為邊作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，AM是△ABC中BC邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)MA交EG于點(diǎn)H．求證：（1）AM=12（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．題型07半角模型半角模型的概述：當(dāng)一個(gè)角包含著該角的半角，如90°角包含著45°角，120°角包含著60°角，270°角包含著135°角，即出現(xiàn)12倍角關(guān)系，且這兩個(gè)角共頂點(diǎn)，共頂點(diǎn)的兩條邊相等，則該模型為半角模型。解題方法為：1）過(guò)公共點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)，2已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）[90°半角模型]已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)O、P①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C?CEF=2倍正方形邊長(zhǎng)④S?ABE+S?ADF=S?AEF⑤AB=AG=AD（過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為點(diǎn)G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則點(diǎn)F為CD三等分點(diǎn)⑧?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨ABEP四點(diǎn)共圓、AOFD四點(diǎn)共圓、OECFP五點(diǎn)共圓⑩?APE、?AOF為等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S?AEF=2S?APO(13)AB2=BP×OD(14)CE?CF=2BE?DF(15)?EPC為等腰三角形(16)PX=BX+DP(過(guò)點(diǎn)E作EX⊥BD，垂足為點(diǎn)X)[120°半角模型]已知?ABC為等邊三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°MN=NC-BM[135°半角模型]在Rt?ABC中，點(diǎn)E、點(diǎn)D分別為AB、AC邊上動(dòng)點(diǎn)，四邊形AEFD是正方形，且∠BFC=135°CB=CD+BE44．（2022上·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且∠MAN＝45°，我們把這種模型稱(chēng)為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B(1)試判斷DM，(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠MAN45．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）【模型建立】(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，探究圖中線(xiàn)段EF，BE，小明的探究思路如下：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG，先證明△ADF①EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；②小亮發(fā)現(xiàn)這里△ABG可以由△ADF經(jīng)過(guò)一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫(xiě)出這種圖形變換的過(guò)程【類(lèi)比探究】(2)如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC與∠D互補(bǔ)，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1【模型應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，AD=6，AB=4，∠CAE46．（2020下·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知如圖1，四邊形ABCD是正方形，E,F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，我們把這種模型稱(chēng)為“半角模型”，在解決

（1）在圖l中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”，小亮將ΔADF繞點(diǎn)（2）如圖2，當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究EF與DF、BE（3）如圖3，如果四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°47．（2021上·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊（