2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）重難點(diǎn)09 相似三角形8種模型（A字、8字、射影定理、一線三等角、線束模型、三角形內(nèi)接矩形、三平行模型、旋轉(zhuǎn)相似模型）（原卷版）

重難點(diǎn)突破09相似三角形8種模型（A字、8字、射影定理、一線三等角、線束模型、三角形內(nèi)接矩形、三平行模型、手拉手模型）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01A字模型題型028字模型題型03射影定理題型04一線三等角模型題型05線束模型題型06三角形內(nèi)接矩形模型題型07三平行模型題型08手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2）兩個(gè)三角形相似的判定定理：①三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；②兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．④斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.題型01A字模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若DE∥BC①?ADE~?ABC②AD若∠1=∠2或∠3=∠4或AD①?ADE~?ABC②AC2=AB?AD若∠1=∠2①?ADE~?ABC②AC2=AB?AD[補(bǔ)充]該模型也被稱為子母模型，即子母模型可以看作一組公共邊的反A模型[雙反A字模型]若∠1=∠2=∠3①?AEB~?DEA~?DAC②AB?AC=BE?CD③(AEAD)2=1．（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，連接CD2．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在AB邊上，把△BCE沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF．若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2，則DF＝，BE＝3．（2020·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)C,D．AC與BD相交于點(diǎn)E，CD2=CE·CA,分別延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)P，PB=BO，CD=22．則BO的長(zhǎng)是．4．（2020·上海浦東新·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．(1)求線段DE的長(zhǎng)；(2)取線段AD的中點(diǎn)M，連接BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求EFDF5．（2021上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的29（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．6．（2020上·河南鄭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求AN:7．（2022下·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足∠1=∠2，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=22，AB=4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點(diǎn)D是△ABC8．（2021上·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形．（1）如果△DEF與△ABC互為母子三角形，則DEABA．2

B．12

C．2或（2）已知：如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，求證：△ABD與△（3）如圖2，△ABC中，AD是中線，過射線CA上點(diǎn)E作EG//BC，交射線DA于點(diǎn)G，連結(jié)BE，射線BE與射線DA交于點(diǎn)F，若△AGE與9．（2020上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，AD是直角三角形ABC斜邊上的中線，AE⊥AD，AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△BAE∽△ACE；（2）AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，且BE?CE＝9，求EF?DE的值．題型028字模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若AB∥CD①?AOB~?COD②AO若∠1=∠2或∠3=∠4或AO①?AOB~?COD10．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，連接AE，若AE的延長(zhǎng)線和BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：BC=（2）連接AC和BE相交于點(diǎn)為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD11．（2020·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則BEEGA．12 B．13 C．2312．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)O是△ABC邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，且ABAM＝m，ACAN＝（1）若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之間的關(guān)系（用含k13．（2021·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=-12x2+2x+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x-2與（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)是________；（2）如圖1，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，PF的延長(zhǎng)線交OB于點(diǎn)Q，PM⊥BC于點(diǎn)M，QN⊥BC于點(diǎn)N，PMQN=11（3）如圖2，點(diǎn)S為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)S在射線DE上方，動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒42個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)SE＝SG，且tan∠SEG14．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-1,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,-3．點(diǎn)P為拋物線y=x2（1）求b、c的值；（2）設(shè)點(diǎn)F在拋物線y=x2+bx（3）在第一象限，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線BC的距離是點(diǎn)D到直線BC的距離的5倍？若存在，求出點(diǎn)P所有的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2021上·安徽合肥·九年級(jí)合肥壽春中學(xué)校考期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，分別過點(diǎn)A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求證：AN＝CM；（2）若點(diǎn)D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長(zhǎng)；（3）如圖2，若點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EM，設(shè)sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．

16．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答．問題情境：在□ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．將△PDC沿直線PC折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)E作EF∥AD，與PC交于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形(1)數(shù)學(xué)思考：請(qǐng)你證明“興趣小組”提出的問題；(2)拓展探究：“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關(guān)系，并說明理由．請(qǐng)你幫助他們解決此問題．(3)問題解決：“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上時(shí)，AP=3，PD=4，DC=10．則AE17．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，∠DAE=αα≠45°.將△ADE沿AE翻折得到(1)當(dāng)0°<α<45°時(shí)，求∠DBG的度數(shù)(用含α(2)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，試探究DGDE的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值.(3)若BF=FG，求18．（2021·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），過點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到AN，過點(diǎn)C作CF（1）當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)，①如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為②如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，寫出線段AE，CE和CF（2）當(dāng)tanα=43，AB＝19．（2023下·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，記△COD的面積為S1,△

(1)問題解決：如圖①，若AB∥CD(2)探索推廣：如圖②，若AB與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC，過點(diǎn)E作EF∥CD交OB于點(diǎn)F，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)G，且OG=2題型03射影定理已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若∠ABC=∠ADB=90°①?ABC~?ADB~?BDC②AB2=AC?AD,BD2=AD?CDBC2=AC?CD（口訣：公共邊的平方=共線邊的乘積）③AB?BC=BD?AC（面積法）20．（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)21．（2021上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝95,BD=422．（2022上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且ADAC＝AC（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．23．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且FHHE=4（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．題型04一線三等角模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若∠B=∠D=∠ACE=90°①?ABC~?CDE②ABCD=BCDE=ACCE或BC?CD=AB?DE(可看作底③當(dāng)點(diǎn)C為BD中點(diǎn)時(shí)，?ABC~?CDE~?ACE若∠B=∠D=∠ACE=α①?ABC~?CDE②AB③當(dāng)點(diǎn)C為BD中點(diǎn)時(shí)，?ABC~?CDE~?ACE24．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD=3，將△ADE沿直線DE翻折得到△FDE，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且BF=425．（2020·四川樂山·中考真題）如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，AB=3，AD=2，26．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC（1）證明：△BDA（2）若∠B=45°,BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、27．（2021上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A（2）探究若將90°角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC28．（2021上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），∠A=∠B【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．若PD=4，【拓展】如圖③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作∠CPE=∠A，PE與邊29．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交（1）求證：△ABE（2）若EC=2，求△（3）請(qǐng)直接寫出EC為何值時(shí)，△CEF30．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若△PDE為正三角形時(shí)，求BD+CE的值；（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，請(qǐng)用BP表示BD，并求出BD的最大值．31．（2021·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？级＃┰诰匦蜛BCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F（1）如圖1，若tan∠EFC=（2）如圖2，在線段BF上取一點(diǎn)G，使AG平分∠BAF，延長(zhǎng)AG，EF交于點(diǎn)H，若FG=BG32．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【感知】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：AEEB=DE【探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：【拓展】（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=DEEC，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：33．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：△BCE【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若HDHF=45，【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若ABBC=k，HDHF=34．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將ΔBCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．（1）如圖1，若BC=2BA，求（2）如圖2，當(dāng)AB=5，且AF?FD（3）如圖3，延長(zhǎng)EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AN35．（2020·山東濟(jì)南·校考二模）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象與邊AC交于點(diǎn)E(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為__________；(2)連接EF，求∠FEC的正切值；(3)如圖2，將△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在邊OB上的點(diǎn)G處，求BG的長(zhǎng)度．題型05線束模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若DE∥BC①DFEF=②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右圖）若AB∥CD①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右圖）36．（2022上·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校净A(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，已知D、E為△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足BD=2DE=4CE，一條平行于AB的直線分別交AD、AE和AC于點(diǎn)L【拓展提高】(3)如圖3，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=3，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=2DE，連接CG，37．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）(1)如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB,AC,BC上的點(diǎn)，DE∥BC(2)如圖2，在（1）的條件下，連接CD,CG．若CG⊥(3)如圖3，在?ABCD中，∠ADC=45°,AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)38．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，已知D是BC邊的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，過G點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)E、(1)如圖1，當(dāng)EF∥BC時(shí)，求證：(2)如圖2，當(dāng)EF和BC不平行，且點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上時(shí)，（(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．題型06三角形內(nèi)接矩形模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若四邊形DEFG為矩形，AN⊥BC①?ABC~?ADG②AD③若四邊形DEFG為正方形即DGBC=AMAN若假設(shè)則xBC=AN-xAN若已知BC、39．（2021上·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=3,AC=4，正方形DEFG的頂點(diǎn)D,G分別在40．（2015·廣西崇左·中考真題）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個(gè)矩形的最大面積是多少？41．（2020·廣東·華南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖,在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD(1)求證：△AEF(2)設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AD勻速向上運(yùn)動(dòng)(當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng))，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t42．（2021上·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一塊直角三角形木板的面積為1.5m2，一條直角邊AB為43．（2020上·甘肅張掖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點(diǎn)D，交EH于點(diǎn)M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

44．（2019上·寧夏銀川·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D在銳角ΔABC中，BC=6,SΔABC=12，兩動(dòng)點(diǎn)M,N分別在AB,AC上滑動(dòng)，且MN//BC，以MN為邊長(zhǎng)向下作正方形（1）求出ΔABC的邊BC上的高（2）如圖1，當(dāng)正方形MPQN的邊PQ恰好落在邊BC上時(shí)，求x的值（3）如圖2，當(dāng)PQ落在ΔABC外部時(shí)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式

45．（2018·湖南永州·中考真題）如圖1．在△ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點(diǎn)G、H分別在BC、AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點(diǎn)I．若CI＝4，HI＝3，AD=92．矩形DFGI（1）求正方形DFGI的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)AB至P．使得AC＝CP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當(dāng)點(diǎn)G剛好落在CP上時(shí)，試判斷移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？（3）如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分別與線段DG、DB相交于點(diǎn)M、N，求△MNG′的周長(zhǎng)．題型07三平行模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若AB∥EF∥CD①1②146．（2022下·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，F(xiàn)為△BED的邊BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BA∥EF交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，過點(diǎn)D作DC∥EF交(1)求證：1AB(2)請(qǐng)找出SΔABD，SΔ47．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，作OM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，若

A．75 B．125 C．3548．（2021·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD=3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CB49．（2021上·安徽安慶·九年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谥校﹫D，AB∥GH∥CD，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝50．（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在相對(duì)的兩棟樓CD、EF中間有一堵院墻AB，甲、乙兩個(gè)人分別在這兩棟樓內(nèi)觀察這堵墻，根據(jù)實(shí)際情況畫出平面圖形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲從點(diǎn)C可以看到點(diǎn)G處，乙從點(diǎn)E可以看到點(diǎn)D處．點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)．墻AB高

51．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（1）【問題背景】如圖1，AB∥EF∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為EFAB（2）【類比探究】如圖2，AE⊥AB，BD⊥AB，GH⊥AB，DE與BC相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接AC，BD交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接EC，F(xiàn)D交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作GH∥AB，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)52．（2022上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，ABCD(1)求證：AB∥(2)求AB:題型08手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若?ADE以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定角度，且?ADE~?ABC?ABD~?ACE【擴(kuò)展一】如圖，直線AB的同一側(cè)作?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)共線），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)E，則存在多組相似三角形.【擴(kuò)展二】如圖，?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)不共線），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)O，則存在多組相似三角形.53．（2019·河南·統(tǒng)考中考真題）在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，BDCP的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是（2）類比探究如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，請(qǐng)寫出BDCP的值及直線BD與直線（3）解決問題當(dāng)α=90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D54．（2020·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），已知△ABC∽△ADE嘗試應(yīng)用：如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，拓展創(chuàng)新：如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD=∠CBD=30°，∠55．（2020·山東棗莊·中考真題）在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，AC=BC，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AE交于點(diǎn)M，DE（1）如圖1，若CE=CF，求證：（2）如圖2，在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明C（3）若CD=2，CF=256．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)α=60°時(shí)，BDCP的值是_