第34講 函數(shù)y=Asin(ω+ψ)的圖象（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第12講函數(shù)y=Asin（＜9x+Q）的圖象

號目標導(dǎo)航

課程標準課標解讀

1.掌握圖象的變換規(guī)律，解決三角函數(shù)

的變換問題.

2.靈活掌握平移、伸縮變換規(guī)律，掌握

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會畫函數(shù)的圖象，會結(jié)合圖象

與函數(shù)y=Asin（azr+0）中變換量

解決與函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)問題，會求函數(shù)的解析式，掌握

之間的關(guān)系.

函數(shù)圖象的變換規(guī)律.

3.會利用圖象的特點求函數(shù)的解析式，

會求圖象變換前后函數(shù)的解析式.

4.會解決與三角函數(shù)有關(guān)的綜合問題.

及’知識精講

丞、知識點

一、°,3,4對函數(shù)丁=45皿（5+°）的圖象的影響

1.0（。#0）對函數(shù).丫=$m0+9）的圖象的影響

y=sin（x+°）（其中9川）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向右（當夕＜0時）或向左（當

9＞0時）平行移動陷個單位長度而得到的.

2.3（3＞0）對函數(shù)y=sin（0x+e）的圖象的影響

函數(shù)y=sin（0x+0）（其中。＞0）的圖象，可以看作是把函數(shù)y=sin（x+0）的圖象上所有點的橫坐標伸

長（當0<3<1時）或縮短（當”>1時）到原來的,倍（縱坐標不變）而得到的.

CO

3.A（A>0）對函數(shù)y=Asin（?yx+°）的圖象的影響

函數(shù)y=Asin（s+Q）（其中4>0）的圖象，可以看作是把函數(shù)y=sin（（yx+°）的圖象上所有點的縱

坐標伸長（當4>1時）或縮短（當0<4<1時）到原來的4倍（橫坐標不變）而得到的.

4.函數(shù)y=sinx到函數(shù)y=Asin（0x+0）（其中A>0,<w>0）的圖象變換

將函數(shù)y=sinx的圖象變換得到函數(shù)y=Asin（的+。）（其中A>0,3>0）的圖象的過程為:

（1）作出函數(shù)^=sinx在長度為2兀的某閉區(qū)間上的簡圖；

（2）將圖象沿x軸向左或向右平移兩個單位長度，得到函數(shù)丁=$皿（>+0）的簡圖；

（3）把曲線上各點的橫坐標伸長或縮短到原來的工倍，得到函數(shù)丁=411（。工+0）的簡圖；

（0

（4）把曲線上各點的縱坐標伸長或縮短到原來的A倍，得到函數(shù)丁=45抽（如+。）的簡圖;

（5）沿x軸擴展得到函數(shù)丁=人411（8+。），xwR的簡圖.

由y=sinx變換得到y(tǒng)=Asin(<yx+e)(A>0,(w>0)的方法:

（1）先平移后伸縮:

（2）先伸縮后平移:

橫坐標變?yōu)樵瓉淼钠弑?/p>

函數(shù)y=sinx函數(shù)y=sincox向左（右）二號

、的圖象以第|個單位

的圖象縱坐標不變

二、函數(shù)y=Asin（3x+0）,xe[O,+oo）（其中A>0,@>0）中各量的物理意義

物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)^=Asin（⑻+。）中的常數(shù)有關(guān)：

A：它表示做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離，稱為振幅（amplitudeofvibration）.

2兀

T.T=——,它表示做簡諧運動的物體往復(fù)運動一次所需要的時間，稱為周期（period）.

CD

f./=-=—,它表示做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)，稱為頻率（frequency）.

T2兀

COX+（p：稱為相位（phase）.

cp：x=0時的相位，稱為初相initialphase）.

簡記圖象變換名稱及步驟

（1）函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=sin（x+p）的圖象變換稱為相位變換；

（2）函數(shù)尸sinx到尸sincox的圖象變換稱為周期變換；

（3）函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asinx的圖象變換稱為振幅變換.

（4）函數(shù)丁=而工到了=4皿5+9）的圖象的變換途徑為相位變換一周期變化一振幅變換或周期變換一

相位變化一振幅變換.

7T

【即學(xué)即練1】要得到函數(shù)y=sin（4x—§）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象（）

IT7T

A.向左平移一個單位B.向右平移一個單位

1212

C.向左平移四個單位D.向右平移四個單位

33

兀

【即學(xué)即練2】將函數(shù)y=sinx的圖象沿x軸向右平移一個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵?/p>

10

來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）

y=sin(2x-^)

A.y=sin(2x-—)B.

71、71、

C.y=x----)D.y=尤—)

1020

【即學(xué)即練3】已知函數(shù)段）=Asin（sx+0）（A、3、夕為常數(shù)，A>0,。>0）的部分圖象如圖所示，則人0）的值

是________

【即學(xué)即練4】為了得到函數(shù)y=2sin2%一方的圖象，可以將函數(shù)y=2sin2x+；的圖象（）

7兀771

A.向左平移;：B.向右平移一

2424

,.771D.向右平移辦

C.向左平移一

1212

JTTT

【即學(xué)即練5】已知函數(shù)f(x)=2sin(5+。3>0)的最小正周期為且/(幻圖象向右平移(個單位長

度后得到g(幻的圖象，則g(%)的對稱中心為()

舁葛，。(hZ)

A.

k7l71八)/1、、

C.—+-,0(IGZ)

46；

兀

【即學(xué)即練6］如圖是函數(shù)y=Asin(s+9)A>0,”>0,儂<萬的圖象的一部分，求此函數(shù)的解析式.

Q能力拓展

考法01

函數(shù)圖象的變換

函數(shù)圖象的平移變換解題策略：

(1)對函數(shù)y=sinx,y=Asin(0葉⑶或產(chǎn)ACOS(3+B)的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸

縮再平移，只要平移刷個單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閴褆夕|,而不是0X變?yōu)?。x±|°|.

(2)注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.

(3)確定函數(shù)丁=豆11》的圖象經(jīng)過變換后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是明確左右平移的方向和

橫縱坐標伸縮的量,確定出的值.

(4)由丁二人豆成0葉⑼的圖象得到丁=411》的圖象，可采用逆向思維，將原變換反過來逆推得到.

【典例1］把函數(shù)y=3sin2x的圖象向左平移7個單位長度，再將所得圖象向上平移1個單位長度，可得到

O

函數(shù)“X)的圖象，則()

/(x)=3sin(2x+?J+l

A.B.〃x)的最小正周期為2萬

C.上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于直線x與對稱

考法02

由函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式

結(jié)合圖象及性質(zhì)求解析式產(chǎn)Asin(s+9)+8(A>0,m>0)的方法：

(1)求A,B,已知函數(shù)的最大值〃和最小值肛則A=上M一—m々3二M上一+m”.

22

2兀

(2)求。，已知函數(shù)的周期7,則O=學(xué).

(3)求外常用方法有：

①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時，A,。，B已知).

②五點法：確定"值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點(-2,0)作為突破口，具體如下：

(0

"第一點''(即圖象上升時與x軸的交點中距原點最近的交點)為3x+0=o;

“第二點”(即圖象的“峰點”)為@v+9=5；

“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為<ox+(p=n；

3兀

“第四點”(即圖象的“谷點”)為a)x+<p=G；"第五點”為a)x+(p=1it.

【典例2】已知函數(shù)/(x)=Asin(s+s)(0>O,O<°<5)的部分圖象如圖所示.

(1)求)(X)的解析式.

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的再將所得函數(shù)圖象向右平移

聿個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求不等式g(x)>2的解集.

【典例3］某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)/。)=公皿8+夕)3>0,冏<鄉(xiāng)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填

入了部分數(shù)據(jù)，如下表：

7131

（ox+（p兀

07T27r

715"

X

①②~6③

Asin（0x+e）02④-20

(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并寫出函數(shù)/(X)的解析式；

(2)將y=/G)的圖象上所有點向左平行移動。(，>0)個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，若函數(shù)y=g(x)

圖象的一個對稱中心為(￡,0),求。的最小值.

4

考法03

函數(shù)y=Asin(a)x+。)的性質(zhì)的應(yīng)用

函數(shù)y=Asin（69x+0）（A>0,（o>0）的性質(zhì):

兀

(1)奇偶性：。=女兀時，函數(shù)y=Asin(0x+。)為奇函數(shù)；(p=kn+-B'j-,函數(shù)y=Asin(<yx+。)為

偶函數(shù).

2兀

(2)周期性：y=Asin(5+°)存在周期性，其最小正周期為丁二一.

co

(3)單調(diào)性：根據(jù)y=sim和片5+9的單調(diào)性來研究，由一^+2左兀<ox+0W5+2Z私人eZ得單調(diào)

TT37r

增區(qū)間；由］+2攵兀<3X+eK彳+2攵n,%eZ得單調(diào)減區(qū)間.

(4)對稱性：

①對稱軸

與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)y=Asin(ft>x+°)和y=Acos(sx+9)的圖象的對稱軸通過函數(shù)圖象的最

值點且垂直于x軸.

TI

函數(shù)y=Asin(ctzx+8)對稱軸方程的求法：令sin(cox+^9)=±l,得a)x+(/)=kTi+則x=

(2"+1)"二2?(&WZ),所以函數(shù)y=Asin(Sx+p)的圖象的對稱軸方程為x=0"+1)"一?,收④.

2co2a)

Z冗一0

函數(shù)y=Acos(①x+p)對稱軸方程的求法：令cos(①x+9)=±l，得cox+(p=lai(k^Z),則x=----匕(kG

co

kn—(p

Z),所以函數(shù))，=Acos(0x+0)的圖象的對稱軸方程為x=---------伏eZ).

(O

②對稱中心

與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)y=Asin(Gx+e#Dy=Acos(ftzx+8)圖象的對稱中心即函數(shù)圖象與x軸

的交點.

函數(shù)y=Asin(s+3)對稱中心的求法：令sin(69x+^)=0,得GX+9=E(攵WZ),則x=~—"(ZGZ),

CO

所以函數(shù)y=Asin(cwx+3)的圖象關(guān)于點(幺——,0)(攵eZ)成中心對稱.

CD

7T

函數(shù)y=Acos(cox+8)對稱中心的求法：令COS(69X+9)=0,得cox+(p=k7l+y(fcZ),則x=

(2'+1)"-20/G0,所以函數(shù)尸Acos(s+9)的圖象關(guān)于點((2左+1)兀-2"，0)收Z)成中心對稱.

2a>2co

TTTT

【典例4】已知函數(shù)./(x)=sin(s:+9)(①>0,|夕|<,)的最小正周期為兀，圖象關(guān)于直線對稱.

(1)求函數(shù)7U)的解析式;

(2)求函數(shù)yw的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)在給定的坐標系中畫出函數(shù)y=?r)在區(qū)間［0,兀］上的圖象.

y

；--T~-i----ii-

?????????(I

o

z??..........................................................1??i??

，—T————A——>——J————4——逐——d——I*一—4——4——4——A—J

1：：：：：：：：：:：：：：：：

【典例5】已知函數(shù)/(x)=2gsinxcos尤一2cos0+1,xeR.

(1)求函數(shù)的最小正周期；

(2)將八耳的圖像向左平移弓個單位得到函數(shù)g(x)的圖像，求g")的單調(diào)減區(qū)間.

【典例6］己知函數(shù)/(x)=4sin(<yx+9)+1>0,|夕|<］)的最小正周期為",且/(0)=3.

(1)求0和8的值.

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移三個單位長度(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象,

①求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

②求函數(shù)g(x)在0,1上的最大值.

羔分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.為了得到函數(shù)y=2sin12x-]J的圖象，可以將函數(shù)y=2sin12x+：J的圖象(

7兀7兀

A.向左平移一B.向右平移一

2424

7兀771

C.向左平移一D.向右平移——

1212

2.要得到函數(shù)/(x)=2cos2》+野的圖象，只需g(x)=sin[2x+m)的圖象()

TT

A.向左平移一個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)

2

兀1

B.向左平移一個單位，再把各點的縱坐標縮短到原來的一倍(橫坐標不變)

22

兀1

C.向左平移一個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的7倍(橫坐標不變)

42

兀

D.向左平移了個單位,再把各點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)

3.已知函數(shù)〃x)=Asin(3x+e)(A>0,3>0,陷<曰的部分圖象如圖所示,

A.

2

C.-D.—且

22

4.將函數(shù)/(x)=2sin(tox+￡)(o>0)的圖象向右平移卷個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)在

一/f上為增函數(shù)，則3的最大值為()

35

32C--

A.B.2D.4

5.給出下列四種圖象的變換方法：①將圖象向右平移￡個單位長度；②將圖象向左平移；個單位長度；③

44

將圖象向左平移苧個單位長度；④將圖象向右平移苧個單位長度.利用上述變換中的某種方法能由函數(shù)

OO

y=sin4x的圖象得到函數(shù)丫=-$訪4》的圖象，則這種變換方法的序號是()

A.①②B.②③C.①④D.③④

6.將函數(shù)〃x)=cos(2x+()的圖象向左平移93>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)為

奇函數(shù)，則夕的最小值是()

?兀

A.HD.一

3

7.把函數(shù)/(x)=5sin[x-r

圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的3倍得到函數(shù)g(x)的圖象，再把g(x)的圖

象向左平移/單位得到函數(shù)〃⑶的圖象，則函數(shù)也)圖象的一條對稱軸為()

3171

C.x=——D.x=—

44

詈,。)，則(

8.如圖，函數(shù)y=2sin(tux+協(xié)3>0,|同v)

51

B.CD=2,(p=一

~6

c2兀145萬

C.0=-、(p=—D.(D--，。二一

116116

9.函數(shù)/(x)=sin(azr+e)(其中。>(),0<e</)的圖象如圖所示，為了得到、=$也》的圖象，則需將

y=/(x)的圖象()

A.橫坐標縮短到原來的T，再向右平移太個單位

B.橫坐標縮短到原來的;，再向右平移2個單位

C.橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移？個單位

D.橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移3個單位

10.若函數(shù)/(x)=3sin(@x+e)?>0)的圖像的相鄰兩個對稱中心的距離是且圖像過點則下

列結(jié)論不正確的是()

TTTT

A.函數(shù)/(x)在一上是減函數(shù)

_OO

B.函數(shù)f(x)的圖像的一條對稱軸為x=-1

C.將函數(shù)〃x)的圖像向右平移g個單位長度后的圖像關(guān)于y軸對稱

D.函數(shù)/(*)的最小正周期為乃

II.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+9)(0>O,O<夕<])的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.“X)的圖象關(guān)于點(-§0)對稱

B./(x)的圖象向右平移2個單位后得到y(tǒng)=sin2x的圖象

C./（X）在區(qū)間o,^的最小值為一日

D./卜+￡）為偶函數(shù)

12.已知/（x）=As加?x+0（A>O,0>O,|d<萬）的一段圖象如圖所示,則（

B./（X）的圖象的一個對稱中心為0）

C./（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是+左肛苧+&萬］,keZ

OO

Sn

D.函數(shù)/（x）的圖象向左平移9個單位后得到的是一個奇函數(shù)的圖象

O

題組B能力提升練

1.將函數(shù)〃x）=sin（s+夕）,>0,0<夕<方|的圖象向右平移專個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對

稱，向左平移已個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，且/（x）在區(qū)間H，］）上單調(diào)，則。的最大

值為（）

A.11B.9C.7D.5

2.已知函數(shù)/（x）=sin（0x+0）（G>O,O<0<萬）的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的距離為

將/（X）的圖象向右平移？個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象.若函數(shù)g（x）的圖象在區(qū)間上是增函

數(shù)，則。的取值范圍為（）

兀乃715萬7T24713萬

A.9B.c.D.5

~6~27'TFT4T

3.已知函數(shù)/（x）=Asin（ox+。）（A>0,。>0,|初<引的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

)

A..f(x)的最小正周期為2萬

B./(x)=2sin^x-yj

C.點(等,0)是/(x)圖象的一個對稱中心

D.直線x=2乃是f(x)圖象的一條對稱軸

4.函數(shù)/(X)=ACOS(0X+*)[A>O,0>O,|9|<|^的部分圖象如圖所示，則下列敘述錯誤的是()

4Jt

B.函數(shù)/⑶在區(qū)間-彳，值上是單調(diào)遞增的

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間-三,0上的值域為[-2,6]

D.x=7是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸

0

5.已知函數(shù)y=4面(5+功+機的最大值是4,最小值是0,最小正周期是直線x=(是其圖象的一條

對稱軸，則下面各解析式符合條件的是()

A.y=4sin(4x+F)+2B,y=2sin^2x+y^+2

C.y=2sin|4x+-|+2D.y=2sin|4x+-|+2

6.將函數(shù)f(x)=2sin(s+@go,⑷杉)的圖象向左平移/個單位長度后得到的部分圖象如圖所示，有

下列四個結(jié)論：①"0)=1；②y=/(x)-百在［0,兀］上有兩個零點；③/(x)的圖象關(guān)于直線x=-J對稱；

6

-2乃x冗一

④在區(qū)間y,y上單調(diào)遞減，其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

7.(多選題)設(shè)函數(shù)/(1)=百cos2x-sin2R,則下列選項正確的是()

A.f(x)的最小正周期是乃

B.〃力在［。問上單調(diào)遞減，那么b-。的最大值是］

c./⑺滿足/，++/仁_1

11萬

D.y=〃x)的圖象可以由y=2cos2x的圖象向右平移號個單位得到

8.(多選題)已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+4夕)(4>0,。>0,0<*<(J的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)AM的

圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的!，再向右平移［個單位長度，得到函數(shù)g*)的圖象，則下列命題

46

A.函數(shù)/⑶的解析式為/(x)=2sin&+高

B.函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=2sin(2xq)

TT

C.函數(shù)/(X)圖象的一條對稱軸是直線x=

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間孔47個r上單調(diào)遞增

9.函數(shù)f（x）=3sin（2嶗J的圖象為C,有以下結(jié)論：

1TT

①圖象C關(guān)于直線x=,\對稱；

②圖象C關(guān)于點（整,0）對稱；

③函數(shù)"X）在區(qū)間（4，卷）內(nèi)是增函數(shù)；

④由y=3sin2x的圖象向右平移3個單位可以得到圖象C.其中正確的結(jié)論是.（寫出所有正

確結(jié)論的序號）

10.函數(shù)〃x）=sinx的圖象向左平移5個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列函數(shù)g（x）的結(jié)論：①一條對稱

軸方程為犬=今；②點（葛,0）是對稱中心；③在區(qū)間（05）上為單調(diào)增函數(shù)；④函數(shù)g（x）在區(qū)間%"上

的最小值為一;.其中所有正確的結(jié)論為.（寫出正確結(jié)論的序號）

II.設(shè)函數(shù)/。）=25出（0火+。）［。>0,0<9<1^的圖象關(guān)于直線》