2023年高考數(shù)學(xué)主觀題四 立體幾何

專題四立體幾何

歷年高考命題分析

該部分的命題主要是以柱體、錐體等簡(jiǎn)單幾何體為載體,證明

空間的點(diǎn)、線、面的平行與垂直關(guān)系,面積、體積等的計(jì)算等,目

的是考查考生的推理論證能力、空間想象能力等.

【近7年新課標(biāo)卷考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)】

試卷類型2016201720182019202020212022

全國(guó)卷（甲語(yǔ)一12121212121212

全國(guó)卷（乙卷）12121212121212

新高考全國(guó)L1212

新高考全國(guó)∏K1212

典例解析

【例1】如圖,菱形AHCD的邊長(zhǎng)為4,NBAD=60°ACΠBD=O.

將菱形AHC。沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐JB-AC2點(diǎn)M是棱BC的

中點(diǎn)QM=2讓.

⑴求證:0M〃平面A5D;

【解析】⑴證明:因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)也為BC的中點(diǎn),

所以O(shè)M〃AA

又因?yàn)镺Mu平面AB。,ABU平面A5D,

所以O(shè)M〃平面ABD

【例1】如圖,菱形A5C。的邊長(zhǎng)為4,/840=60。，ACn50=0.

將菱形A5C。沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐5-AC。,點(diǎn)〃是棱BC的

中點(diǎn),DM=2y∕~^.

⑵求證:平面。OMJ_平面A5C;

【解析】(2)證明:因?yàn)樵诹庑蜛5C。中,0D_LAC

所以在三棱錐5-AC。中,OOLAC

在菱形ABC。中,A5=AO=4,NB4。=60。，所以50=4.

因?yàn)?。?。的中點(diǎn),所以O(shè)DqBD=2.

乙

因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)也為BC的中點(diǎn),所以O(shè)M==2.

2

因?yàn)?。2+0M2=8=Z)M,所以NDOM=90°,即ODJLOM.

因?yàn)锳CU平面ABCOMU平面A5C,ACn(W=0,

所以O(shè)D，平面ABC

因?yàn)?。U平面。OM所以平面。OMJL平面A5C

【例1】如圖,菱形AHC。的邊長(zhǎng)為4,NB40=60°,ACnBD=O.

將菱形ABC。沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐B-AC。,點(diǎn)M是棱3C的

中點(diǎn)QM=2近.

(3)求三棱錐B㈤。M的體積.

【解析】(3)解:由⑵得,ODJ_平面50M

所以。。是三棱錐。-50M的高.

因?yàn)??！?2180MqoBBMsin60o=∣×2×2×^=√3,

NZ2

所以%-D0M~%-BoM=WSABOM，OD=W×v?×2-??.

【例2】已知正方體ABCD-APBlG3中,A4]=2,E為棱CG的中點(diǎn)?

⑴求證:修。1，AE

【解析】證明:(1)連結(jié)BZXAC,則BD〃BlD-

?/四邊形A3C。是正方形,，AC_LJBD

?.?CE，平面ABCZV.CELBD.

又ACnCE=C且ACCEU平面ACE,???瓦），平面ACE

又,：BD〃B[Di，

???當(dāng)。1，平面ACE

VAEc5FffiACE,

ΛB1D1?AE

【例2】已知正方體ABCD-AIjBIGal中A4ι=2,S為棱CG的中點(diǎn)?

(2)求證:AC〃平面片。E

【解析】證明:(2)作5當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)廠,連結(jié)ARCEEEI

YE,F是CG,BB]的中點(diǎn),Z.CEJLBxE

：.四邊形修尸C石是平行四邊形.JC尸〃昌E

又0￡u平面與。EeRt平面為。瓦Z.CF//平面與。E

???E,F是CC],BS1的中點(diǎn),???EFJLBC.A

又BCJLAD,：.EFJLAD.

：.四邊形A。E廠是平行四邊形,「.Ab〃ED

又。EU平面耳。&4Rt平面5QE,.??A/〃平面當(dāng)。E

5

?/AF∩CF=F9JaAF,CFcP?ACF,

/.平面AeT〃平面名。E

XACc5PffiACF,C.AC//平面均。E

【例3】如圖,在四棱錐PA5CD中,RL，平面ABC。/。?CD,

tPF1

A。〃BeBL=4。=。。=2萬(wàn)。=3.￡為尸。的中點(diǎn),點(diǎn)尸在尸。上,且丁二『

1C√?

(1)求證:平面B4D;AK

【解析】(1)證明:因?yàn)橐裕矫鍭BCn

所以B4_LCD

又因?yàn)锳。，Cn

所以Cra平面∕?D

【例3】如圖,在四棱錐P-ABCD中,B4_L平面A5CD√4O?CD,

pp1

A?！˙CE4=AD=CD=2,JBC=3.￡為尸。的中點(diǎn),點(diǎn)方在PC上,且m二￡

JLC√?

(2)求二面角尸AE-尸的余弦值；

【解析】(2)解:過A作的垂線交5C于點(diǎn)陌

因?yàn)镻A1,平面A5C。,所以∕?_LAMB4_LAD

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)邛,R

則A(OQO)乃(2,-l,0)C(2,2,0)Q(0,2,0),P(OQ2).

因?yàn)槭癁槭５闹悬c(diǎn),所以￡(0,1,1).

所以旗二((U,1),鼠二(22-2),G=(0,0,2).

【解析】所以∕?=??=(∣,∣,-∣),+τ?=(∣,∣t)

設(shè)平面AM的法向量為〃=α,y,z),

κJn?Λ?=0,即y+z=0,

2.24

-X+-V+-Z=n0.

(n?AF-0,33，3

令z=l,則y=-l,X=-L于是"=(-1,-1,1).

又因?yàn)槠矫嫱?。的法向量為p=(l,0,0),所以cos<",p>=蒜y=*

因?yàn)槎娼?？AEP為銳角,所以其余弦值為學(xué)

【例3】如圖,在四棱錐P-ABCD中,以，平^ABCDAD?CD,

pp1

ACD=2乃C=3.E為尸。的中點(diǎn),點(diǎn)方在PC上,且二二二

PC3

⑶設(shè)點(diǎn)G在形上,且.判斷直線AG是否在平面AEb內(nèi),并說明

ΓD3

理由.

【解析】(3)解:直線AG在平面AE/吶.

DA

因?yàn)辄c(diǎn)在上,且∣∣∣

GP5=,p?=(2,-l,-2),力

B

->2—>424\4二22

所以

PGqPB二底3,3‘3

由(2)知,平面AM的法向量為〃=(-1,-1,1),

所以ZG刃=-[+]+]=°，所以直線AG在平面AEb內(nèi).

考點(diǎn)訓(xùn)練

L多面體A5C。石中AB=BC=AC=AE=I,O)=2√4E，平面ABC,

AE〃CD求證：

(I)A石〃平面BC。;

證明:(iy：AE//5FWCACDc5PffiBCD,

.?.AE〃平面BCD

L多面體A5C。石中,A5=5C=AC=AE=1,0)=2,A￡_L平面A5C,

A￡〃CD求證：

⑵平面平面5CD

證明:(2)取中點(diǎn)Nf。中點(diǎn)M連接AMNM.

???〃'是八8。。的中位線,???阿〃。。且腦"工。。=1.

2

又?：NEJlCD,：.AE//MN.

又?：AE=MN=\,：.四邊形ANME為平行四邊形.

：.EM//AN.B

?.?AEL平面A5C,???MNL平面A5C又ANU平面A5C,Z.MNLAN.

YZXABC為正三角形,N為3。的中點(diǎn),.?AN±BC.

又BCCNM=N,BC,MNu平面BCD,：.AN±平面BCD又EA/〃AN.

/.EML平面BCD又EMU平面

/.平面平面5CD

2.如圖,直三棱柱ABC4向G中Q,E分別是AB,的中點(diǎn).

(1)證明:5G〃平面AIC。；

⑴證明:連結(jié)AG交AIC于點(diǎn)R則尸為AG中點(diǎn).

連結(jié)。E又。是AB中點(diǎn)，

則g〃。兄

又因?yàn)?。尸U平面AC。/GC平面

所以BG〃平面AICD

2.如圖,直三棱柱ABC-A向G中分別是為的中點(diǎn).

(2)設(shè)AAI=AC=Cβ=2,AB=2√^,求三棱錐C-AlOE的體積.

(2)解:因?yàn)锳3C4向C]是直三棱柱,所以AAj平用WC/

又因?yàn)镃DU平面A5C,所以AAJCD.H?p>√

因?yàn)锳C=C氏。為AB的中點(diǎn),所以A5_LcD.?

又AAlnA5=A,及AA19A5u平面A551Aι,所以CO_L平崎跖反Al

由AAl=AC=C3=2,AB=2讓，4

得NAC5=90°,CD=√‰40=√^DE=B,AIE=3,

故4。2+?！?=4￡2,即4。2_。E

A

所以

LC-ZlZ)E=。WCDSDE=WUX×y[2×^乙×VδX?/?-l.

3.如圖,三棱柱ABC-A15ιG中，CA=Cβ,AB=AA],/844=60。.

⑴證明:ABJLAIC;

(1)證明:取A3的中點(diǎn)O,連結(jié)OcoAl,A1.

因?yàn)锳C=C6。為AB的中點(diǎn),所以O(shè)C_LAB

因?yàn)锳5=44],/844=60。，所以4AA]5為等邊三角形.

所以。4JAR

又因?yàn)椤?1noe=0,及OA,0CU平面。4C所以A3_L平面。41C

又AlCU平面OAIC

故AICuA

3.如圖,三棱柱ABC-A15ιG中，CA=Cβ,AB=AA],/844=60。.

(2)若AB=BC=2A。=傷,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

(2)解:由題設(shè)及⑴知AAHC與AAA由都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

所以O(shè)C=OAI=V

又AlC=跖則AlC2=0C2+O√,故。SoA

又因?yàn)橛散胖狾AJA民

OCnAJB=O,及OCABU平面ABe所以O(shè)AJ平面ABC

所以O(shè)Al為三棱柱ABC-ApBIG的高.

又△A5C的面積SΔΛBC=√3,

故三棱柱A5C-A畫G的體積V=0AI?S"BC=3?

4.如圖四邊形AgC。是菱形,7??平面ABCnQ為的中點(diǎn).求證:

(I)Pe〃平面QBD;

證明:設(shè)ACn5。=0,連接OQ?

(1)?.?A3O)為菱形，

???。為AC中點(diǎn).

又。為小中點(diǎn),

：.OQ//PC

又PCC平面。&ZOQU平面QBD,

.?.PC〃平面Q5D

4.如圖四邊形A5C。是菱形,B4，平面AgCnQ為B4的中點(diǎn).求證:

(2)平面。5。，平面B4C

證明：設(shè)ACn8。=0,連接OQ.

(2)?.?A8CD為菱形，

：.BD±AC

又丁PA上平面ABCD,BDu平面ABCD

：.PA±BD,

又B4ruc=4,且BUCU平面BLC

JBD?平面RIe又U平面QgQ,

工平面。30,平面B4C

5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中45_1_平面B4。,A5〃CD,PD=A。，

1_

是的中點(diǎn)是。上的點(diǎn)且。耳二彳人民尸”為中。邊上的高.

EPBFC乙A

(1)證明:PH±平面Ai3CD;P

⑴證明:因?yàn)锳B?平面B4O,P"u平面E4。，?

所以PHLAB./\'*彳二C

因?yàn)镻H為AMD中A。邊上的高，“匕小

所以P〃J_AD

因ABHAD=A,ABΛDc∑^ABCD,

所以PHJL平面ABCD

5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中45_1_平面B4。,A5〃CD,PD=A。,

A_

的中點(diǎn)。上的點(diǎn)且。耳二彳人民尸”為中。邊上的高.

E是PBF是C乙A

(2)若PH=I4)=魚/C=I,求三棱錐石-JBC歹的體積;

(2)解:連結(jié)5",取中點(diǎn)G,連結(jié)EG

因?yàn)槭鞘?的中點(diǎn),G是5〃的中點(diǎn),所以EG//RH湛

因?yàn)镻Hj_平面ABCn所以EG平面A5CD，

所以EG是三棱錐45CT的高，

Λ/

因^JAD±ABAB〃OC所以A。?FC

1

VE-BCF=WSLBCF-EG=-X-FGADEG^B

3212

5.如圖所示,在四棱錐尸-A5C。中√4B，平面RL。,AB〃CD,PD=AD,

E是PB的中點(diǎn)尸是CD±的點(diǎn)且。尸二，昆尸”為4B4O中AO邊上的高.

乙

(3)證明:E/，平面P4B〃

B

(3)證明:取RI中點(diǎn)M,連結(jié)MDME,

因?yàn)槭荘B的中點(diǎn),M是必的中點(diǎn),所以ME匕AB.

因?yàn)樗?/p>

DF&乙AB,MEjLJ)F.

所以四邊形是平行四邊形.所以EF〃MD.

因?yàn)镻D=AoM是Rl的中點(diǎn),所以MO?PA.

因?yàn)锳BJL平面B4。,MDu平面所以MDLAA

因?yàn)锽4∩AB=AB4,A5u平面PAB.

所以MD_L平面RLA

所以瓦口.平面B4A

6.如圖,在直三棱柱ABC-AI為6中囚尸分別是AAAIC的中點(diǎn),點(diǎn)。

在51G上aθ~L51C求證：

(I)E/〃平面ABC;

證明:⑴因?yàn)?F分別是ApBaC的中點(diǎn),

所以EF〃BC.

55

XEF?F≡ABC,BCcFffiABC9

所以EF〃平面ABC

6.如圖,在直三棱柱45。/畫。1中￡尸分別是ApBAC的中點(diǎn),點(diǎn)。

在^iG上求證：'

(2)平面A/D?平面叫Gcγr≥<^n

證明:(2)因?yàn)橹比庵鵄5C"C,4匚\二3∣C

所以5修，平面AIBICι?Z

又APDU平面AljBlCI,所以5當(dāng)J_4。，

又AID上BιC,BBQ與。二&,8］。,884平面呂為。1。，

所以ApDJ_平面GC

又AQU平面A/D,

所以平面AIED，平面BgGC.

7.如圖,在直三棱柱ABC-A1與G中八1以=4G分別是棱BC

CG上的點(diǎn)（點(diǎn)。不同于點(diǎn)C），且A。，。E/為⑸G的中點(diǎn)?求證：

⑴平面AO￡_L平面BCGB1；

證明X1)?.?A8C-ApBiG是直三棱柱，

???CGJ-平面ABC

5

又VADcPffiABC,.?CC1LAD.

又?：AD上DE,CC],DEu平面BCCIB[,CCQDE=E,

.?AD±^BCClBl,

〈A。U平面AOE,

???平面A。Ej_平面5。。四?

7.如圖,在直三棱柱A5C-A1與G中,A1修=A1G,。,石分別是棱5C,

CG上的點(diǎn)(點(diǎn)。不同于點(diǎn)C)，且為當(dāng)G的中點(diǎn)?求證：

(2)直線A/〃平面ADET

證明O)?.?APBI=A]G,尸為Be的中點(diǎn),??.A∕，與G.JE

TCG，平面4修孰,且AIR=平面AwIC],Jd'Ir

ΛCCi±AiE?C>?

B

又??CC1f]GU平面BCGBl,CC1∩B1C1=C1,.?AiF±平面5CG&.

由(1)知4。，平面5CG4,???A尸〃AD

又TA。U平面ADE,A/U平面Ao比

J直線Al方〃平面AoE

8.如圖,在四棱錐尸-ABC。中,平面B4。，平面A5CRA5=A2

/胡。二60?！晔謩e是人尸4。的中點(diǎn).求證：■√

⑴直線￡尸〃平面%J?

證明:⑴在4B4O中，

因?yàn)橥叻椒謩e為AP9AQ的中點(diǎn)，

所以E尸〃尸D

又因?yàn)镋FU平面PC。/。U平面PCD,

所以直線瓦平面尸CD

8.如圖,在四棱錐P-ABC。中,平面B4。_L平面A5C2AB=AD,

NAw=60。，邑F分別?AP,AD的中點(diǎn).求證：√

(2)平面，平面B4D%/\

證明:(2)連結(jié)BD.

因^JAB=AD,ZBAD=6O。，所以∕?A5O為正三角形.B

因?yàn)閎是A。的中點(diǎn),所以LAD

因?yàn)槠矫鍮4OJ_平面A5CD,5R=平面ABCA

平面∕?θn平面ABCD=AD,所以5足1_平面B4D

又因?yàn)镠bu平面

所以平面5￡F_1_平面B4D

9.如圖,正方形ABCD和四邊形ACEb所在的平面互相垂直.

EF∕∕ACAB=^CE=EF=1,^^:

(I)A/〃平面

證明:(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G

因?yàn)椤ㄇ摇?/p>

￡FAGF=1AG=-2AC=1,

所以四邊形AGM為平行四邊形，

所以Ab〃EG

因?yàn)镋GU平面5?！晷?山平面

所以Ab〃平面E

9.如圖,正方形ABCD和四邊形ACEb所在的平面互相垂直.

EF∕∕ACAB=^CE=EF^1,^^:

(2)Cb_1_平面E

證明:(2)連接bG因?yàn)镋F//CG,EF=CG=1,

所以四邊形CMG為平行四邊形,又CE=I,J

所以平行四邊形CEbG為菱形,所以CTjLEG

因?yàn)樗倪呅蜛5C。為正方形,所以5DL4C

又因?yàn)槠矫鍭CL平面ABCD,且平面ACEbn平面A5CD=AC,

所以J_平面ACEF

又CbU平面ACEf所以Cb_LJBD又BOnEG=GfO,EGu平面

所以CbI■平面BDE

10.如圖,在四棱錐P-ABCD中AB//Cn且ZBAP=ZCDP=90°.

(1)證明:平面RL5，平面B4。；

⑴證明：?.?NA4P=90°,ΛAB±E4.

同理由NCDP=90°知CDLPD

9：AB//CD,FAHPD=P,

JAB，平面B4D

「ABU平面B48

???平面B43，平面7?D

10.如圖,在四棱錐P-ABCD中AB//CD,且/BAP=ZCDP=90。.

→Q

(2)若M=PD=AH=DCNAPD=90°,且四m棱錐尸-ABC。的體積為色,

3

求該四棱錐的側(cè)面積.

(2)解:由(1)知A5J_平面B4D

VZAPD=9Qo,7?=尸。=A5=。CMM。中點(diǎn)0,

AB

：.OPj_底面ABCD則4。二小氏0尸二/。二爭(zhēng)氏

???VP-ABCD=1×-^B^B'V2AB=1.?AB=2.

?2J

：,PB=PC=BC=2近.

側(cè)=△尸

??SS2^R40+SZ^P4B+SCO+SZ^PBC

=3×Q1×2×2)+|×2√2×2√2×sin60o=6+2√3?

2

∏.如圖,在四棱錐尸√L5CD中,底面ABCD是矩形,B4?平面ABCQ

AP=AB,BP=BC=2,E,F^^?^PB,PC^中點(diǎn).

⑴證明:E尸〃平面RL。；

⑴證明:在△尸5C中,&F分別是P民PC的中點(diǎn),

ΛEF∕∕BC.

內(nèi)ClIg

/.EF//AD.

又：/。（=平面以。,瓦立平面以。,

?：￡/"平面B4D

∏.如圖,在四棱錐尸-ABCD中,底面ABCD是矩形,7?JL平面ABC

分別是氏的中點(diǎn).戶

AP=A5BP=JBC=2,PPC

(2)求三棱錐石-ABC的體積W∕?×^I

(2)解:連接AE,ACEe^AB中點(diǎn)G,連接￡G,如圖，

則EG〃朋,所以EGL平面ABCD/

故EG為三棱錐E-ABC的高且EG二54.

2

在△/?5中,A尸二A氏N7?5=90°,BP=2,

??AP-AB-^2JEG-^-./.S"Be'XV2X2=?/2?

?*?VE-ABC=§S4A3C?^∣×√2×^4

Tr

12.如圖,直三棱柱ABC-AiIG中,AB=AAjNdB=;乙.

(1)證明:C&，A41；

⑴證明:如圖,連結(jié)的

TT

VABC-A向G是直三棱柱,NC43=j,

JAC，平面AMIAI,又BAIU平面AMA，故ACJ_g.

XVAB=AA1,/.四邊形A5Bι4是正方形,

ΛBA1±AB1,

又CAnA0=A,CA√L坊U平面CABI,???HAJ平面CA8].

又???圓￡平面。LB1，

：.CBxLBAx.

TT

12.如圖,直三棱柱ABC-AI0G中,AB=AAl,NC4B=j乙.

(2)已知A5=2乃。=愿,求三棱錐G-ABAi的體積.

(2)W：VAB=AA1=2,BC=√5,

??AG=AC-y∕β(j^-AB2~J(Λ∕5)2?-22?l-

由⑴知ACJ平面A54,

???AG是三棱錐G-ABAl的高.

?C1-ABA1=~^^ABA1-A1e?=|×2×1=|.

13.如圖,四棱錐尸-ABcD中,B4_L底面A5CRA5L4。,點(diǎn)E在線段

AD^^CE∕∕AB.

(1)求證:CEJ_平面B4。；/,

⑴證明:因?yàn)锽4，底面ABCRC石U平面ABC。，H∕??.

所以B?cEHm

因?yàn)锳B?AD,CE//AB.BEk

所以CE,AD

又必。4。二4%/￡^平面出。，

所以CRL平面B4D

13.如圖,四棱錐尸-ABC。中,以，底面ABCRABLA。,點(diǎn)E在線段

Ao上,且CE〃AA

(2)若必二人6=1,4。=3,。。=￠,/014=45°,求四棱胡尸-ABCD^]

體積.

(2)解:由(1)知?！阓1平面必。及4。(=平面必。得?！?，4。,

在Rt△￡□)中,"=CD?sinNCD4=√^?sin450=1,

DE=CDcos45°=1,

又因?yàn)锳B=I,則AB=CE,又C￡〃AB4B_LA。，

所以四邊形A5CE為矩形,四邊形A5CD為梯形.

因?yàn)锳O=3,所以5C=AE=AI‰εi"2,

Ai?

所以阮8力乙3乙。+4功45=爐乙(2+3)*1`，

所以VP-ABCD=^ABCD^-×∣×14

于是四棱錐P-ABC。的體積為W

6

14.如圖,四棱錐P-A5C。中,底面A5CD為矩形,/?JL5PffiABCD,

E為PD的中點(diǎn).

(1)證明:尸5〃平面人石。；

(1)證明:設(shè)與AC的交點(diǎn)為。,連接￡0,於

因?yàn)锳BCZ)為矩形,所以。為5。的中點(diǎn).Λ

又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，/繆毅

所以E0〃PB.B-、、'c

又EOu平面AECPBc平面AEc

所以尸3〃平面AEC

14.如圖,四棱錐尸-ABCZ)中,底面ABC。為矩形,B4，平面A5CD,

E為尸。的中點(diǎn).

(2)設(shè)AP=I4。=同三棱錐P-A3。的體積V哼求點(diǎn)A到平面P5C

的距離.

(2懈”WqS心必?R4?ABAD=FA民

由題設(shè)知V=漢可得AB=2

42

作AHLPB交PB于H.

因?yàn)?C_LA用又因?yàn)楱M??平面A5C。超CU平面ABC。,

所以RL_L5C

/?rl45=A,B4,A3u平面/?伐所以5C，平面B4區(qū)

又AHU平面7?氏所以BCJLAH,

又PB,BCu平面尸5C,PHCBC=B,故AH_L平面尸5C,

PA-AB_3y/13

在RtZ^B45中,又A"二

PB13

所以點(diǎn)4到平面PBC的距離為甯.

15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD±^^ABCD,PD^DC=BC=1,

由NBCD=90°,得CD_L5C,

XPD∩DC=D,PD,DCc5FffiPCD,

所以平面PCD

因?yàn)镻CU平面PC。,所以PC_1_5C

15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD?ΞF≡ABCD,PD=DC=BC=1,

AB=2,AB〃DC,∕BCD=90°.P

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.∕?κI

⑵解:分別取ASPC的中點(diǎn)EF連接。瓦。￡/D≈\\

易證DE//CB.DE//平面P3C,點(diǎn)&?到平面P3C磁離浦等,一

又點(diǎn)A到平面尸5C的距離等于E到平面P5C的用看'而2倍.\

由(1)知5C_L平面PCD乃CU平面PBC

所以平面P5CJL平面尸CR而平面P5C與平面尸CD相交青Pe

因?yàn)镻D=OCPb=bC,所以LPCQbu平面PDC/k

所以DF_L平面PBC易知=立，/LW

2/處一\

故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于￠./∕?\/

16.如圖,四棱錐尸-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,

P

ZDAB=60o45=24。,尸。_1_底面43。。.

⑴證明:B

⑴證明:因?yàn)镹D45=60°,AB=2AD,

由余弦定理得=AD2+AB2-2AD?AB?cosZDAB

=AD2+(2AD)2-2AD?2AD?cos60o=3AD2,

則BD=PAD.從而BD2+AD2=AB2,故_LAD

又PDJ_底面ABeD乃。U平面A5GD,可得JLPD

因?yàn)锳DnP。=。,且A。,POU平面朋。，

所以5。_1_平面B4D且7?u平面7?D,

所以B4J_5D

16.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形，

ZDAB^60o,A5=2AO,PD_L底面ABCD

(2)設(shè)PD=AD=I,求棱錐。-PBC的高.

(2)解:如圖,作。E，尸氏垂足為E已知Pra底面人而淪則刖生8C.

由(1)知5OJLA。,又3C〃A。,所以BCJLB成B

故BC_L平面PBD,又。EU平面尸友),所以JBCJ_OE

又PBnBC=B,PB,BCu平面PBC,

所以。石，平面P5C.故DE即為棱錐。-PBC的高.

由題設(shè)知,尸。=1,則①"√‰P5=2,

在Rt△尸。5中?！?尸5二尸。瓦),得?！甓?/p>

2

即棱錐。-PBC的高為當(dāng)

17.如圖,在四棱錐P-ABCD中,A5〃CD,A5_LA。,CD=2A5,平面

B4。，底面ABCD,B4J_AaE和b分別是CD和PC的中點(diǎn),求證：

(I)B4,底面ABC。；

證明：(1)因?yàn)槠矫娉觥L平面ABCR

平面i?θn平面A5C。二A。，

且必UD

所以B4，底面ABCD

17.如圖,在四棱錐P-ABCD中,A5〃CD,A5_LA。,CD=2A5,平面

B4。，底面ABCD,B4J_AaE和b分別是CD和PC的中點(diǎn),求證：

(2*￡〃平面B4。；Av

證明:(2)因?yàn)锳5〃CD,CO=2A5,￡為CD的中點(diǎn)，飛;

所以A5〃DE.^AB=DE.

所以A5M為平行四邊形.

所以5￡〃AD.

又因?yàn)槠矫鍮4O,AOU平面B4。,

所以〃平面7?D

17.如圖,在四棱錐P-ABCD中,A5〃CD,A5_LA。,CD=2A5,平面

B4。，底面ABCD,B4J_AaE和b分別是CD和PC的中點(diǎn),求證：

(3)平面平面PCD

證明:(3)因?yàn)锳5,AR且A8M為平行四邊形，H

所以BELCDΛD1CD.

由(1)知RIJ_底面A5CD,所以B4J_C□,朋"4。二4出4。€=平面以。.

所以CD_L平面RL。,Pz)U平面B4D所以CZ)J_尸。，

因?yàn)槭褪謩e是co和PC的中點(diǎn),所以尸。〃防所以CraMH

又CDJ_5￡,且￡尸門5￡二￡,￡/,5￡(=平面5￡/,所以05_1平面5￡/，

又CDU平面PCQ所以平面J_平面PCD

18.如圖,三棱柱ABC-AlHG中,側(cè)面B5IGC為菱形，耳。的中點(diǎn)為

0,且AoJ_平面5坊Ge

⑴證明。CL45;

⑴證明:連接5G,0為與C與BCl的交點(diǎn)，

因?yàn)閭?cè)面加5iGC為菱形,所以當(dāng)C?L5G.

又AO，平面58]GaBlCU平面5為GG所以為CLAO.

XAO,gU平面Ag(MOng=0,

所以坊C，平面AB0.

XABU平面ABQ

所以昌CLAA

18.如圖,三棱柱ABC-AlBlG中,側(cè)面5星GC為菱形，4C的中點(diǎn)為

0,且AO，平面351GC

(2)?AC±A5i，ZCBBx=60°乃C=I,求三棱柱ABC-A向G的高.

B

(2)解:作OOd_5C,垂足為。,連接AR作垂足為H.

由于3C_LA0,5ULo。，

XAo,0。U平面AOZMonoD=。,故BC，平面AoDa---------彳

0"U平面AOD,所以。"_LBCy^,i?//

5i0H±AD,AD,BCc∑^ABC,ADΠBC=D,,,∕?染C2

o

所以。"_L平面A5C因?yàn)锽Bl=BTC/CBBj=60,B

所以ACMi為等邊三角形,又5C=1,可得OD二旦

*4

由于AC_LA4,所以AoW

乙乙

由OHAD=ODOA,且ΛD=√o"+CM2一"得。"二竺

414

又。為gC的中點(diǎn),所以點(diǎn)名到平面A5C的距離為手，

故三棱柱A5C-A4]G的高為子?

19.如圖,在AABC中,NA5C=45°,ZBAC=90o√4。是BC上的高,

沿AO把4A5O折起,使NJBOC=90。.'J

⑴證明:平面AO5,平面BDC;'?!p`

?-----?

B/DC/].?^ιr

(1)證明:???折起前AD是HC邊上的高，產(chǎn)’

當(dāng)4A5O折起后,AO,OCAO_L。A

又BQnQC=Q,BQQCu平面BQC,

:?A。-L平面5。C

XVADc5FffiADB,

.*.平面AO51,平面5。C

19.如圖,在AABC中,NA5C=45°,ZBAC=90o√4。是BC上的高,

沿A。把折起,使NBDC=90°.

(2)設(shè)5。=1,求三棱錐。-AHC的表面積.

(2)解:由(1)知,DA?DB,DB±DC,DC±DA,

*：DB=DA=DC=I,木Λ

?*?AB-BC-CA—?/^,^s?

SZ?QA8=SaOBC=SADCA=力1X1'

s∕?ABC=l×√2×√2×Sin60o=S

表面積S，X3+?U.

20.如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與交點(diǎn)刀￡，平面ABC2

⑴求證:平面AECJ_平面BED;

⑴證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,—

所以ACJLBD

因?yàn)锽E上平面A5C。,又ACU平面ABCR

所VλAC±BE,BDΠBE=B,BD,BEc∑^^BED,

所以ACJ_平面BED

XACU平面AEe

所以平面AEC_L平面BED

20.如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BO交點(diǎn),8石，平面ABC。,

(2)若NABC=I20°EG三棱錐E-AeD的體積為",求該三棱

3

錐的側(cè)面積.

(2)解:設(shè)A5=x,在菱形A5C。中,由NABC=I20°,￡

可得AG=GC=等,GB=GO=;./

2/4.二…工…

因?yàn)锳EJ_￡C,所以在RtAAEC中,可得EG=G.、］二步/A

2B

由_1_平面ABCz),知AEBG為直角三角形,可得二罵.

2

由已知得,三棱錐E-AeZ)的體積%AOHX%CGO?5E=凈3哼,

解得%=2..

從而可得AE=EC=ED=粕.

所以AEAC的面積為3,ZXEW的面積與AECD的面積均為遙.

故三棱錐E-AC。的側(cè)面積為3+2√?.

21.如圖,菱形ABC。的對(duì)角線AC與交于點(diǎn)0,點(diǎn)￡/分別在AR

CDhME=CF,EF交BD于點(diǎn)”,將△￡>￡F沿瓦折到卸用勺位置.

,

(1)證明:ACJD

(1)證明:由已知得,AC_L5O,AO=CD.

又由AE=CT得些二竺，

ADCD'

^AC//EE

由此得EbJ_HD,即EFA.HD；

所以AULHD

21.如圖,菱形ABC。的對(duì)角線AC與交于點(diǎn)0,點(diǎn)￡/分別在AR

CD±ME=CF,EF交BD于點(diǎn)”,將△￡>￡F沿瓦折到△口,EF^J位置.

(2)解:由取//AC得黑嗡q.

由AB=5√4C=6得JDO=Bo=，45_/02=4.D,

所以O(shè)"=1QH=O"=3.

于是ODr2+OH2=(2√^)2+12=9=。舊2,故。DLLO”.

由(1)知ACi."D；XAC,3Z‰Bθn"Zr=H,

所以ACj_平面5印)；于是AC，OZX月

又由。?！筄HACCOH=O,所以O(shè)D」5FffiABC.

又由更=變得跖=2.

ACDO2

五邊形A5CWT的面積SJX6×8上X2×3二絲.

22241

所以五棱錐。'-AHCEN體積V=∣×y×2√2=^?

22.如圖9是圓。的直徑點(diǎn)。是圓。上異于A乃的點(diǎn)PO垂直于圓

。所在的平面,且PO=OB=Lτ?κ

⑴若。為線段AC的中點(diǎn),求證:ACj_平面P。。；/A??

⑴證明:在“0C中,因?yàn)?4=。。,。為A淑中點(diǎn)「

所UUC_LoD

又尸。垂直于圓。所在的平面,AC為圓。所在的平面內(nèi)的直線,

所以PojLAC

又因?yàn)椤nP。二。,。0,POU平面PD0,

所以ACj_平面尸。0.

22.如圖9是圓。的直徑點(diǎn)。是圓O上異于Af的點(diǎn)PO垂直于圓

。所在的平面,且PO=OB=I.

⑵求三棱錐P-AHC體積的最大值;

⑵解:因?yàn)辄c(diǎn)C在圓。上，

所以當(dāng)CGaAg時(shí),。到A3的距離最大,且最大值為1.

又A5=2,

所以MBC面積的最大值為、2x1=1.

又因?yàn)槿忮FPAHC的高Po=1,

故三棱錐尸-ABa本積的最大值為91×14

??

22.如圖43是圓。的直徑,點(diǎn)C是圓。上異于Af的點(diǎn)PO垂直于圓

。所在的平面,且尸O=O5=L

⑶若5。=魚,點(diǎn)E在線段必上,求CE+OE的最小值.?

(3)解:在△尸OJB中,P0=05=1,NPoJB=90°,

所以尸B-?/?2+12~V2?

同理PC=√∑所以P5=PC=5C

在三棱錐P-A5C中,將側(cè)面BC尸繞心旋轉(zhuǎn)至平面BCF,使之與平面

AH尸共面,如圖所示,當(dāng)0,EC共線時(shí),?！??！耆〉米钚≈?

又因?yàn)镺P=OBcP=CB

所以O(shè)C唾直平分P氏即￡為尸5中點(diǎn).7°

從而Oc=O￡+Ec杉+f=W?//?/

AOB

亦即C￡+OE的最小值為主Wl

2

23.如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,且7?=6,頂點(diǎn)

P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)。,。在平面E45內(nèi)的正投影為點(diǎn)瓦

連接PE并延長(zhǎng)交A5于點(diǎn)G,

⑴證明:G是A5的中點(diǎn)；

(1)證明:因?yàn)轫旤c(diǎn)P在平面A5C內(nèi)的正投影為點(diǎn)。

所以PO_L平面ABc進(jìn)而PO_LAA

因?yàn)?。在平面RU5內(nèi)的正投影為點(diǎn)^/Z

所以?！阓L平面RLB,進(jìn)而?！阓LA昆尸。門。￡二。，

所以ABJ_平面尸?！?又PGU平面Pr區(qū)故A5_LPG

又由已知B4=P民從而G是A5的中點(diǎn).

23.如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,且7?=6,頂點(diǎn)

P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)。,。在平面E45內(nèi)的正投影為點(diǎn)瓦

連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面B4C內(nèi)的正投影方(說明作法及理由),并

求四面體PDM的體積.

R

(2)解:在平面內(nèi),過點(diǎn)石作PB的平行線交RI于點(diǎn)E尸即為E在平

面∕?C內(nèi)的正投影.

理由如下:由已知可得PB±B4,PB±PC,又EF//PB,

：.EFLPA,EFLPC,∕?∩PC=P,

從而石方，平面7?C即點(diǎn)方為石在平面B4C內(nèi)的正投影.

連接CG因?yàn)轫旤c(diǎn)P在平面A5C內(nèi)的正投影為點(diǎn)。，

所以。為正三角形ABC的中心.

?

由⑴知G是AB的中點(diǎn),所以。在CG上,故CZ)WCG.

由已知PCJ_平面必反。￡_1_平面出反

所以O(shè)E〃PC因止匕尸￡二,PG,OE=1Pe

由已知,正三棱錐的側(cè)由是直角機(jī)角形且以二6,

R

可得?！甓?,尸￡二2但

在等腰直角三角形Pw中,￡∕二尸b=2,

所以四面體PoEb的體積VqXGX2X2)X2=*

24.如圖,在三棱錐PA5C中√LB=BC=2√‰B4二尸5=PC=AC=4,0為

AC的中點(diǎn).

(1)證明:尸。_L平面ABC;

(1)證明:因?yàn)锳P=C尸=Ae=4,0為AC的中點(diǎn),

所以。尸，AG且。尸=2/.

連結(jié)OB因?yàn)锳3=5C=0Le所以ZVLHC為等腰直角三角形,

2

11

^OB±AC,OB=^AC=2.

由OP2+OB2=PB2知Po?OB.

由。尸，。民。尸，AC知尸0,平面A5C.

24.如圖,在三棱錐P-ABC中45=5。=2近,以二尸5=PC=AC=4,0為

AC的中點(diǎn),

(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-B4-C為30°,H/7|\I

求PC與平面B4M所成角的正弦值.//^\

(2)解:如圖,以。為坐標(biāo)原點(diǎn),后,鼠,法的方向分別3,y,z軸的正

方向,建立空間直角坐標(biāo)系O?

由已知得O(0,0,0),3(2,0,0)A(O,-2,0)C(0,2,0)/(0,0,2g),

￡p二(0,2,2百),取平面∕?C的法向量防=(2,0,0).

設(shè)M(Q,2-〃,O)(O<0≤2),則幾?=(α,4-q,0).

設(shè)平面RlM的法向量為H=(Xy,z).

2y+2Λ∕3Z=0,

段打二0,八團(tuán)二0得

αx+(4—a)y—0,

可取〃=(75(。-4),百〃,-〃),

→_2√3(α-4)由已知得ICOs<而,%>∣二回

所以COs<°B，n>-2√3(α-4)2+3α2+a2

2

所以77∕粵WTq二回解得-4(舍去),〃W.

2√3(α-4)2+3α2+α223

所以〃二(_哈竽又晶=(02-2?所以cos<pKQ哼

所以PC與平面所成角的正弦值為回

4

25.如圖,直四棱柱45。。/避￡。1的底面是菱形44尸445=2,

NA40=60°N分別是5C35],Aι。的中點(diǎn).

(1)證明:MN〃平面GOE;

⑴證明:連結(jié)5cME

因?yàn)镸E分別為班1,5C的中點(diǎn),

所以〃與C且"￡=5Ie

2

又因?yàn)镹為AQ的中點(diǎn),所以NOWAID

乙

由題設(shè)知A向乙OC可得當(dāng)CX4故MEZAVD,

因此四邊形MNDE為平行四邊形,MN//ED.

又MNe平面G。瓦所以MN〃平面CQE

25.如圖,直四棱柱A5CO-ANGQl的底面是菱形,AAι=4,A3=2,

NB4。=60?！闙N分別是BeBH].。的中點(diǎn).

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

(2)解:由已知可得。ELD4.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn),扇μ法,而1的方向?yàn)榫觵,z軸的

正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-W/

貝!M(2,0,0)41(2,0,4),MLg,2),N(l,0,2),

力1力=(°，°，-4)4M=(-LV^,-2)4N=(-1,°,-2)4N=(-1,°,-2).

→

τn?AM=O

設(shè)加二(X,y,z)為平面A]MA的法向量,則11

m?A1A=0,

所以r+少量z=。,可取片(后0.

D、

4

n?MN=0,

設(shè)〃=⑦,%r)為平面AlMN的法向量,則

n?A1N=0,

一言O(shè)可取

所以AOMO").

于是cos<E>=品=盥嚕

所以二面角4叫W的正弦值為空

26.如圖Q為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,A￡為底面直徑，

AE=ADZXABC是底面的內(nèi)接正三角形,尸為。。上一點(diǎn),PO二漁。O.

6

⑴證明:出，平面P5C;

⑴證明:不妨設(shè)圓。的半徑為1,則

OA=OB=OC=I,AE=AD=2,AB=BC=AC=Λ∕3,

DO—?/DA2-OA2=y[7i,P0——DO——,

62

PO22

PA=PB=PC=Λ∕+A0-^乙

2

在△朋C中,朋2+pc2=Ac,故B4JLPC,

同理可得B4_LP5,又PBnPC=P,P5,PCu平面尸5C,

故平面P5C.

26.如圖Q為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心為底面直徑,

AE=ADZ?A3C是底面的內(nèi)接正三角形,P為。。上一點(diǎn),PO二小。O.

6

(2)求二面角3-尸CE的余弦值.

(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則有AQ-1,0)網(wǎng)產(chǎn)\,o),c(V，o),P(OOy),￡(0,1,0),

故后=(-倔0,0),&=停,：,0),晶=d,-35,■

設(shè)平面PCE的法向量為〃=(My,z),

則由卜?絲=