福建省福州市六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年度高一年級(jí)上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【解析版】

福建省福州市六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年度高一上學(xué)期期中

聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【解析版】

（滿分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合A={x|-lMx<l},B={-l,0,2},則AB=（）

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,1}D.{-1,0,1,2)

2.函數(shù)〃x）=乎?的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[l,+oo)B.

C.[1,2)D.[1,2)U(2,4W)

3.下列圖象中，表示定義域和值域均為［0,1］的函數(shù)是（）

4.是“―2?-1”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知集合A={Mx=2&-l,&eZ},8={Hx=4Z:+l,ZeZ},貝!]()

A.AB=AB.AuB=B

C.8c&A)=0D,Ac(O8)=0

2I

6.已知a>0,b>0,—+:=1且a+bWm恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

ab

A.3+2-72JB.(YO,6]

C.(f7]D.H°,3+

7.己知函數(shù)/（幻=尸+（2“：l）x，x”在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

ax+3,x>\

A.—B.（0,+oo）C.—,3D.（0,3]

8.將一根鐵絲切割成三段，做成一個(gè)面積為4m2、形狀為直角三角形的工藝品框架，

在下列4種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合適（夠用且浪費(fèi)最少）的是（）（注：0=1.414）

A.9mB.9.5mC.10mD.10.5m

二、多選題（本題共4小顆，每小顆5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得

0分）

9.如果c<d<0,那么下面一定成立的是（）

dc

A.a+d<Z?+cB.ac>bdC.ac1>be2D.-v—

aa

10.下列說法正確的是（）

A.當(dāng)owO,不等式恒成立

a

B.當(dāng)x>l時(shí)，x+工的最小值是5

x-1

C.若不等式加+2x+c>0的解集為{xl-l<x<2},則a+c=2

D.不等式以2+云_]>。的解集可以是R

11.已知函數(shù)/（x）=w則下列說法正確的是（）

A./（x）的定義域?yàn)閧x|xH-l}

B./（x）的值域?yàn)镽

C./（x）在區(qū)間（-1,口）上單調(diào)遞增

D.f⑴+〃2）+〃3）+…+f（2022）+嗎卜唱+…+f]/）的值為等

12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿

基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名了“高斯函數(shù)”，設(shè)xeR,用㈤表

示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù).例如：[-3.5]=T,[1.1]=1.已知

f\x)=,則關(guān)于函數(shù)g（x）="（x）l的敘述中正確的有（)

A./*）是奇函數(shù)B.g（x）是奇函數(shù)

C.g（x）在區(qū)間口,內(nèi)）上單調(diào)遞減D.g（x）的值域是{-1,0}

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.命題“VxeR,x3-/+]>o”的否定是.

14.己知嘉函數(shù)〃x)=(病-4"+1)乂1在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，則優(yōu)=.

15.已知定義在R上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，若/⑴=0,則不

等式/。-1)>0的解集為.

(x-a)2,x<0

16.設(shè)/(幻=1,若/(0)是/⑴的最小值，則。的取值范圍是________.

14--,X>0

四、解答題(本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟)

17.已知集合A={x|-34x45},8={x|2，"-l<x<，〃+l}.

⑴當(dāng)加=—3時(shí)，求Au氏低A)cB；

(2)若8=A,求實(shí)數(shù)皿的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，其中)，軸的左側(cè)為一條線段，右側(cè)為某拋物線的一

段.

(1)寫出函數(shù)f(x)的定義域和值域;

(2)求函數(shù)f(x)的解析式并求f的值.

9

19.已知函數(shù)f(x)=x+-

x

⑴判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間［3,物)上單調(diào)遞增；

⑶若函數(shù)〃x)在區(qū)間［/一6,5a］上單調(diào)遞增，寫出。的取值范圍(直接寫出結(jié)論).

20.已知命題pHxeR,/-x+〃?40是假命題.

(1)求實(shí)數(shù)相的取值集合B；

⑵設(shè)不等式(x-3a)(x-a-2)40的解集為A.若是xeA的必要不充分條件，求實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

21.某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通

過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)x(干部)手機(jī)，

10%2+100x+800,0<x<50

需另外投入成本R(x)萬元，其中R(x)=10000，已知每部手機(jī)的

504x+------6450,%>50

x-2

售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.

(1)求2023年該款手機(jī)的利潤(rùn)V關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量x為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

22.定義：對(duì)于定義域?yàn)椤５暮瘮?shù)f(x),若蟲°e。，有/(5)=%,則稱％為f(x)的

不動(dòng)點(diǎn).己知函數(shù)/。)=以2+(6-1)》+6-8,。#0.

(1)當(dāng)a=l,Z?=0時(shí)，求函數(shù)/(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若VbeR,函數(shù)/(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)。e(L3)且/")的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為8,工，且廣y，求實(shí)數(shù)6的最小值.

1.B

【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)锳={x|-lVx＜l},8={-1,0,2},

所以AB={-l,0）.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)開偶數(shù)次發(fā)根號(hào)里的數(shù)大于等于零，分母不等于零計(jì)算即可.

【詳解】由〃力=經(jīng)^,

fx—1N0

得＜C八，解得x＞l且x*2,

（x-2x0

所以函數(shù)“X）=乂亙的定義域?yàn)椋?,2）。（2,內(nèi)）.

X—2,

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及定義域和值域的概念分析即可.

【詳解】選項(xiàng)A：定義域?yàn)榈侵涤虿皇牵?,1］故錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：定義域不是［0,1］,值域?yàn)椋?,1］,故錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：定義域和值域均為［0J,故正確；

選項(xiàng)D：不滿足函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤；

故選：C.

4.B

【分析】根據(jù)題意，利充分性以及必要性的定義即可得解.

【詳解】當(dāng)1幻＞1時(shí)，取x=2,此時(shí)-2令＜-1不成立，故充分性不成立；

當(dāng)一2〃＜-1時(shí)，1＜國(guó)＜2,顯然|x|＞l成立，故必要性成立；

所以Tx|＞1”是“-2令＜-1”成立的必要不充分條件.

故選：B.

5.C

【分析】通過推理得到8是A的真子集，從而根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集的概念進(jìn)行計(jì)算，對(duì)四

個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷正誤.

【詳解】A={x|x=2I%eZ}={x|x=4%+l,%eZ2{x|x=4I,ZeZ},

故B是A的真子集，

故力「8=8,A<JB=A,3c(^A)=0,Ac(&3)={Hx=4Z-l,ZeZ}x0,

故A,B,D均錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

6.A

【分析】結(jié)合基本不等式與不等式求解a+b的最小值即可得實(shí)數(shù)，〃的取值范圍，

21

【詳解】因?yàn)椤?gt;0,b>O-+=1,

fa7b

所以“+〃=(0+6)(|+￡|=3+m+,3+2忘，

當(dāng)且僅當(dāng)竺=￡,即”=歷時(shí)等號(hào)成立，

所以S+6L=3+2夜，

若恒成立，則卜叫3+2忘］.

故選：A.

7.C

【分析】根據(jù)/“)在R上的單調(diào)遞增，可以列出相應(yīng)的不等式方程組，從而得解.

【詳解】因?yàn)?(幻=,*’在R上單調(diào)遞增,

ox+3,x>1

〃>0

所以空見21,解得

22

-1+(2〃+1)<67+3

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為g,3.

故選：C.

8.C

【分析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊為X，)'，從而得到周長(zhǎng)為L(zhǎng)=x+y+，T7,再利用

均值不等式即可得解.

【詳解】由題意，設(shè)直角三角形的兩條直角邊為x,y(x>0,y>0),

則S=g孫=4,則個(gè)=8,

此時(shí)三角形框架的周長(zhǎng)乙=x+y+&77^2而+J^E=4a+4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立,

由于上=1.414,所以4點(diǎn)+424x1.414+4=9.656.

故選：C.

9.BD

【分析】用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)和取值驗(yàn)證相結(jié)合可解.

【詳解】取〃=c=-2,Z?=d=-l,貝lJa+d=b+c=-3,ac2=-S,hc2=-4,故AC不正確;

因?yàn)橐弧?gt;一〃>0,-c>-d>。，所以ac>bd,故B正確;

因?yàn)閏<d」<。，所以1<￡,故D正確.

aaa

故選：BD

10.BC

【分析】舉反例排除AD,利用基本不等式可判斷B,利用一元二次不等式的解法判斷C,

從而得解.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)”=一1時(shí)，a+-=-2,顯然不成立，故A錯(cuò)誤;

aa

對(duì)于B,因?yàn)閤>l,BPx-l>0,

44I~A~

所以x+——=x-l+——+l>2J(x-l)----+1=5,

x-\x-1v7x-1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=—,即x=3時(shí)，等號(hào)成立，

x-1

所以X+工的最小值是5,故B正確；

X-]

對(duì)于C,因?yàn)榈仁椒?+2x+c>0的解集為{x|-l<x<2},

所以方程加+2x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x=-l或x=2,且。<0,

1c2

-1+2=r___2

所以"="=：，即。+。=2,故C正確；

1°c9=4

-1x2=—、

.a

對(duì)于D,當(dāng)x=0時(shí)，公2+灰-1=-1<0恒成立,

所以ar2+云-l>()的解集不可能是R，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.ACD

【分析】變換得到〃尤)=1-W，計(jì)算定義域和值域得到A正確，B錯(cuò)誤，根據(jù)反比例函

數(shù)單調(diào)性確定C正確，根據(jù)+=l計(jì)算得到D正確，得到答案.

【詳解】/(x)

x+lX4-1

對(duì)選項(xiàng)A：函數(shù)/("=后的定義域滿足x+lwO,即{xlxx-1},正確;

對(duì)選項(xiàng)B：/(x)的值域?yàn)?F1)。,”)，錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)C：/(x)在區(qū)間(-1,行)上單調(diào)遞增，正確;

故f（l）+/（2）+…+/（2022）+/（；）+/[￡|+…+/（募）=等，正確.

故選：ACD

12.AD

【分析】先利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷A,再利用基本不等式求得了(x)的值域，進(jìn)而求

得g(x)的值域，從而可判斷BCD,由此得解.

【詳解】因?yàn)?。)=告的定義域?yàn)镽,

r+1

—XX

又八一幻=(7)2+廣__=_"幻，所以/⑴數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；

當(dāng)x>0時(shí)，x+—>2jx--=2,當(dāng)且僅當(dāng)工=,，即x=l時(shí)，等號(hào)成立；

龍、/x

x1]

所以。="=此時(shí)g(x)="*)]=O；

XH---

X

當(dāng)x<0時(shí)，*+：=-1-x+5)4-2卜2=-2,當(dāng)且僅當(dāng)》=:，即x=-l時(shí)，等號(hào)成立;

1X1

所以一5=TTi=~~T<°,此時(shí)g(x)=[/(%)]=-i；

X-r

X

當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=O,此時(shí)g(x)="(x)]=O；

綜上，g(x)的值域是{-1,0},故D正確；

由上分析可知g(—1)=0,g(l)=l,顯然g(—Dw—g(l),故B錯(cuò)誤;

且g(x)在□,+?)上恒有g(shù)(x)=o,故C錯(cuò)誤.

故選：AD.

13.HxeR,%3-x2+1<0

【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)論即可.

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，所以命題“Vx€R,-V+1>0”的否定為玉€R,

x3-x2+l<0.

故答案為：HxeR,x3-x2+l<0.

14.4

【分析】利用基函數(shù)的定義與單調(diào)性即可得解.

【詳解】因?yàn)?(X)是基函數(shù)，所以加2-4〃2+1=1,

所以帆=4或〃?=0,

當(dāng)/=4時(shí)，/(x)=x\顯然/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，滿足題意；

當(dāng)旭=0時(shí)，.f(x)=x，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，不滿足題意；

所以機(jī)=4.

故答案為：4.

15.(fO)(1,2)

【分析】先由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得到f(x)的性質(zhì)，再分類討論x-l的取值情況，得到

關(guān)于x的不等式，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)?")為R上的奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，/(1)=0,

所以“X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，/(-1)=-/(D=O,且"0)=0,

所以對(duì)于

當(dāng)x-l>0,即x>l時(shí)、由/(犬一1)>/(1)得x-l<l,解得x<2,故l<x<2；

當(dāng)x-l<0,即x<l時(shí)，由/。-1)得,解得x<0,故x<0；

當(dāng)x—l=O,即x=l時(shí),-1)=0,不滿足題意；

綜上,珠x-l)>0的解集為(F,0)J(1,2).

故答案為：(9,0)(1,2).

16.-1<47<0

【分析】利用二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分段函數(shù)的最值即可得解.

f(X-6Z)2,X<0

【詳解】因?yàn)長(zhǎng)1八，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=l+l>l；

X

當(dāng)xVO時(shí)，f(x)=(x—4)2開口向上，對(duì)稱軸為x=a,

又/(0)是/(x)的最小值，/(0)=。2,

[a<0

所以2,，解得TW。，故。的取值范圍為-1W0.

[a<1

故答案為：-l<?<0.

17.(1){x[—7<x45}；—7<x<—3j

(2)/n>—1

【分析】(1)利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解；

(2)分類討論B=0、BH0,列不等式或不等式組即可得解.

【詳解】(1)當(dāng)機(jī)=一3時(shí)，B={x|-7<x<-2},

又A={x|-34x45},

則AuB={x|-7<x45},々A={MX<-3或x>5},

所以的A)cB={x|-7c<-3}.

(2)因?yàn)锽=A,

若5=0,則2加-12〃?+1=>m22,滿足題意；

2m-1<zn+1

若3W0,貝ij2加一12-3

m+\<5

綜上，m>-\.

18.⑴〃x)的定義域?yàn)閇-2,3],值域?yàn)?2,2]

x+2,-2<x<07

⑵〃x)=

X2-4X+2,0<X<3；-4

【分析】（1）由函數(shù)/（x）的圖象可得出函數(shù)f（x）的定義域和值域;

（2）求出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可得f的值.

【詳解】（1）由圖可知，函數(shù)“X）的定義域?yàn)閇-2,3],值域?yàn)閇-2,2].

（2）當(dāng)—24x40時(shí)，設(shè)/（力="+①則八.,解得「

[f[0）=b=2

當(dāng)0Wx<3時(shí)，可設(shè)/（x）=a（x—2）2—2,貝ij/（。）=4。-2=2,解得°=1,

所以,"周|\，

貝uf13=2一;=|,因此，/[/(4]]=/?=r6+2=-^

19.(l)f(x)為奇函數(shù)

(2)證明見解析

3

(3)-1<a<或3Wa<6

5

【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的判定方法即可得解；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；

（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性得到關(guān)于〃的不等式，解之即可得解.

【詳解】（1）/（X）為奇函數(shù)，理由如下：

因?yàn)?（x）=x+B的定義域?yàn)椋▂,0）U（0,M）,

又/（-x）=-x+《=-（x+j）=—/（x）,所以f（x）為奇函數(shù).

（2）任取丹,三43,4<?）,不妨設(shè)藥<覆，

因?yàn)椤椋?/（制7+2-々-2=的二2）（中222）

石X2內(nèi)用2

因?yàn)?4王<々，所以為一/〈0，玉々>°，X］X2-9>0,所以國(guó)一?）（色日—―<0,

%9

所以/&)一/(々)<0,即〃3)</("),

所以“X）在區(qū)間［3,4W）上單調(diào)遞增.

（3）由（2）同理可得，“X）在區(qū)間（0,3］上單調(diào)遞減,

又f（x）為奇函數(shù)，所以〃x）在區(qū)間3］上單調(diào)遞增，在［-3,0）上單調(diào)遞減,

因?yàn)锳x）在區(qū)間［/-6,5可上單調(diào)遞增,

a2-6<5a?仁？，解得一一4一|或3d6,

所以u(píng)c或

5a<-3

3

所以。的取值范圍為-1<a<-一或3<。<6.

5

1

20.⑴8=mm>—

4

(2)ci>—

12

【分析】（1）根據(jù)假命題的否定是真命題，利用二次不等式恒成立即可得解;

（2）對(duì)“分三種情況討論，結(jié)合充要條件與集合的包含關(guān)系即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)槊}0:小€氏/-》+m40是假命題，

則命題-'P：WxeR,￡-x+m>0是真命題，

所以△=l-4〃z<0,解得〃?>1，

4

故8=

（2）因?yàn)閤eB是xeA的必要不充分條件，則A是B的真子集，

而不等式（x-3a）（x-a-2）<0,

當(dāng)3a>2+a,即“>1時(shí)，其解集A={x［2+a4x43a},

17

則a+2>—,g|Ja>—,又”>1,故a>l；

44

當(dāng)3a=2+a,即“=1時(shí)，其解集A={3},滿足題意;

當(dāng)3a<2+a,即a<l時(shí)，其解集A={x|3“4x42+a},

1

貝

J為>此時(shí)。>二，又a<1,故一<a<l；

U4-

1212

綜上‘1r

-10x2+400x-1050,0<x<50

21.(i)y=(A10000

-4x+--+--6-200,x>50

(x-2

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5792萬元.

【分析】(1)根據(jù)利潤(rùn)等于收入減去成本即可求出結(jié)果：

(2)根據(jù)(1)求出的函數(shù)關(guān)系式直接求最大值即可.

【詳解】(1)當(dāng)0<x<50時(shí)，y=500%-(1收+100*+800)-250=-10、2+400x-1050,

,X乙,、，10000乙uQ?八(100001

當(dāng)xN50