安徽省池州市普通高中2024屆高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省池州市普通高中2024屆高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.若復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（）A.1 B.-1 C.2 D.-2〖答案〗C〖解析〗由，可得的實(shí)部為2.故選：C.2.已知向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?故選：D3.已知，則（）A.7 B.-7 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，故，故，而，故，故，而，故，所以，故，故，故選：D.4.對(duì)于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，其中且，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗【詳析】因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，所以，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.若，且，，則可能的情況由兩種：（1）則，所以等比數(shù)列首項(xiàng)為負(fù)，公比，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增；（2）則，所以等比數(shù)列首項(xiàng)為正，公比，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增.所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分條件.若為遞增數(shù)列，，又且，所以：或由；由；所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要條件.故選：A5.已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗球表面積為，則該球半徑為，設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的母線長(zhǎng)為，則此圓錐的軸截面面積為，解之得，則該圓錐的側(cè)面積為故選：B6.甲乙兩人分別從五項(xiàng)不同科目中隨機(jī)選三項(xiàng)學(xué)習(xí)，則兩人恰好有兩項(xiàng)科目相同的選法有（）A.30種 B.60種 C.45種 D.90種〖答案〗B〖解析〗兩人恰好有兩項(xiàng)科目相同的選法為.故選：B.7.已知實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為4，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，則時(shí)，由，整理得，則，整理得，則，解之得故選：D8.已知圓和兩點(diǎn)為圓所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切B.若圓與圓外切，則圓與圓外切C.若，且圓與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡為橢圓D.若，且圓與圓外切，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線〖答案〗C〖解析〗我們分別記的中點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，故，.當(dāng)時(shí)，在圓內(nèi)，此時(shí)，圓和圓不可能與圓外切，而圓與圓內(nèi)切等價(jià)于，即，即，同理，圓與圓內(nèi)切也等價(jià)于；當(dāng)時(shí)，在圓外，故“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和，即和，即和.所以，此時(shí)“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和，同理，“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和.下面考慮四個(gè)選項(xiàng)（我們沒(méi)有考慮情況，因?yàn)椴恍枰治龃朔N情況也可判斷所有選項(xiàng)的正確性）：由于當(dāng)時(shí)，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切.這分別構(gòu)成A選項(xiàng)和B選項(xiàng)的反例，故A和B錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓內(nèi)切”都等價(jià)于，而根據(jù)橢圓定義，對(duì)應(yīng)的軌跡即為，C正確；若，則，此時(shí)“圓與圓外切”等價(jià)于，而根據(jù)雙曲線定義，對(duì)應(yīng)的軌跡為，僅僅是雙曲線的半支，D錯(cuò)誤.故選：C.二?多選題9.在去年某校高二年級(jí)“校長(zhǎng)杯”足球比賽中，甲乙兩班每場(chǎng)比賽平均進(jìn)球數(shù)?失球數(shù)及所有場(chǎng)次比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)?失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差如下表：進(jìn)球個(gè)數(shù)平均數(shù)失球個(gè)數(shù)平均數(shù)進(jìn)球個(gè)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差失球個(gè)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差甲班2.31.50.51.1乙班1.42.11.20.4下列說(shuō)法正確的是（）A.甲班在防守中比乙班穩(wěn)定B.乙班總體實(shí)力優(yōu)于甲班C.乙班很少不失球D.乙班在進(jìn)攻中有時(shí)表現(xiàn)很好有時(shí)表現(xiàn)較差〖答案〗CD〖解析〗由失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可得A錯(cuò)誤；由進(jìn)球個(gè)數(shù)和失球個(gè)數(shù)的平均數(shù)可得B錯(cuò)誤；由失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可知C正確；由進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可知D正確.故選：CD10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.在區(qū)間內(nèi)有2個(gè)極大值點(diǎn)C.D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?因?yàn)椋允堑囊粭l對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；由，，，所以可能為：，，，，等等，在內(nèi)只有兩個(gè)極大值點(diǎn)和，故B正確；因?yàn)椋?又在上單調(diào)遞減，所以，所以，故C正確；把的圖象向左平移個(gè)單位，可得，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)最小值，是所得函數(shù)一條對(duì)稱軸，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，恒有，當(dāng)時(shí)（其中），.若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，由是奇函數(shù)得，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由函數(shù)的定義域?yàn)榍谊P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，因，故解得.由得點(diǎn)在函數(shù)圖象上，又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.又由關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得關(guān)于對(duì)稱，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，故由可得.①當(dāng)時(shí)，，所以，，因是增函數(shù)，又，故得；②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱可知函數(shù)在內(nèi)單減，所以，又，所以，這與題設(shè)矛盾，舍去.所以，又，即，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)時(shí)，，顯然，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，可知，由關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題12.已知集合，則__________.〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.13.造紙術(shù)是中國(guó)四大發(fā)明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據(jù)史料記載盛唐時(shí)期折紙藝術(shù)開(kāi)始流行，19世紀(jì)折紙與數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，發(fā)展成為折紙幾何學(xué).在一次數(shù)學(xué)探究課上，學(xué)生們研究了圓錐曲線的包絡(luò)線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點(diǎn)，記矩形一邊所在直線為，將點(diǎn)折疊到上（即），不斷重復(fù)這個(gè)操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡(luò)線.在拋物線的所有包絡(luò)線中，恰好過(guò)點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線方程為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗依題意，拋物線的每條包絡(luò)線與該拋物線相切，顯然過(guò)點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線斜率存在，設(shè)方程為，由消去并整理得：，則，解得，所以所求直線方程為.故〖答案〗為：14.如圖，在各棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，給定依次排列的6個(gè)相互平行的平面，使得，且每相鄰的兩個(gè)平面間的距離都為1.若，則__________，該正三棱柱的體積為_(kāi)_________.〖答案〗1〖解析〗由題設(shè)，過(guò)點(diǎn)作平面與交于點(diǎn)，且到平面的距離相等，故為中點(diǎn)，故，由正三棱柱的對(duì)稱性，不妨設(shè)與交于點(diǎn)，而平面，故與棱的交點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t與平面的交線與平行，且與棱有交點(diǎn)，故過(guò)的平面分布如圖所示.因?yàn)榈木嚯x均為1，故為的三等分點(diǎn)，且.設(shè)該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則，，則由正三棱柱可得平面，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，故，而，，平面，故平面，故為之間的距離，故，所以，所以體積為.故〖答案〗為：1，.四?解答題15.學(xué)校組織某項(xiàng)勞動(dòng)技能測(cè)試，每位學(xué)生最多有3次測(cè)試機(jī)會(huì).一旦某次測(cè)試通過(guò)，便可獲得證書(shū)，不再參加以后的測(cè)試，否則就繼續(xù)參加測(cè)試，直到用完3次機(jī)會(huì).如果每位學(xué)生在3次測(cè)試中通過(guò)的概率依次為，且每次測(cè)試是否通過(guò)相互獨(dú)立.現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測(cè)試，回答下列問(wèn)題：（1）求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）規(guī)定：在2次以內(nèi)測(cè)試通過(guò)（包含2次）獲得優(yōu)秀證書(shū)，超過(guò)2次測(cè)試通過(guò)獲得合格證書(shū)，記該小組3位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書(shū)的人數(shù)為，求使得取最大值時(shí)的整數(shù).解：（1）由題意知，所有可能取的值為，，的分布列如下：1230.50.30.2；（2）由題意知，每位學(xué)生獲得優(yōu)秀證書(shū)的概率，方法一：所有可能取的值為，且，，，，，，所以使得取得最大值時(shí)，整數(shù)的值為3．方法二：由得，所以，所以，所以使得取得最大值時(shí)，整數(shù)的值為3．16.記為數(shù)列的前項(xiàng)的和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求.解：（1）當(dāng)時(shí)，則有：化簡(jiǎn)得又是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知：，當(dāng)時(shí)，又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列17.如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，，，點(diǎn)分別在棱上，，且三棱錐的體積為.（1）求的值；（2）若點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，為中點(diǎn)，，且，又，，又，平面，∴平面，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)為垂足，平面，，又，，平面，∴為三棱錐的高，，在中，，，，，又，，①，又在中，，由余弦定理得，②，由①②得；（2）過(guò)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，且，取的方向向量.由（1）知，，，又平面平面，平面，又，，同理可證平面，又，∴平面平面，所以直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角，且記為，設(shè)平面的法向量，則，解得，令，則，故，，，所以直線與平面所成角的余弦值.18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為，過(guò)F的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；（2）直線分別交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：為的中點(diǎn).（1）解：由題意知，所以的方程為直線的傾斜角為，過(guò)點(diǎn)直線的方程為設(shè)，聯(lián)立，得與互相垂直的傾斜角為由對(duì)稱性可知.（2）證明：方法一：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得②聯(lián)立，整理得是的中點(diǎn)③由②③得，即④同理聯(lián)立得⑤由①④⑤得⑥聯(lián)立，得取中點(diǎn)，所以⑦由⑥⑦得與重合，即是中點(diǎn).方法二：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得設(shè)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立，得，又是的中點(diǎn)整理可得的中點(diǎn)又直線恒過(guò)定點(diǎn)，，同理三點(diǎn)共線，所以的中點(diǎn)在上，又上的點(diǎn)在上所以與重合，即是中點(diǎn)方法三：由題意可知斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得，所以②設(shè)的坐標(biāo)分別為，代入得兩式相減得，變形為，即③由②③得，即④同理聯(lián)立得，所以⑤由①④⑤得，所以⑥，取中點(diǎn)，同理可證⑦由⑥⑦得.結(jié)合均在直線上，所以與重合，即是中點(diǎn).19.已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，有.（1）試問(wèn)函數(shù)是否屬于集合？并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)，求正數(shù)的取值集合；（3）若函數(shù)，證明：.（1）解：函數(shù)不屬于集合.理由如下：由題意得，由得，結(jié)合的任意性，得，顯然無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，有.即函數(shù)不屬于集合.（2）解：由題意得：，又，由得，結(jié)合的任意性，得，所以，所以，又，即，所以正數(shù)的取值集合為；（3）證明：函數(shù)得，即，由題意可得：存在非零常數(shù)，使得，即方程有解，令，即函數(shù)有零點(diǎn)，，下