5.5 分式方程（分層練習）（解析版）

第5章分式5.5分式方程精選練習基礎篇基礎篇1．（2023年廣東省萬閱百校聯(lián)考中考質(zhì)檢數(shù)學試卷）分式方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先去分母，把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．【詳解】解：去分母得：，解得：，檢驗：當時，，∴是原方程的解．故選：C．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟，并注意驗根是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南衡陽·八年級衡陽市華新實驗中學?？茧A段練習）下列分式方程有解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別解分式方程，即可求解．【詳解】解：A.方程兩邊同時乘以得，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的增根，則原方程無解；故該選項不正確，不符合題意；B.，方程兩邊同時乘以，得，∵，∴原方程無解；故該選項不正確，不符合題意；C.，去分母得，不成立，∴原方程無解；故該選項不正確，不符合題意；D.，去分母得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）一車間有甲、乙兩個小組，甲組的工作效率是乙組的2.5倍，因此加工3000個零件所用的時間乙組比甲組多1.5小時，若設乙組每小時加工x個零件，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)加工3000個零件所用的時間乙組比甲組多1．5小時，列出方程即可．【詳解】解：設乙組每小時加工x個零件，則甲組每小時加工個零件，由題意，得：；故選C．【點睛】本題考查分式方程的應用．找準等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江西新余·八年級統(tǒng)考期中）對于實數(shù)和，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：．則方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義列出方程，然后解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題中新定義列方程得：，解得：，把代入得：，∴是方程的解，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了新定義運算，解分式方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出關(guān)于x的方程，注意分式方程要進行檢驗．5．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】先解分式方程得出，根據(jù)方程的解為正數(shù)，分式有意義的條件得出且，即可求解．【詳解】解：即∴解得：∵∴∵的解為正數(shù)∴解得：∴且，故選：D．【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，熟練掌握分式方程的解法以及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇無錫·模擬預測）把分式方程化為整式方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程兩邊同時乘以，即可判斷．【詳解】將方程兩邊都乘以，得：，故選：D．【點睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是注意兩個方面：①第二個分式的分母為，首先要化成；②等式右邊的常數(shù)項不要漏乘．7．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）甲、乙二人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等，那么，甲、乙二人合做1小時共做了（）零件．A．12個 B．18個 C．24個 D．30個【答案】D【分析】設乙每小時做個零件，甲每小時做個零件，根據(jù)時間等于總工作量除以工作效率，即可得出關(guān)于的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)果．【詳解】解：設乙每小時做個零件，則甲每小時做個零件，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，且符合題意，∴分式方程的解為：，∴甲、乙二人合做1小時共做了個零件．故選：D．【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用；找準等量關(guān)系、正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東中山·九年級?？茧A段練習）若關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的負整數(shù)的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出分式方程的解，然后結(jié)合分式方程的解為正整數(shù)，再求出的值，即可得到答案．【詳解】解：∵，去分母，得，去括號，得，移項，合并得，∴；∵，則；∵分式方程的解為正整數(shù)，∴，∴，又為負整數(shù)，∴的值為；故選：D【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的方法，注意分母不能等于0．9．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考一模）方程的解是________________．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：，移項，合并同類項得：，解得：，檢驗：將代入，則是原方程的根．故答案為：．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．10．（江蘇省宿遷市2022-2023學年八年級下學期期中數(shù)學試題）若關(guān)于的分式方程的解大于0，則的取值范圍為________．【答案】，且【分析】將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，再用m表示出該方程的解集，結(jié)合該分式方程的解大于0，即得出關(guān)于m的不等式，即可解出m的取值范圍．最后結(jié)合分式有意義的條件即可進一步確定m的取值范圍．【詳解】解：，去分母，得：，解得：．∵該分式方程的解大于0，∴，∴．又∵，∴，即，∴．綜上可知，，且．故答案為：，且．【點睛】本題考查根據(jù)分式方程的解的情況求值．把分式方程化為整式方程和掌握分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．11．（2023春·江西吉安·九年級江西省泰和中學校考階段練習）某店用元購進一批商品，很快售完，該店又用了元購進第二批同種商品，第二批的價格比第一批多元/件，數(shù)量比第一批多．設第一批購進的數(shù)量為件，則可列分式方程為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：第一批商品進價第二批商品的進價，然后列出相應的分式方程即可．【詳解】第一批購進的數(shù)量為件，則第二批購進的數(shù)量為件，根據(jù)題意得．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出響應方程．12．（2023·山東棗莊·?？家荒＃┓质椒匠痰慕鉃開_____________．【答案】【分析】方程兩邊同時乘以，化為整式方程，解方程即可求解，最后要檢驗．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得即解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．故答案為：．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·湖南衡陽·八年級衡陽市華新實驗中學?？茧A段練習）若關(guān)于x的分式方程無解，則的值為___________．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解確定出的值，代入整式方程計算即可求出的值．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，即∵原方程增根為，∴把代入整式方程，得．故答案為：．【點睛】此題考查了解分式方程和分式方程的解，求一個數(shù)的平方根，弄清分式方程無解的條件是解本題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南株洲·一模）已知是方程的解，則的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)分式方程的解的定義，將代入方程，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵是方程的解，∴解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解的定義，熟練掌握分式方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）解方式方程(1)；(2)；【答案】(1)(2)無解【分析】（1）先去分母，化為整式方程，再解整式方程并檢驗即可；（2）先去分母，化為整式方程，再解整式方程并檢驗即可．【詳解】（1）解：去分母得：，解得：，檢驗：把代入得：，∴是原方程的解；（2）解：去分母得：，解得：，把代入得：，∴是增根，即原方程無解．【點睛】本題考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步驟與方法”是解本題的關(guān)鍵，要注意檢驗．16．（2023春·八年級單元測試）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】（1）先去分母，去括號，然后移項合并，系數(shù)化為1，最后進行檢驗即可；（2）先去分母，去括號，然后移項合并，最后進行檢驗即可．【詳解】（1）解：，兩邊同時乘得，，去括號得，，移項合并得，，系數(shù)化為1得，，經(jīng)檢驗，為原分式方程的根，∴分式方程的解為．（2）解：，兩邊同時乘得，，去括號得，，移項合并得，，檢驗：當時，，∴為分式方程的增根，∴原方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程．掌握解分式方程的步驟，正確的運算并檢驗是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）春回大地萬物蘇，植樹添綠正當時．今年某市造林綠化目標是完成3200畝，凈增造林200畝，建設綠美村莊10個，為響應政府號召，某村計劃在荒坡上種樹960棵，由于青年志愿者的支援，實際每天種樹的棵數(shù)是原計劃的倍，結(jié)果提前4天完成任務，原計劃每天種樹多少棵，【答案】原計劃每天種樹60棵【分析】利用關(guān)系式，根據(jù)題意列分式方程求解即可．【詳解】解：設原計劃每天種樹x棵，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗是原分式方程的解，答：原計劃每天種樹60棵．【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，根據(jù)工作時間的關(guān)系正確列出方程是解題關(guān)鍵，易錯點是不檢驗導致錯誤．18．（2023春·江蘇·八年級專題練習）教育部印發(fā)的《義務教育課程方案》和課程標準（2022年版），將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來．某中學為了讓學生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆．求菜苗基地每捆A種菜苗的價格．【答案】菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元【分析】設菜苗基地每捆A種菜苗的價格是x元，根據(jù)用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元；【詳解】解：設菜苗基地每捆A種菜苗的價格是x元，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，答：菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元．【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程式．19．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）2023年是中國農(nóng)歷癸卯兔年．春節(jié)前，某商場進貨員預測一種“吉祥兔”布偶能暢銷市場，就用4000元購進一批這種“吉祥兔”，面市后果然供不應求，商場又用8800元購進了第二批這種“吉祥兔”，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但每件的進價貴了4元．該商場購進第一批、第二批“吉祥兔”每件的進價分別是多少元？【答案】購進第一批、第二批“吉祥兔”每件的進價分別是40元、44元【分析】設購進第一批“吉祥兔”每件的進價為x元，則第二批“吉祥兔”每件的進價為元，根據(jù)第二批所購數(shù)量是第一批購進量的2倍列方程求解即可．【詳解】解：設購進第一批“吉祥兔”每件的進價為x元，則第二批“吉祥兔”每件的進價為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，（元），答：購進第一批、第二批“吉祥兔”每件的進價分別是40元、44元．【點睛】本題考查分式方程的應用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．20．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？茧A段練習）如圖1，在一張長方形紙片的四個角分別剪去一個邊長相等的正方形，可折疊成如圖2的一個無蓋長方體紙盒．圖1

圖2(1)若圖1中原長方形紙片長，寬，被剪掉的正方形邊長為，折疊得到的無蓋長方體紙盒的長、寬、高之和為，求a的值；(2)現(xiàn)有60張同樣規(guī)格的長方形紙片，可制作成60個無蓋長方體紙盒，剪下來的正方形恰好全部制作成正方體（每個正方體需要6個正方形），現(xiàn)把20名同學分為甲、乙兩組，甲組制作無蓋長方體紙盒，乙組制作正方體，若甲組平均每人制作的無蓋長方體紙盒個數(shù)是乙組平均每人制作的正方體個數(shù)的一半，求甲組有多少名同學？【答案】(1)4(2)15名【分析】（1）根據(jù)“折疊得到的無蓋長方體紙盒的長、寬、高之和為”，列出方程，即可求解；（2）設甲組有x名同學，則乙組有名同學，根據(jù)“甲組平均每人制作的無蓋長方體紙盒個數(shù)是乙組平均每人制作的正方體個數(shù)的一半”，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：解得：答：a的值為4．（2）解：設甲組有x名同學，則乙組有名同學，根據(jù)題意得：，解得：經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意．答：甲組有15名同學．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇1．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┮阎P(guān)于的方程的解是負數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．且 C． D．或【答案】B【分析】先解關(guān)于的分式方程，求得的值，然后再依據(jù)“解是負數(shù)”建立不等式求的取值范圍．【詳解】去分母得，，，方程的解是負數(shù)，，即，又，的取值范圍是且．故選：．【點睛】本題考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是要掌握分式方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解．2．（2023春·重慶萬州·九年級重慶市萬州第一中學校聯(lián)考期中）如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學重要著作之一，為元代數(shù)學家朱世杰所著．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”．大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株橡？（椽，裝于屋項以支持屋頂蓋材料的木桿）設這批椽有x株，則符合題意的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用單價=總價÷數(shù)量，可求出一株椽的價錢為文，結(jié)合“少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢”，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解∶這批?的價錢為6210文，這批椽有株，一株椽的價錢為文，又每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考階段練習）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】先解分式方程得，然后令，且，計算求解即可．【詳解】解：，兩邊同時乘以得，，去括號得，，移項合并得，，系數(shù)化為1得，，令，且，解得，且，，綜上，，且，故選：C．【點睛】本題考查了解分式方程．解題的關(guān)鍵在于正確的運算并檢驗．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習）在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“※”，其規(guī)則為，如，根據(jù)這個規(guī)則，則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，得．然后解這個分式方程．【詳解】解：由題意得：．，．．．．∴．經(jīng)檢驗：當時，．∴這個方程的解為．故選：C．【點睛】本題主要考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】解該分式方程得，結(jié)合該分式方程的解為整數(shù)和分式有意義的條件，即得出為2的倍數(shù)且，即選B．【詳解】解：，方程兩邊同時乘，得：，解得：，∵該分式方程的解為整數(shù)，∴為2的倍數(shù)，∴為2的倍數(shù)．∵，∴，∴，∴，綜上可知為2的倍數(shù)且．∴只有B選項符合題意．故選B．【點睛】本題考查解分式方程，分式方程有意義的條件．掌握解分式方程的步驟和注意分式的分母不能為0是解題關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若關(guān)于的不等式組有解，且關(guān)于的分式方程有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)不等式組有解，得m的取值，利用分式方程有非負整數(shù)解，找出符合條件的m值，并相加得出結(jié)果．【詳解】解：由，解得：，，不等式組有解，，，，解得：，關(guān)于的分式方程有非負整數(shù)解，，且，且，且，所有的值為，的和為，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，有難度，注意分式方程中的解要滿足分母不為0的情況．7．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）嘉嘉和淇淇兩人同時從A地出發(fā)，騎自行車前往B地，已知A，B兩地的距離為18km，，并且嘉嘉比淇淇先到18分鐘．若設淇淇每小時走xkm，所列方程為，則橫線上的信息可能為（

）A．嘉嘉每小時比淇淇多騎行3km B．嘉嘉每小時比淇淇少騎行3kmC．嘉嘉和淇淇每小時共騎行3km D．嘉嘉每小時騎行的路程是淇淇的3倍【答案】A【分析】根據(jù)題目提供的方程可以得出在相等的距離情況下嘉嘉比淇淇先到18分鐘可說明嘉嘉的速度比淇淇快，據(jù)此可解答此題【詳解】解：若設淇淇每小時走xkm，所列方程為，可知：A.嘉嘉每小時比淇淇多騎行3km，正確，故選項A符合題意；B.嘉嘉每小時比淇淇少騎行3km，說法錯誤，故選項B不符合題意；C,嘉嘉和淇淇每小時共騎行3km，說法錯誤，故選項C不符合題意；D.嘉嘉每小時騎行的路程是淇淇的3倍，說法錯誤，故選項D不符合題意；故選：A【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的分式方程，注意時間要化為小時．8．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中校考階段練習）按順序排列的若干個數(shù)：，，，……，，（是正整數(shù)），從第二個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于1與它前面的那個數(shù)的差的倒數(shù)，即：，……，下列說法正確的個數(shù)有（

）①若，則；②若，則；③若，則．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】利用題干的規(guī)定：設，則，，，……，得到，，，……，，（是正整數(shù)）中，每三個為1循環(huán)，循環(huán)的數(shù)為a，，，利用此規(guī)律對每個說法進行判斷即可．【詳解】解：設，則，，，，，，……，∴，，，……，，（是正整數(shù)）中，每三個為1循環(huán)，循環(huán)的數(shù)為a，，，∵，∴，若，∴，∴，∴，∴說法①正確；若，則，，∴，∵，∴，∴說法②錯誤；∵，∴，∵，，，，∴，解得，經(jīng)檢驗，a的值是方程的解，即，∴說法③錯誤．故選：A．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)運算的規(guī)律，配方法，實數(shù)的運算，利用題干的規(guī)定找出數(shù)字的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學?？茧A段練習）分式方程與的解為__________．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母整理得：，解得：，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，故答案為：．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．10．（2023春·江蘇·八年級期中）已知，則_____．【答案】3【分析】先解分式方程，然后將的值代入求解．【詳解】解：解方程得，，經(jīng)檢驗，是原方程的解，將代入得：．故答案為：3．【點睛】本題考查了分式的值，求解的值是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考階段練習）若關(guān)于x的分式方程的解比分式方程的解大2，則a的值為______．【答案】【分析】先求出分式方程的解，從而得出分式方程的解為5，再把代入分式方程即可求解．【詳解】解：去分母得：去括號得：移項合并同類項得：∵關(guān)于x的分式方程的解比分式方程的解大2，∴是式方程的解，∴把代入分式方程得：，，．故答案為：．【點睛】本題考查分式方程的應用，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知關(guān)于x的方程有增根，那么__________．【答案】【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值．【詳解】解：，去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程，解得．把代入整式方程無解．故答案為：．【點睛】本題主要考查分式方程的解法及增根問題，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法．13．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知：①可轉(zhuǎn)化為，解得，②可轉(zhuǎn)化為，解得，③可轉(zhuǎn)化為，解得，根據(jù)以上規(guī)律，關(guān)于的方程(為常數(shù))的解為_______．【答案】，【分析】根據(jù)已知數(shù)列找出規(guī)律進而得出的解．【詳解】解：∵①可轉(zhuǎn)化為，解得，②可轉(zhuǎn)化為，解得，③可轉(zhuǎn)化為，解得，∴規(guī)律為：，其解為：，∴關(guān)于的方程(為常數(shù))，∴，，∴，，∴，，故答案為：，．【點睛】本題考查了分式方程，利用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）定義一種新運算，當時，．若，則______．【答案】4或【分析】根據(jù)題中所給新定義運算可分類進行求解．【詳解】解：由題意可知：當時，則，解得：，經(jīng)檢驗當時，，且∴是原方程的解；當時，則，解得：，經(jīng)檢驗當時，，且∴是原方程的解；故答案為4或．【點睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．15．（江蘇省宿遷市2022-2023學年八年級下學期期中數(shù)學試題）解方程：．【答案】無解【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：方程兩邊同乘，得解得：檢驗：當時，，是增根，原方程無解．【點睛】本題考查了分式方程的解法和一元二次方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．16．（2023春·江蘇·八年級期中）（1）；（2）先化簡，然后從的圍內(nèi)選取一個合適的整數(shù)為的值代入求值．【答案】（1）無解；（2）；當時，原式；當時，原式【分析】（1）方程兩邊同時乘以，化為整式方程，解方程即可求解，最后要檢驗；（2）先利用平方差和完全平方公式化簡，得到，，再從選擇其他整數(shù)中一個代入求解即可．【詳解】解：（1），方程兩邊同時乘以得：，即，∴，解得，檢驗：當時，，∴是原方程的增根，原方程無解；（2），∵，，且為整數(shù)，∴當時，原式，當時，原式．【點睛】本題考查了分式的混合運算與化簡求值、解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，平方差和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·重慶渝北·九年級禮嘉中學?？茧A段練習）某工廠加工生產(chǎn)大，小兩種型號的齒輪，每名工人每天只能生產(chǎn)一種型號的齒輪．一名熟練工每天生產(chǎn)的小齒輪數(shù)量是大齒輪的，并且生產(chǎn)240個大齒輪所用的時間比生產(chǎn)同樣數(shù)量的小齒輪要多用10天(1)求一名熟練工每天可以生產(chǎn)多少個大齒輪；(2)該工廠原有15名熟練工，由于訂單激增，工廠需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生產(chǎn)3個大齒輪或5個小齒輪，工廠決定派3名熟練工帶領一部分新工人一起生產(chǎn)大齒輪，其余工人全部生產(chǎn)小齒輪．已知2個大齒輪與3個小齒輪剛好配套．若一共招聘了28名新工人，問安排多少名新工人生產(chǎn)大齒輪，才能使得該工廠每天生產(chǎn)的大，小齒輪剛好配套？【答案】(1)一名熟練工每天可以生產(chǎn)6個大齒輪(2)安排名新工人生產(chǎn)大齒輪，才能使得該工廠每天生產(chǎn)的大，小齒輪剛好配套【分析】（1）設一名熟練工每天可以生產(chǎn)個大齒輪，則一名熟練工每天生產(chǎn)的小齒輪數(shù)量為個，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解；（2）設安排名新工人生產(chǎn)大齒輪，則安排名新工人生產(chǎn)小齒輪，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設一名熟練工每天可以生產(chǎn)個大齒輪，則一名熟練工每天生產(chǎn)的小齒輪數(shù)量為個，根據(jù)題意得，，解得：（經(jīng)檢驗，是原方程的解），答：一名熟練工每天可以生產(chǎn)6個大齒輪（2）解：設安排名新工人生產(chǎn)大齒輪，則安排名新工人生產(chǎn)小齒輪，根據(jù)題意得，解得：，答：安排名新工人生產(chǎn)大齒輪，才能使得該工廠每天生產(chǎn)的大，小齒輪剛好配套．【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·湖南衡陽·八年級衡陽市華新實驗中學?？茧A段練習）實踐探索題，閱讀下列材料：已知，關(guān)于x的方程的解是，關(guān)于x的方程的解是，關(guān)于x的方程的解是，……(1)請根據(jù)上述方程的特點，猜想方程的解是，(2)請根據(jù)上述結(jié)論，猜想方程的解是，(3)請根據(jù)上述結(jié)論，求方程的解．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)規(guī)律即可求解．（3）將方程變形為，根據(jù)規(guī)律即可求解．【詳解】（1）解：方程的解是故答案為：．（2）解：方程的解是，故答案為：．（3）解：，∴，∴方程的解為：或，解得：或．【點睛】本題考查觀察、類比、猜想與證明在分式方程求解中的應用，通過閱讀材料歸納出如題所示的特殊分式方程的解法并加以應用是解題關(guān)鍵．19．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務．如何設計獎品購買及兌換方案？素材1某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的2倍，用120元購買筆記本的數(shù)量比用160元購買鋼筆的數(shù)量多8件．素材2某學校花費400元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發(fā)給“優(yōu)秀學生”，兩種獎品的購買數(shù)量均不少于20件，且購買筆記本的數(shù)量是10的倍數(shù)．素材3學?；ㄙM400元后，文具店贈送m張兌換券（如右）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數(shù)量相同．問題解決任務1探求商品單價請運用