3.7 整式的除法 浙教版數(shù)學(xué)七年級下冊基礎(chǔ)知識講與練

專題3.25整式的除法（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進(jìn)行計算．2.會進(jìn)行單項式除以單項式的計算．3.會進(jìn)行多項式除以單項式的計算．【要點梳理】要點一、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）特別說明：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.要點二、零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（≠0）特別說明：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項也叫0次單項式.要點三、單項式除以單項式法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只有被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.特別說明：（1）法則包括三個方面：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式.（2）單項式除法的實質(zhì)即有理數(shù)的除法（系數(shù)部分）和同底數(shù)冪的除法的組合，單項式除以單項式的結(jié)果仍為單項式.要點四、多項式除以單項式法則多項式除以單項式：先把多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.即特別說明：（1）由法則可知，多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式來解決，其實質(zhì)是將它分解成多個單項式除以單項式.（2）利用法則計算時，多項式的各項要包括它前面的符號，要注意符號的變化.【典型例題】類型一、整式的除法??科學(xué)記數(shù)法1．（2019秋·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期中）生活在海洋中的藍(lán)鯨，又叫長須鯨或剃刀鯨，它的體重達(dá)到150噸，它體重的萬億分之一用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A．1.5×噸 B．1.5×噸 C．15×噸 D．1.5×噸【答案】A【分析】解答時，分兩步走，把150寫成1.5×噸；把1萬億寫成，根據(jù)題意，列式計算即可．解：∵150＝1.5×噸；1萬億＝，∴它體重的萬億分之一為＝＝1.5×（噸），故選A．【點撥】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的綜合計算，同底數(shù)冪的除法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法和同底數(shù)冪的除法法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，地球的體積約是太陽體積的倍數(shù)是_____（用科學(xué)記數(shù)法表示，保留2位有效數(shù)字）【答案】7.1×10-7【分析】直接利用整式的除法運(yùn)算法則結(jié)合科學(xué)記數(shù)法求出答案．解：∵地球的體積約為1012立方千米，太陽的體積約為1.4×1018立方千米，∴地球的體積約是太陽體積的倍數(shù)是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．【點撥】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的除法與有效數(shù)字，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）福山新華書店新進(jìn)了一批圖書，甲、乙兩種書的進(jìn)價分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購進(jìn)m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．用含m，n的代數(shù)式表示Q；若共購進(jìn)5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學(xué)記數(shù)法表示Q的值；若P=4×1012，求的值（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由總付款=甲書進(jìn)價×甲書數(shù)量+乙書進(jìn)價×乙書數(shù)量，即可求得Q．（2）將代入（1）式，計算化簡后用科學(xué)記數(shù)法表示即可．（1）解：由題意得，；（2）解：將代入，得：；（3）解：．【點撥】本題考查了用字母表示數(shù)，同底數(shù)冪的乘法，除法，科學(xué)記數(shù)法，在解題中要注意正確計算以及代數(shù)式的正確書寫．類型二、整式的除法??單項式除以單項式??化簡求值2．（2021春·八年級課時練習(xí)）計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用單項式除以單項式的運(yùn)算法則計算即可；（2）將看做一個整體，利用單項式除以單項式的運(yùn)算法則計算，再計算乘方即可．解：（1）；（2）．【點撥】本題考查了單項式除以單項式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2021春·八年級課時練習(xí)）計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)單項式除以單項式法則計算即可；（2）（3）根據(jù)單項式除以單項式法則計算即可；（4）把數(shù)字和冪分別相除，再將結(jié)果相乘．解：（1）原式==；（2）原式=；（3）原式==；（4）原式==．【點撥】本題考查單項式除以單項式法則，單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式．【變式2】（2022春·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】先算積的乘方，再算單項式÷單項式即可．解：原式．【點撥】本題考查單項式的除法．熟練掌握單項式除法的運(yùn)算法則：把被除式與除式的系數(shù)和相同字母的冪分別相除，其結(jié)果作為商的因式，將只含于被除式的字母的冪也作為商的因式，是解題的關(guān)鍵．類型三、整式的除法??多項式除以單項式??化簡求值3．（2021春·八年級課時練習(xí)）計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】根據(jù)多項式除以單項式的運(yùn)算法則計算即可．解：（1）（2）．【點撥】本題考查了多項式除以單項式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2022春·八年級課時練習(xí)）先化簡，在求值，其中，．【答案】，．【分析】先根據(jù)完全平方公式和多項式乘多項式、多項式除以單項式進(jìn)行計算，再合并同類項，算除法，最后代入，求解即可．解：，當(dāng)，時原式．【點撥】本題考查了整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，注意運(yùn)算順序．【變式2】（2021春·八年級課時練習(xí)）計算：（1）；

（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）先計算括號內(nèi)的，逆用乘法分配律進(jìn)行計算，根據(jù)整式的除法法則進(jìn)行計算即可；（2）先根據(jù)乘法公式計算括號內(nèi)的，再根據(jù)多項式除以單項式的法則進(jìn)行計算即可；（3）先計算括號內(nèi)的，再計算除法，最后計算減法；解：（1）

；（2）；（3）．【點撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，去括號，掌握整式的混合運(yùn)算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．類型四、整式的除法??整式的混合運(yùn)算??化簡求值4．（2022春·八年級課時練習(xí)）計算（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】(1)(2)(3)(4)－17－21m【分析】（1）原式利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計算，合并即可得到結(jié)果；（3）原式利用單項式乘以多項式，以及整式的除法法則計算，即可得到結(jié)果；（3）原式先利用完全平方公式及平方差公式計算，再去括號及合并同類項即可得到結(jié)果；（4）原式先利用平方差公式及多項式乘多項式法則進(jìn)行計算，再去括號及合并同類項即可得到結(jié)果．（1）解：＝＝（2）（3）＝（4）（1－2m）（2m＋1）－（3＋4m）（6－m）．＝＝＝－17－21m【點撥】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2022春·八年級課時練習(xí)）計算：；（用乘法公式簡算）【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）先用第一個多項式的每一項乘以第二個多項式的每一項，再把結(jié)果合并同類項即可；（2）先把第二項變成平方差公式的形式，再根據(jù)平方差公式展開后去括號、合并同類項即可得解；（3）先把整個式子變成平方差公式的形式求解，再把第二項利用完全平方公式展開后再去括號即可得解．解：（1）

（2）

（3）

【點撥】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握多項式的乘法法則及多項式乘法公式的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022春·八年級課時練習(xí)）（1）先化簡，再求值．，其中，．（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1），2.5；（2）；1．【分析】（1）先根據(jù)整式的各運(yùn)算法則及運(yùn)算順序進(jìn)行化簡計算，再代入求出答案即可；（2）先根據(jù)整式的各運(yùn)算法則及運(yùn)算順序進(jìn)行化簡計算，再代入求出答案即可．解：（1）原式＝，當(dāng)，時，原式；（2）原式，當(dāng)時，原式＝1．【點撥】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．中考真題專練【1】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，-9【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．解：原式．，，原式【點撥】本題考查整式的混合運(yùn)算-化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡求值的方法．【2】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）計算：；．【答案】(1)(2)2x+2【分析】（1）利用負(fù)指數(shù)公式化簡，零指數(shù)公式化簡，平方根定義化簡，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差計算，再合并即可求出值．解：（1）＝2﹣1+＝；（2）＝＝2x+2．【點撥】此題考查了乘法公式，以及實數(shù)的運(yùn)算，實數(shù)的運(yùn)算涉及的知識有：零指數(shù)